1 / 38

Differentalkvotient af cos(x) og sin(x) og tan(x)

Differentalkvotient af cos(x) og sin(x) og tan(x). 1 Først en introduktion af de trigonometiske funktioner. Graferne monotoniforhold periodicitet osv…. 2 Herefter differentialkvotient. Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x). Sætning 2:

afya
Download Presentation

Differentalkvotient af cos(x) og sin(x) og tan(x)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Differentalkvotient af cos(x) og sin(x) og tan(x)

  2. 1 Først en introduktion af de trigonometiske funktioner. Graferne monotoniforhold periodicitet osv….

  3. 2 Herefter differentialkvotient. Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) Sætning 2: cos(x) er differentiabel med cos’(x) =-sin(x) Sætning 3: tan(x) er differentiabel med tan’(x) = 1+tan(x)2

  4. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x)

  5. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) Bevis: Vi bruger som altid i differentialregningsbeviser tretrinsreglen (side 71 i Vejen til Matematik A2): Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten) Trin2: Herefter omskrives denne til trin3 er muligt Trin3: lad gå mod 0. Funktionen er differentiabel hvis grænseværdien findes og grænseværdien er differentialkvotienten

  6. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten):

  7. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten): Trin 2: Nu bruges en additionsformel for sinus. (Den bevises til sidst, hvis der er tid til det) Additionsformel: sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

  8. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten): Trin 2: Nu bruges en additionsformel for sinus. (Den bevises til sidst, hvis der er tid til det) Der udføres et par omskrivninger før vi er klar til trin 3: Additionsformel: sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

  9. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)

  10. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)  ?? For x 0

  11. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)  ?? For x 0 Vi får brug for et par hjælpesætning, der fortæller os noget om grænseværdien af de to indrammede udtryk

  12. 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Bevis: Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)  ?? For x 0 Vi får brug for et par hjælpesætning, der fortæller os noget om grænseværdien af de to indrammede udtryk. Hjælpesætning 1: Hjælpesætning 2:

  13. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på x O x

  14. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på x O x

  15. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på, en forbindingslinje x O x

  16. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på, en forbindingslinje og nogle navne A x E O D C x B

  17. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Læg mærke til at der er tre ”veje” fra A til B. Den røde vej er kortere end buestykket som er kortere end den blå vej. A x E O D C x B

  18. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Læg mærke til at der er tre ”veje” fra A til B. Den røde vej er kortere end buestykket som er kortere end den blå vej. A x E O D C x B

  19. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Læg mærke til at der er tre ”veje” fra A til B. Den røde vej er kortere end buestykket som er kortere end den blå vej. A x E O D C x B

  20. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Ifølge definitionen af sinus (husk på det er en enhedscirkel) er og derfor er A x E O D C x B

  21. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: A x E O D C x B

  22. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Ifølge definitionen af radianer er A x E O D C x B

  23. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: A x E O D C x B

  24. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Trekanten OAE er retvinklet (da EB er et tangentstykke) og da den ene katete (OB) har længden 1 har den anden længden tan(x), dvs. A x E O D C x B

  25. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: A x E O D C x B

  26. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Divider igennem med 2: A x E O D C x B

  27. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Divider igennem med 2: eller: og A x E O D C x B

  28. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: A x E O D C x B

  29. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Da x er positiv ændres ulighedstegnene ikke ved division med x og den første af ulighederne giver: A x E O D C x B

  30. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Da x er positiv ændres ulighedstegnene ikke ved division med x og den første af ulighederne giver: Den anden ulighed omskrives: A x E O D C x B

  31. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Da x er positiv ændres ulighedstegnene ikke ved division med x og den første af ulighederne giver: Den anden ulighed omskrives: Alt i alt: A x E O D C x B

  32. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: A x E O D C x B

  33. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Bemærk at dette også gælder for x Fordi cos(-x) = cos(x) og sin(-x) =-sin(x) A x E O D C x B

  34. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: Lad nu x gå mod 0. Da cos(0)=1 vil venstre side gå mod 1.   Højre siden går også mod 1. er på den måde ”klemt inde” mellem to størrelser, der går mod 1 for x gående mod 0. Hjælpesætningen er bevist. A x E O D C x B

  35. 4 Hjælpesætning 1 med bevis Hjælpesætning 1: Bevis: A x E O D C x B

  36. Hjælpesætning 1 er nu bevist Hjælpesætning 2 beviser vi ikke (de interesserede kan læse beviset i noten) Vi kan nu færdiggøre beviset:

  37. Hjælpesætning 2 er nu bevist Hjælpesætning 3 beviser vi ikke (de interesserede kan læse beviset i noten) Vi kan nu færdiggøre beviset: Hjælpesætning 1: Hjælpesætning 2:

  38. Hjælpesætning 2 er nu bevist Hjælpesætning 3 beviser vi ikke (de interesserede kan læse beviset i noten) Vi kan nu færdiggøre beviset:  0 + cos(x0) = cos(x0) For x 0 Hjælpesætning 1: Hjælpesætning 2:

More Related