Unità 6

1. Unità 6 I moti nel piano

2. 1. Vettore posizione e vettore spostamento Per descrivere il moto di un punto materiale sul piano, servono: • un riferimento cartesiano; • un metro per misurare le coordinate xp e yp del punto; • un cronometro per misurare i tempi.

3. Vettore posizione e vettore spostamento • Vettore posizione: individua il punto P della traiettoria in cui si trova il punto materiale ad un dato istante. • Vettore spostamento: è la variazione del vettore posizione in un intervallo di tempo.

4. Il vettore spostamento • Il vettore spostamento si determina sottraendo i due vettori posizione corrispondenti a due diversi istanti di tempo, t1 e t2. Il vettore  definisce direzione, verso e lunghezza dello spostamento.

5. Vettore spostamento in t molto brevi • Lo spostamento di un punto materiale durante un intervallo di tempo sempre più piccolo diventa un vettore tangente alla traiettoria.

6. 2. Il vettore velocità • Nel moto di un punto materiale sul piano, le informazioni che riguardano la velocità sono: • la direzione (nella figura, la retta Bologna-Faenza); • il verso (da Faenza a Bologna); • il valore, o modulo, della velocità (30 km/h).

7. Il vettore velocità • Quindi la velocità è un vettore (il cui punto di applicazione non è rilevante) definito come: • t finito: velocità media • t piccolissimo: velocità istantanea

8. Il vettore velocità • Il vettore velocità è ottenuto moltiplicando il vettore spostamento per il numero 1/t: • Perciò ha sempre il verso e la direzione dello spostamento e la velocità istantanea è tangente alla traiettoria.

9. 3. Il vettore accelerazione • Definiamo il vettore accelerazione come: • t finito: accelerazione media • t piccolissimo: accelerazione istantanea • Il vettore accelerazione ha sempre stessa direzione e verso del vettore

10. Direzione e verso del vettore accelerazione • In un moto su una curva, il vettore accelerazione è diretto sempre verso l'interno della curva.

11. Direzione e verso del vettore accelerazione • Nel moto rettilineo si ha accelerazione se cambia il valore scalare della velocità. • Nel moto in un piano si ha un vettore accelerazione non nullo se: • cambia il valore del vettore velocità • cambia la direzione o/e il verso del vettore velocità. • Il vettore accelerazione rappresenta la rapidità con cui varia il vettore velocità.

12. 4. Il moto circolare uniforme • E' un moto in cui: • la traiettoria è una circonferenza; • il modulo (valore) della velocità non cambia; • il punto materiale percorre archi di circonferenza che sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati. P .

13. Direzione del vettore velocità • Scegliamo un sistema di riferimento con origine nel centro della traiettoria.

14. Periodo e frequenza • Periodo (T): tempo impiegato a percorrere un giro completo di circonferenza (es. la lancetta dei secondi di un orologio ha un periodo di 60 s). • Frequenza (f): numero di giri compiuti in un secondo (es. la lancetta dei secondi ha una frequenza di 1/60 Hz).

15. Il valore della velocità istantanea • Poiché nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante, il suo valore è dato dal rapporto s/t , dove: • s = la lunghezza della circonferenza = 2r e • t= il tempo impiegato a percorrerla = T

16. 5. La velocità angolare • Consideriamo un satellite in moto circolare intorno alla Terra.

17. La velocità angolare • Definiamo velocità angolare  il rapporto tra l'angolo al centro, , ed il tempo necessario a spazzarlo, t. L'angolo  si misura in radianti.

18. L'angolo in radianti • La misura di un angolo, espressa in radianti, è il rapporto tra la lunghezza l dell'arco AB corrispondente ad  e quella del raggio r della circonferenza:

19. Il valore della velocità angolare • Nel moto circolare uniforme gli angoli al centro spazzati dal raggio vettore sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati. • Per calcolare  prendiamo  = 2 e t = T: • Quindi vsi può scrivere:

20. 6. L'accelerazione centripeta • Nel moto circolare uniforme, il vettore velocità cambia continuamente in direzione e verso: quindi c'è un'accelerazione. • Essa è detta accelerazione centripeta perché è un vettore rivolto sempre verso il centro della circonferenza. • Si indica con il simbolo

21. L'accelerazione centripeta • Costruzione del vettore

22. Il valore dell'accelerazione centripeta • Si dimostra che il modulo dell'accelerazione centripeta è: • poiché v = r, , da cui

23. Dimostrazione delle proprietà di ac (1)‏ Il vettore velocità compie un giro completo ogni volta che il raggio vettore percorre un giro, quindi ha lo stesso periodo T.

24. Dimostrazione delle proprietà di ac(2)‏ • Il vettore “velocità della velocità” rappresenta l'accelerazione centripeta. La relazione tra a e v è la stessa che c'è tra v e r:

25. 7. Il moto armonico • E' il moto di un punto che oscilla avanti e indietro lungo lo stesso tragitto. Esempi: l'altalena; una molla appesa al soffitto.

26. Il moto armonico • E' il movimento che si ottiene proiettando su un diametro il moto circolare uniforme di un punto.

27. Il grafico spazio-tempo del moto armonico • Per ottenerlo, si può attaccare una penna al pesetto appeso alla molla e farla tracciare su un foglio che si srotola a velocità costante: Foglio fermo Foglio in moto a v costante

28. Il grafico spazio-tempo del moto armonico • Si ottiene un grafico periodico caratterizzato da: • ampiezza: distanza del massimo spostamento dall'origine. • periodo (T): durata di un'oscillazione completa. • frequenza (f) : numero di oscillazioni in un secondo.

29. La legge del moto armonico • Il grafico periodico è quello della funzione cosinusoide: • s: distanza del punto dall'origine. • r: raggio della circonferenza. • : velocità angolare del moto circolare o pulsazione del moto armonico.

30. La velocità istantanea • Il moto armonico è rettilineo non uniforme: La velocità è massima al centro e diminuisce verso gli estremi (dove si annulla).

31. 8. L'accelerazione del moto armonico • I vettori posizione, velocità e accelerazione del moto armonico sono le proiezioni dei rispettivi vettori nel moto circolare uniforme: posizione velocità accelerazione

32. L'accelerazione del moto armonico • Il vettore accelerazione è proporzionale al vettore posizione ed ha sempre verso opposto.

33. L'accelerazione del moto armonico • I triangoli OPQ e LMP sono simili, perciò si può scrivere la proporzione: Il segno meno nella formula vettoriale indica che i due vettori hanno sempre verso opposto.

34. 9. Composizione di moti • Consideriamo una persona che si sposta su una nave in movimento:

35. Composizione di spostamenti e velocità Se un corpo è soggetto a due spostamenti simultanei, lo spostamento complessivo è dato dalla somma vettorialedei due spostamenti: Per le velocità vale la stessa legge: dividendo la formula per t : • la velocità totale è la somma vettoriale delle velocità.

36. Composizione di velocità • Una ragazza che nuota in direzione perpendicolare alla spiaggia (fig.A), in presenza di corrente (fig.B) si muoverà seguendo una direzione obliqua (fig.C).