Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

1. IZOTROPNE ELASTIČNE TRDNINE PRI VELIKIH DEFORMACIJAH Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

2. SPREMEMBA SISTEMA OPAZOVANJA V klasični mehanike je opazovalec definiran kot togo telo z uro. V teoriji mehanike kontinuuma je opazovalec običajno definiran kot “okvir opazovanja”. Sprememba okvirja opazovanja pomeni spremembo opazovalca iz V klasični mehaniki se časa različnih okvirjev razlikujeta za konstanto, ki je lahko tudi nič. Najbolj splošna oblika spremembe okvirja opazovanja je relativni premik bazne točke splošni časovno odvisni ortogonalni tenzor, ki predstavlja rotacijo ali refleksijo (spremembo desnosučnega v levosučno opazovanje) V primeru, da sta oba okvirja opazovanja enakosučna, je ta tenzor pravilni ortogonalni tenzor. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

3. Sprememba okvirja opazovanja je nekaj drugega kot sprememba koordinatnega sistema. Spremembo okvirja opazovanja določimo z enačbami na prejšji strani. Vsak okvir opazovanja pa ima lahko različni koordinatni sistem. Razdaljo med dvema točkama imenujemo objektivni skalar ali od okvirja opazovanjaneodvisni skalar. Po drugi strani pa hitrost ni neodvisna od okvirja opazovanja. Skalarji so neodvisno od koordinatnega sistema. So pa lahko odvisni od okvirja opazovanja. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

4. Imejmo naslednji dve točki Velja Ali Vektorji, ki upoštevajo zgornjo enakost, so objektivni ali indiferentni vektorji. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

5. Imejmo tenzor, ki transformira objektivni vektor v drugi objektivni vektor Imejmo drugi tenzor, ki ga opazujemo v zvezdičnem okvirju opazovanja. Potem velja Ker sta in objektivna vektorja, velja Tako velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

6. Ker omenjeno velja za vsak imamo Tenzorji, ki upoštevajo zgornjo enakost so objektivni tenzorji. Povzetek povedanega: skalarji, vektorji in tenzorji, ki upoštevajo naslednje transformacijske zakone pri spremembi okvirja opazovanja so objektivni skalar objektivni vektor objektivni tenzor MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

7. KONSTITUCIJSKE ZVEZE ZA ELASTIČNO SNOV PRI VELIKIH DEFORMACIJAH Tudi v tem primeru, tako kot v primeru majhnih deformacij, konstitucijske zveze korelirajo stanje napetosti s stanjem deformacije. Vendar v primeru velikih deformacij nastopajo drugi tenzorji kot v primeru majhnih deformacij. Ti deformacijski tenzorji so levi Cauchy-Greenov deformacijski tenzor desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor Lagrangeov deformacijski tenzor Ustrezni napetostni tenzorji so Cauchijev napetostni tenzor prvi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

8. Vendar ni jasno, kateri napetostni tenzor korelirati s katerim deformacijskim. Npr. konstitucijska zveza oblike se izkaže, da ni sprejemljiva. Zahtevo, da mora biti konstitucijska zveza neodvisna od okvirja opazovanja imenujemo snovno neodvisnost. Tako mora biti sila in z njo Cauchijev napetostni tenzor neodvisna od okvirja opazovanja. Se pravi MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

9. KONSTITUCIJSKE ZVEZE ZA IZOTROPNI ELASTIČNI MATERIAL Konstitucijske zveze za izotropni elastični material definiramo kot Se pravi, koreliramo Cauchijev napetostni tenzor z levim Cauchy-Greenovim deformacijskim tenzorjem. Pri tem je izotropna funkcija, ki zadosti naslednjemu kriteriju to je pravzaprav definicija izotropne funkcije Posebni primer izotropne funkicje je in MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

10. Matematično lahko dokažemo, da je najbolj splošna oblika izotropne funkcije v treh dimenzijah enaka Pri tem so skalarne funkcije osnovnih skalarnih invariant tenzorja . Tako je konstitucijska zveza za izotropni elastični material pri velikih deformacijah enaka MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

11. Ker tenzor zadosti svojo lastno karakteristično enačbo,velja Zato lahko konstitucijsko zvezo Zapišemo tudi v obliki To je alternativna oblika za najbolj splošno konstitucijsko zvezo za izotropno elastično snov pri velikih deformacijah. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

12. V primeru nestisljive snovi je konstitucijska zveza nedoločena do poljubne hidrostatične konstante sta funkciji skalarnih invariant tenzorja za nestisljivo snov Če funkciji izpeljemo iz potencialne funkcije , velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

13. V tem primeru lahko zapišemo Takšna snov je hiperelastična izotropna snov. Dobro znana konstitucijska zveza za to snov je podana z enačbo To je znana Mooney-Rivlinova konstitucijska zveza za gumo. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

14. Energijska funkcija, ki ustreza tej konstitucijski zvezi, je oblike MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

15. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID