Bloque II * Tema 062

1. Bloque II * Tema 062 PRODUCTO ESCALAR Matemáticas Acceso a CFGS

2. PRODUCTO ESCALAR • PRODUCTO ESCALAR • El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: • u.v = |u|.|v|. cos[u,v] , si u y v no son nulos. • El producto escalar será 0 si u o v son el vector nulo o si son perpendiculares • EJEMPLO • Hallar el producto escalar: • u=(3,4) • |v|=3 • [u,v]=60º • |u|=√(9+16)=5 • u.v = 5.3.cos 60º • u.v = 15.0’5 = 7’5 v [u,v] u Matemáticas Acceso a CFGS

3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA • INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA • Si proyectamos el vector v sobre el vector u se nos forma un triángulo rectángulo. • Por trigonometría: • |v’|=|v|.cos [u,v] • Podemos decir que: • El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero. • u.v = |u|.|v’| • De igual manera: • u.v = |v|.|u’| u’ v v [u,v] [u,v] v’ u u Matemáticas Acceso a CFGS

4. Ejemplo • Dos vectores u y v son tales que: |u|=4, |v|=6, [u.v]=45º • Hallar el producto escalar. • Proyectamos el vector v sobre el vector u: • |v’|=|v|.cos 45 = 6.√2/2 = 3√2 • Producto escalar: u.v = |u|.|v’|=4. 3√2 = 12√2 • Proyectamos el vector u sobre el vector v: • |u’|=|u|.cos 45 = 4.√2/2 = 2√2 • Producto escalar: u.v = |u’|.|v|=2√2.6 = 12√2 u’ v v [u,v] [u,v] v’ u u Matemáticas Acceso a CFGS

5. EXPRESIÓN ANALÍTICA • EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR • Sean los vectores libres, u y v, y sea B=(i,j) la base canónica del espacio V2: • u = xi + yj • v = x’i + y’j • u.v = (xi + yj).(x’i + y’j) • u.v = xi.x’i + xi. y’j + yj.x’i + yj.y’j • u.v = x.x’.(i.i) + x.y’.(i.j) + y.x’.(j.i) + y.y’.(j.j) • Como: • i.i=|i|.|i|.cos 0º = 1.1.1 = 1 • i.j =|i|.|j|. cos 90º = 1.1.0 =0 • j.i =|i|.|j|. cos 90º = 1.1.0 =0 • j.j=|j|.|j|.cos 0º = 1.1.1 = 1 • Queda: • u.v = x.x’ + y.y’ v y’ y j u [u,v] i x’ x Matemáticas Acceso a CFGS

6. EJEMPLO_1 • Sea el vector v= (6, 8) y u=(2, 3). Hallar el producto escalar. • u.v = (2, 3).(6, 8) = 2.6 + 3.8 = 12 + 24 = 36 • EJEMPLO_2 • Sea el vector v= (3, 11) y u=(1, 3). Hallar el producto escalar. • u.v = (1, 3).(3, 11) = 1.3 + 3.11 = 3 + 33 = 36 • EJEMPLO_3 • Sea el vector v= (-2, 5) y u=(5, 2). Hallar el producto escalar. • u.v = (5, 2).(-2,5) = 5.(-2) + 2.5 = -10 + 10 = 0 • EJEMPLO_4 • Sea el vector v= (-3, 2) y u=(5, -3). Hallar el producto escalar. • u.v = (5, -3).(-3, 2) = 5.(-3) + 2.(-3) = – 15 – 6 = – 21 Matemáticas Acceso a CFGS

7. EJEMPLO_5 • Sean los vectores |v|= 6 y |u|= 3. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 45º. • u.v = |u|.|v|. cos 45 = 6.3.0,707 = 18.0,707 = 15,756 • EJEMPLO_6 • Sean los vectores |v|= 5 y |u|= 7. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 60º. • u.v = |u|.|v|. cos 60 = 5.7.0,5 = 35.0,5 = 17,5 • EJEMPLO_7 • Sean los vectores v=(6, -3), u = (-3,7) y |w| = 5. Hallar el producto escalar (u+v).w, si el ángulo que forma el vector w con la suma u+v es de 30º. • (u+v).w = |u+v|.|w|. cos 30º = |(6-3, -3+7)|.5.0,866 = • = |(3, 4)|.5.0,866 = √(9+16).5.0,866=√25. 5. 0,866 = 25.0,866= 21,65 Matemáticas Acceso a CFGS

8. PROPIEDADES DEL PRODUCTO • 1.- El producto escalar de un vector por si mismo es un número positivo o nulo. • u.u = |u|.|u|. cos 0º = |u|2.1 = u|2≥ 0 • 2.- El producto escalar es commutativo • u.v = v.u = |u|.|v|. cos [u,v] • 3.- El producto escalar es homogéneo • k.(u.v) = (k.u).v = u.(k.v) • 4.- Distributiva respecto a la suma • w.(u+v) = w.u + w.v Matemáticas Acceso a CFGS

9. ÁNGULO QUE FORMAN • El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: • u.v = |u|.|v|. cos[u,v] • Si u=(x, y) y v=(x’, y’)  • También: u.v = x.x’ + y.y’ • Luego tenemos la igualdad: • |u|.|v|. cos[u,v] = x.x’ + y.y’ • De donde despejamos el ángulo que forman: • x.x’ + y.y’ • cos[u,v] = ------------------- • |u|.|v| v [u,v] u Matemáticas Acceso a CFGS

10. Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores • EJEMPLO_1 • Sea el vector v= (3, 4) y u=(6,8). Hallar el ángulo que forman. • |v| =√ [ 3 2 + 4 2 ] = √ 25 = 5 • |u| =√ [ 6 2 + 8 2 ] = √ 100 = 10 • u.v = (6, 8).(3, 4) = 18+32 = 50 • cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 50 / 5.10 = 50 / 50 = 1  [u,v] = 0º • EJEMPLO_2 • Sea el vector v= (-4, 3) y u=(6,-8). Hallar el ángulo que forman. • |v| =√ [ (- 4) 2 + 3 2 ] = √ 25 = 5 • |u| =√ [ 6 2 + (- 8) 2 ] = √ 100 = 10 • u.v = (6, - 8).(- 4, 3) = - 24 - 24 = - 48 • cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = - 48 / 5.10 = - 48 / 50 = - 0,96 •  [u,v] = 164º •  [u,v] = 196º Matemáticas Acceso a CFGS

11. Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores • EJEMPLO_3 • Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, -2). Hallar el ángulo que forman. • |v| =√ [ 2 2 + 5 2 ] = √ 29 = 5,3851 • |u| =√ [ 5 2 + (-2) 2 ] = √ 29 = 5,3851 • u.v = (5, -2).(2, 5) = 10 – 10 = 0 • cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 0 / 29 = 0  [u,v] = 90º y 270º • EJEMPLO_4 • Sea el vector v= (0, -5) y u=(3,-3). Hallar el ángulo que forman. • |v| =√ [ 0 2 + (- 5) 2 ] = √ 25 = 5 • |u| =√ [ 3 2 + (- 3) 2 ] = √ 18 = 4,2426 • u.v = (3, - 3).(0, - 5) = 0 + 15 = 15 • cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 15 / 5.4,2426 = 15 / 21,213 = 0,707 •  [u,v] = 45º y 315º Matemáticas Acceso a CFGS

12. Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores • EJEMPLO_5 • Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, p). • Hallar el valor de p para que formen un ángulo de 45º. • |v| =√ [ 2 2 + 5 2 ] = √ 29 = 5,3851 • |u| =√ [ 5 2 + p2 ] = √ (25+ p2) • u.v = (2, 5).(5, p) = 10 + 5p • cos [u,v] = u.v /|u|.|v| • Cos 45º = 10+5p / √ 29.√ (25+ p2) • (√2/2).√29.√(25+ p2) = (10+5p) • Elevando todo al cuadrado: • 0’5.29.(25+p2) = 100 + 100p + 25. p2 • 14,5. p2 + 362,5 = 100 + 100p + 25. p2 • 0 = 10’5.p2 + 100p – 262’5 • 0 = 105.p2 + 1000p – 2625 • 0 = 21.p2 + 200.p – 525 • p = (-200±√(40000 + 23152500))/42 = (-200±4816)/42 = 109’90 y – 119’43 Matemáticas Acceso a CFGS