DMBO

1. DMBO Sieci

2. Wprowadzenie do grafów: Mosty w Koenigsbergu Leonard Euler zastanawiał się, czy można przejść przez każdy most tylko raz (1736)

3. Konceptualizacja - węzły

4. Konceptualizacja - krawędzie

5. Czy istnieje spacer po wszystkich mostach, tak aby żaden się nie powtórzył?

6. Gdyby tak zbudować dwa dodatkowe mosty.

7. Każdy taki spacer musi wejść i wyjść z każdego wierzchołka dokładnie raz. Czyli stopień każdego wierzchołka musi być parzysty.

8. Cykl Eulera Cykl Hamiltona Problem komiwojażera

9. Problem komiwojażera – objazd cykl Czas trwania: 2 d 7 h 2 m Długość trasy: 3615 km

10. Problem komiwojażera – objazd ścieżka Czas trwania: 2 d 4 h 37 m Długość trasy: 3436 km

11. Problem komiwojażera – prawdziwy spacer Czas trwania:29 d 11 h 21 m Długość trasy: 3485 km

13. Problem komiwojażera (travelling salesman problem TSP) • Problem możnazapisaćmatematyczniejako • Zmiennadecyzyjnaxijrównasię 1, gdykomiwojażerprzejeżdża z miastai do miastaj, 0 w przeciwnymprzypadku • Możliwośćprzejazdu z danegomiasta do tegosamegomiasta jest zabroniona

14. Problem komiwojażera • Kosztprzejazdu z miasta do miasta to dij • Funkcjacelu to łącznykosztprzejazdutrasy • Pierwszeograniczenieoznacza, żekomiwojażermusiopuścićkażdemiastodokładnieraz • Drugieograniczenieoznacza, żekomiwojażermusiwjechać do każdegomiastadokładnieraz • Czy to jużwszystko? • Załóżmy, że w problemie z 5 miastamirozwiązanieoptymalne to x12=x23=x31=x45=x54=1 • To rozwiązaniespełniapowyższeograniczenia i możebyćoptymalne. Jednakzawierapodtrasy (subtours) – rozłącznepętle o rozmiarzemniejszymniżwszystkiemiasta • Trzebawprowadzićdodatkoweograniczenia

15. Eliminacjapodtras • Pętledladwóchmiast • Pętledlatrzechmiast • Pętledlaczterechmiast • Itd. • Jednak w praktycznejimplementacjitakichograniczeńbyłobystanowczozadużo – w problemie z 30 miastamibyłoby 870 ograniczeńlikwidującychtylkopętledladwóchmiast

16. Eliminacjapodtras – drugiepodejście • Wprowadzamydodatkowenieujemnezmienneciągłeui: • Podtrasysąwyeliminowane • Ile jest takichograniczeń? • (N-1)2-N, czyli w problemie z 30 miastamiwszystkichograniczeńbyłoby 812, a wcześniejtylkoograniczeńdlapętl o długościdwabyło 870.

18. Gra • http://www.tsp.gatech.edu/games/index.html

19. Wprowadzenie do sieci • Dwagłówneelementy: • Łuki (krawędzie) [arcs/edges] • Wierzchołki [nodes] • Graf [graph] to struktura, którąbudujesiępoprzezłączeniewierzchołkówłukami • Graf skierowany [directed graph] (digraf [digraph]) jest grafem, w którymłukimająokreślonykierunek • Sieć [network] to graf (lubdigraf), w którymłukimająprzyporządkowanyprzepływ [flow] • Otoparęprostychprzykładówsieci:

20. Wprowadzenie do sieci • Łańcuch [chain] to ciągłukówłączącychdwawierzchołkii i j, np. ABCE, ADCE • Ścieżka [path] to ciągskierowanychłukówłączącychdwawierzchołki, np. ABDE, ale nie ABCE • Cykl [cycle] to łańcuchktóryłączywierzchołek z samymsobąbezżadnegopowtarzania [retracing], np. ABCEDA, ale nie ABCDECBA • Graf/siećspójny/a [connected graph/network] ma tylkojednączęść graf grafskierowany

