FUNGSI SUB BAB 1.8

1. FUNGSI SUB BAB 1.8

2. Definisi: f : A  B A dan B adalah himpunan. Fungsi f memasangkan tepat satu nilai di B kepada setiap elemen A. Notasinya f(a) = b, di mana b adalah nilai unique (satu-satunya) yang dipasangkan kepada a. A B f b v t a x A disebut domain (daerah asal) B disebut codomain {b,t} disebutrange(daerah hasil)

3. Terminologi: f: A  B • Fungsi f memetakan (maps) A ke B • A = domaindari fungsi f, B = codomain dari fungsi f • f(a) = b, b disebut image (bayangan) dari a, a disebut pre-image dari b • Himpunan bagian dari B yang berisi semua bayangan disebut range dari fungsi f

5. Beberapa contoh fungsi: • Fungsi linier: • Fungsi kuadrat: • Fungsi Polinom: • Fungsi Trigonometri: • Fungsi Eksponen: • Fungsi Logaritma: • Fungsi invers: • Fungsi tangga • Fungsi Lantai • Fungsi Atap • Fungsi Pecahan: • dll

6. Fungsi Polinom Bentuk umum fungsi polinom order atau pangkat n ( n bilangan bulat positif ) dinyatakan oleh: dengan . Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu : Misal f(x) merupakan fungsi polinom order n maka akan mempunyai paling banyak n buah pembuat nol yang berbeda. Untuk mendapatkan pembuat nol fungsi polinom dapat digunakan aturan horner.

7. Beberapa contoh fungsi: • Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) =  x  •  x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x • Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) =  x  •  x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x x  x  x  x 

8. Contoh-contoh lain: lihat Examples 1 s/d. 3 1. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2 A = Z = { … -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = domain B = Z = codomain, { 0, 1, 4, 9, … } = range 2. Fungsi f adalah fungsi floor A = R = { bilangan nyata } = domain B = Z = { bilangan bulat } = codomain, range 3. Cari Df dan Rf dari: a. f(x)= b. f(x)=

9. Definisi: penambahan dan perkalian 2 fungsi • f1 : A  R, f2 : A  R • (f1 + f2) (x) = f1(x) + f2(x) • (f1 f2) (x) = f1(x) f2(x) • Contoh: Example 4 • f1 : R  R; f2 : R  R • f1(x) = x2; f2(x) = x - x2 • (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = (x2) + (x - x2) = x • (f1f2)(x) = f1(x)f2(x) = (x2)(x - x2) = x3 - x4 • Jika f(x)= dan g(x)= • cari Df dan Rf dari f+g dan f.g

10. Definisi: • f : A  R • S = himpunan bagian dari A • f(S) = { f(s) | s  S } • Contoh: Example 5 • A = { a, b, c, d, e }; S = { b, c, d } • B = { 1, 2, 3, 4} • f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1 • f(S) = { 1, 4 }

11. Jenis fungsi: f: A  B • One-to-one, injective • f fungsi injective  x y [ f(x) = f(y)  x = y ] • Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A • Onto, surjective • f fungsi surjective  y x [ f(x) = y ] • Universe (x) = domain = A; universe (y) = codomain (f) = B • One-to-one correspondence, bijective • f fungsi bijective jika f injective dan surjective

12. f : A  B • Strictly increasing • x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] • Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A • Strictly decreasing • x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] • Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A • Fungsi identitas f : A  A • f(x) = x

13. Contoh: example 6 1 2 3 4 5 a b c d 1-1; injective

14. Contoh: nomor urut nama murid 1 2 3 4 5 6 ayu bambang citra dono 1-1; injective

15. Contoh: example 6 (modified) 3 4 5 a b c d Onto, surjective (not 1-1)

16. Contoh: nilai huruf NRP 101 102 110 115 119 126 144 A B C D Onto, surjective (not 1-1)

17. Contoh: example 6 (modified) a b c d 1 3 4 5 1-1 and onto; bijective

18. Contoh: kegiatan rutin TIF-1 TIF-2 TIF-3 TIF-4 TIF-5 praktikum kuliah administrasi kemahasiswaan kantin 1-1 and onto; bijective

19. Fungsi invers: • f A  B di mana f(a) = b • f –1: B  A di mana f –1(b) = a • Catatan:fdan f –1harus bijective f a b f -1

20. Komposisi dua fungsi f dan g: • (f og) (a) = f(g(a)) • Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal, • selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya. g f a g(a) f(g(a)) f o g

21. Partial function: lihat halaman 111 f(x) undefined Total function: f A a b B x b y a x A B f