21. Wprowadzenie do sieci • Drzewo[tree] – grafspójnyniemającycyklów. • Drzeworozpinające [spanning tree] to drzewowybranespośródłuków w grafielub w siecitak, abywszystkiewierzchołki w drzewiebyłypołączone dwadrzewarozpinające dwadrzewa • Zdolnośćprzepływowa[flow capacity] – górna (czasemteżdolna) granicailościprzepływudanegołuku w sieci, np. maksymalnailośćwody w rurociągu • Źródło[source] to wierzchołekktórywprowadzaprzeływ do sieci • Zlew[sink] to wierzchołek, którywyprowadzaprzepływ z sieci

22. Problem najkrótszejtrasy [The shortest route problem] • Sformułowanie:Dladanegografu, w którymkażdyłukoznaczony jest poprzezdystanspomiędzywierzchołkami, które on łączy, jaka jest najkrótszatrasapomiędzywierzchołkiem i iinnymwierzchołkiemj. • Na przykład: Jaka jest najkrótszatrasapomiędzy A i H? Wyliczeniewszystkichmożliwości [enumeration] – niepraktyczne AlgorytmDijkstra

23. AlgorytmDijkstra http://optlab-server.sce.carleton.ca/POAnimations2007/DijkstrasAlgo.html

24. Problem najmniejszegodrzewarozpinającego [minimum spanning tree] • Sformułowanie:Dladanegografu, w którymłukisąoznaczonepoprzezodległościpomiędzywierzchołkami, którełączą, znajdźdrzeworozpinające, które ma najmniejsząłącznądługość • Na przykład: Znajdźminimalnądługośćkabla, abypołączyćwszystkiebiura w budynkumającdanewszystkiedopuszczalnetrasykabli • Algorytm: http://optlab-server.sce.carleton.ca/POAnimations2007/MinSpanTree.html Przykładzachłannegoalgorytmu [greedy algorithm] – robi co jest najlepsze w danymkrokuniepatrzącnaresztęproblemu (zazwyczajnieefektywne – tutaj TAK!) Możnateżrobićmaksymalnedrzeworozpinające w ten samsposób

25. Maksymalnyprzepływi minimalnecięcie [maximum flow and the minimum cut] • Sformułowanie:Jaki jest maksymalnyprzepływpomiędzydanymwierzchołkiem a jakimśinnymwierzchołkiem w sieci? • Na przykład: Znajdźmaksymalnyprzepływsamochodów z parkingupodziemnego w centrum miasta do wyjazdunaautostradę? • Każdemyłukowiprzyporządkowujemymaksymalnymożliwyjednoczesnyprzepływpomiędzydwomawierzchołkami, które ten łukłączy. • Przepływmożesięróżnic w zależności od kierunku (np. jednokierunkoweulice) 4 samochodynaminutęnatrasie A-D-E-G 3 samochodynaminutęnatrasie A-B-E-G {jednoczesnyprzepływnałuku E-G wynositeraz 7} 4 samochodynaminutęnatrasie A-C-F-G Przepływłączny 11 samochodównaminutę z A do G

26. Maksymalnyprzepływi minimalnecięcie [maximum flow and the minimum cut] • Algorytm: Ford and Fulkerson (Canadian Journal of Mathematics 1956) http://optlab-server.sce.carleton.ca/POAnimations2007/MaxFlow.html

27. Maksymalnyprzepływi minimalnecięcie [maximum flow and the minimum cut] • Dlaczegopotrzebadodawaćprzepływy w odwrotnymkierunku? • Konwencjarachunków, abyzaznaczyćprzepływ, który, jeślitrzeba, możnacofnąć.

28. Maksymalnyprzepływ i minimalnecięcie[maximum flow and the minimum cut] • Maksymalnyprzepływ jest związany z minimalnymcięciem: • Cięcie [cut] to każdyzbiórskierowanychłukówzawierającyprzynajmniejjedenłuk w każdejścieżcezeźródła do zlewu (przeznaczenia). Jeśliusuniemyłuki z danegocięcia, to przepływ jest zupełnieodcięty. • Wartośćcięcia[cut value] to sumawszystkichzdolnościprzepływowych w kierunku od źródła do przeznaczeniadlawszystkichłuków w cięciu. • Możliwecięcia z zaznaczonymiwartościamitychcięć

29. Twierdzenie Max-flow/min-cut • Twierdzenie: Dlakażdejsieci z jednymźródłem i jednymzlewem, maksymalnymożliwyprzepływzeźródła do przeznaczeniarównasięminimalnejwartościcięciadlawszystkichcięć w tejsieci. • Intuicja: • Maksymalnyprzepływprzezserięrur, równy jest ograniczonyprzezwąskiegardło. • Minimalnecięcie to rodzajrozłożonegowąskiegogardła, czyliwąskiegogardładlacałejsieci w przeciwieństwie do wąskiegogardładlaseriirur. • Czyli do znalezieniaminimalnegocięciamożnaposłużyćsięrównieżalgorytmemForda-Fulkersona. • Jakjużzakończydziałaniealgorytm, zaznaczłuki, któreciągnąprzepływrównyichmaksymalnejmożliwościprzepływu. Wtedyposzukajcięcia, któreskładasiętylko z zaznaczonychłukówi żadnychinnych.

30. Maksymalnyprzepływ i minimalnecięcie[maximum flow and the minimum cut] • Minimalnecięciez wartością w kierunku do przodurówną 14. • 4 drogi B-E, D-E, F-E oraz F-G to wąskiegardłosieci i powinnosię je poszerzyć w pierwszejkolejności • Ale możeszniedostać 1 jednostkipowiększeniaprzepływunakażdąjednostkędodanejzdolnościprzepływowej w łuku z minimalnegocięcia. • Taksiędzieje, ponieważzwiększonyprzepływprzez ten łukmożeaktywowaćnowewąskiegardło w górzebądź w dole rzekilicząc od tegołuku. • Zdolnościprzepływumogąoznaczaćkoszty. Wówczasminimalnecięcieoznaczaminimalnykosztzablokowaniaprzepływu w całejrzece.

31. Programowanie przepływów sieciowych [Network flowprogramming] • Formułowanie i rozwiązywanie problemów sieciowych poprzez programowanie liniowe nazywamy programowaniem przepływów sieciowych. • Każdy problem przepływów sieciowych może być przedstawiony jako program przepływów sieciowych minimalnego kosztu [Minimum-costnetworkflow program]: • Zmienne: nieznane przepływy przyporządkowane łukom • Zachowanie przepływu w wierzchołkach: • Źródło [source] lub zlew [sink] :

32. Programowanie przepływów sieciowych [Network flowprogramming] • Ograniczenia przepływów na łukach: mogą być dolne (np. minimalny wskaźnik produkcji w fabryce) {bazowa wartość 0} bądź górne (np. maksymalny przepływ przez rurę) {bazowa wartość +∞} • przepływy nie powinny być ujemne (traci się przejrzystość przedstawienia sieci) • Koszt jednostki przepływu {wartość bazowa 0}: (jeśli ujemny to jest to przychód) • Funkcja celu: • Są trzy parametry dla każdego łuku: [l, u, c] • Ograniczenie dolne l • Ograniczenie górne u • Koszt jednostki przepływu c

33. Diagram a program liniowy Relacja 1:1 Od teraz odpowiednio oznaczony diagram uważać będziemy za równoważny sformułowaniu programu liniowego.

34. Właściwości • Współczynniki przy zmiennych występujących po lewej stronie ograniczeń przyjmują wartości -1,0 lub 1 • Wszystkie operacje pivot w algorytmie simplex składają się li tylko z dodawania i odejmowania (nie ma potrzeby mnożenia) • Jeszcze lepiej: operacje dodawania i odejmowania mogą być zastąpione poprzez operacje logiczne w sieciowym algorytmie sympleks [Network simplexalgorithm] • Jeśli po prawej stronie wszystkich ograniczeń są liczby całkowite i wszystkie operacje pivot są operacjami dodawania i odejmowania, to zmienne decyzyjne w optymalnym rozwiązaniu też będą całkowite – właściwość unimodularności[unimodularity property] • Bardzo użyteczne w rozwiązywaniu wielu zadań programowania całkowitoliczbowego, np. zadań przyporządkowania [assignment problem]

35. Problem transportowy • Prosty, ale bardzo przydatny w praktyce • Składa się ze zbioru źródeł produktów (np. fabryki), które są bezpośrednio połączone z punktami przeznaczenia (np. rynki w różnych miastach). Każdemu połączeniu przyporządkowany jest koszt na jednostkę przepływu • Podaż nie większa niż zdolność danej fabryki • Popyt dokładnie równy dostarczonym produktom • Każdy łuk ma bazowe dolne i górne ograniczenie i koszt (w nawiasie)

36. Problem przyporządkowania [assignment problem] • Pojawia się również jako problem programowania całkowitoliczbowego. • Przyporządkowanie zbioru ludzi do zbioru zadań tak, aby zminimalizować łączny czas wykonania zadań. • Każda osoba potrzebuje pewną ilość czasu na wykonanie danego zadania albo nie jest w stanie w ogóle tego zadania wykonać. • Każda osoba może być przyporządkowana do dokładnie jednego zadania.

37. Problem przyporządkowania [assignment problem] • Problem przyporządkowania może być sformułowany w postaci sieci transportowej: • Każda osoba to wierzchołek źródłowy, który wprowadza dokładnie jedną jednostkę przepływu do sieci (jeśli jest więcej osób niż zadań: nie więcej niż jedną jednostkę) • Każde zadanie to wierzchołek przeznaczenia, który usuwa z sieci dokładnie jedną jednostkę przepływu • Koszt przepływu na każdym łuku to ilość minut danej osoby/dane zadanie • Optymalne przepływy w łukach będą równe dokładnie 0 lub dokładnie 1 • Z powodu własności unimodularności będą liczbami całkowitymi • Ponieważ źródła i punkty przeznaczenia mają przypływy i odpływy równe dokładnie 1

38. Problem transportowy z przeładunkami [transshipment problem] • Tak jak problem transportowy, ale dodatkowo: • są wierzchołki, które zachowują przepływ [flowconservingnodes] – punkty przeładunku • wierzchołki źródłowe i przeznaczenia mogą również służyć za punkty przeładunku • B jest jednocześnie źródłem i punktem przeładunku • G jest jednocześnie punktem przeznaczenia i punktem przeładunku • D i E są tylko punktami przeładunku

39. Problem najkrótszej trasy [shortestroute problem] • Zamiast algorytmu Dijkstra można rozwiązać programowaniem sieciowym • Postępowanie jest następujące: • Stwórz diagram sieciowy • Zapisz etykiety łuków: ograniczenie dolne 0, ograniczenie górne +∞, koszt = długość łuku, np. [0, ∞,12] • Punkt początkowy jest wierzchołkiem źródłowym z dokładnie jedną jednostką przepływu bez kosztu za jednostkę przepływu, zatem [1,1,0] • Punkt końcowy jest wierzchołkiem przeznaczenia z dokładnie jedną jednostką przepływu bez kosztu za jednostkę przepływu, a więc [1,1,0] • Łuki z dodatnim przepływem będą na najkrótszej trasie. • Dzięki własności unimodularności przepływ na łuku będzie 0 albo 1.

40. Problem drzewa najkrótszej trasy [shortestroutetree problem] • Tak samo jak problem najkrótszej trasy tylko, że wierzchołków przeznaczenia może być wiele (jeśli nie wszystkie) • Problem to znalezienie najkrótszej trasy z punktu początkowego do każdego punktu końcowego • Można rozwiązać wiele problemów najkrótszej trasy zmieniając punkt końcowy, ale prostszy sposób to rozwiązać to za pomocą jednego problemu. • Załóżmy, że jest n wierzchołków przeznaczenia. Postępowanie: • Stwórz diagram sieciowy • Zapisz etykiety łuków: ograniczenie dolne 0, ograniczenie górne +∞, koszt = długość łuku, np. [0, ∞,12] • Punkt początkowy jest wierzchołkiem źródłowym z dokładnie n jednostkami przepływu bez kosztu za jednostkę przepływu, zatem [n,n,0] • Punkt końcowy jest wierzchołkiem przeznaczenia z dokładnie jedną jednostką przepływu bez kosztu za jednostkę przepływu, a więc [1,1,0] • W optimum tylko całkowite przepływy (unimodularność). Należy zaznaczyć wszystkie łuki, które mają dodatni przepływ. Najkrótszą trasę znajdujemy od tyłu. Począwszy od danego wierzchołka końcowego poruszamy się zaznaczonymi łukami w kierunku wierzchołka początkowego.

41. Maksymalny przepływ / Minimalne cięcie [Max flow / Min cut problem] • Zamiast algorytmu Forda-Fulkersona możemy zastosować programowanie sieciowe – problem przepływu sieciowego o minimalnym koszcie. • Postępowanie jest następujące: • Stwórz diagram sieciowy • Stwórz etykiety dla każdego łuku: dolne ograniczenie 0, górne ograniczenie równe maksymalnemu przepływowi dla tego łuku i koszt przepływu 0, np. [0,25,0] • Stwórz wierzchołek początkowy z bardzo wysokim górnym ograniczeniem bez kosztu za przepływ, a więc [0,M,0], gdzie M jest bardzo dużą liczbą • Niech każdy wierzchołek końcowy będzie potencjalnym odpływem [sink node] z bardzo wysoką zdolnością przepływową i z kosztem na jednostkę przepływu równym -1, a więc [0,M,-1], gdzie M jest bardzo dużą liczbą • W optimum: rozważmy wierzchołek przeznaczenia. Ma on koszt na jednostkę -1. Funkcja celu to minimalizacja kosztu, zatem program będzie chciał przepuścić jak najwięcej przez ten wierzchołek. W wierzchołku źródłowym będzie również chciał przepuścić jak najwięcej. Ograniczeniem będzie przepustowość sieci (czyli jej poszczególnych łuków)

42. Maksymalny przepływ / Minimalne cięcie [Max flow / Min cut problem] • Rozwiązanie problemu przepływu o najniższym koszcie dostarczy następujących informacji: • Odpływ z sieci w wierzchołku przeznaczenia równa się maksymalnemu przepływowi sieci • Przepływy w poszczególnych łukach tworzą schemat przepływów w maksymalnym przepływie sieci • Minimalne cięcie znajdujemy tak samo, jak po skończeniu algorytmu Forda-Fulkersona: Zaznacz łuki, które wykorzystują całą swoją zdolność przepływu. Znajdź cięcie wykorzystujące wyłącznie zaznaczone łuki. • Jaka jest dobra wartość M? • Nie za mała – musi być na pewno większa niż maksymalny przepływ, którego szukamy • Nie za duża – żeby uniknąć problemów numerycznych • Dobra propozycja – wartość przypadkowego cięcia w sieci, ponieważ wiemy z twierdzenia max flow/min cut, że wartość cięcia będzie nie mniejsza niż wartość maksymalnego przepływu w sieci

43. Sieci uogólnione [generalized networks], sieci z ograniczeniami pomocniczymi [network withsideconstraints] oraz sieci procesowe [processing networks] • W sieci uogólnionej, łuki mają współczynniki przyrostu [gainfactors]: czyli liczby, które wymnaża się przepływ wchodzący do danego łuku, aby uzyskać przepływ wychodzący z łuku • Np. współczynnik przyrostu (a raczej obniżenia) 0,9 może oznaczać nieszczelny rurociąg • Np. współczynnik przyrostu 1,1 może oznaczać wzrost wartości obiektu w sieci transportowej z wartością obiektu jako przepływami • Sieci z ograniczeniami pomocniczymi – może zajść potrzeba dodania dodatkowego ograniczenia, które nie jest sieciowe (współczynniki przy zmiennych -1, 0 i 1), np. • Specjalistyczne algorytmy dla sieci z ograniczeniami pomocniczymi (część sieciowa rozwiązywana za pomocą szybkiego algorytmu sieciowego a reszta normalnie i potem te rozwiązania są łączone) • Sieci procesowe – bardzo przydatne do modelowania systemów inżynierskich bądź firm, takie sieci mają dodatkowo wierzchołki procesujące [processingnodes], w których przepływy w sąsiadujących łukach muszą występować w ściśle określonych proporcjach względem siebie

44. Model z 1963 roku • Mamy dwie fabryki (Seattle i San Diego) i trzy rynki zbytu (New York, Chicago i Topeka) • Uwzględniając popyt rynków zbytu oraz podaż fabryk celem jest minimalizacja kosztów transportu homogenicznego towaru pomiędzy fabrykami a rynkami zbytu

45. Cel: minimalizacja całkowitego kosztu transportu • Decyzja: jak dużo przewieźć z fabryki A do rynku zbytu B • Subskrypty: • i: fabryki • j: rynki zbytu • Dane: • Podaż towaru w fabryce i (w skrzyniach): • Popyt na towar na rynku j (w skrzyniach): • Koszt na przewozu jednej skrzyni z fabryki i do rynku j: • Zmienne decyzyjne – liczba skrzyń przewożonych pomiędzy i a j • Ograniczenia • Ograniczona podaż: • Trzeba zaspokoić popyt:

48. 1) Echo Print

49. 1) Echo Printcd. 2) ErrorMessages normalnie są tutaj i tutaj się kończy wtedy 3) Equation Listing

50. 3) Equation Listing cd.