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Reducción al primer cuadrante

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Reducción al primer cuadrante. Cuando los ángulos son mayores que 90º, se expresa como un ángulo entre 0º y 90º, teniendo en cuenta el signo correspondiente. Esto permite calcular las razones trigonométricas de ángulos de cualquier cuadrante. Razones trigonométricas que difieren en .

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reducci n al primer cuadrante

Reducción al primer cuadrante

Cuando los ángulos son mayores que 90º, se expresa como un ángulo entre 0º y 90º, teniendo en cuenta el signo correspondiente.

Esto permite calcular las razones trigonométricas de ángulos de cualquier cuadrante.

razones trigonom tricas que difieren en
Razones trigonométricas que difieren en
  • Estos ángulos se expresan como “a y a + 2 pi”

En la figura se observa que <a y <(a + 2pi) tienen el mismo lado

Inicial y el mismo lado terminal.

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Cada una de las razones que difieren en 2pi tienen el mismo valor.
  • Sen(a + 2pi) = sen a
  • Cos(a + 2pi) = cos a
  • Tg(a + 2pi) = tg a
  • Cosec( a + 2pi) = cosec a
  • Sec(a + 2pi) = sec a
  • Cotg(a +2pi) = cotg a
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Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas para un ángulo de 420º.
  • Como el 420º = 60º + 360, entonces:
  • Sen420º = sen60º = ….
  • Calcula las otras razones.
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Razones trigonométricas de ángulos cuya suma es cero o 2p.
  • Estos ángulos se expresan como a y (-a) o bien como (a) y (2p – a)
  • En la figura se observa que (2p – a) y (-a), tienen el mismo lado terminal OR.

Triángulo OPQ congruente con triángulo ORQ, luego OR representa a sen(-a)

Y OQ a cos(-a)

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Así entonces:
  • Sen(2pi – a) = sen(-a) = -sen(a)
  • Cos(2pi – a) = cos(-a) = cos (a)
  • Tg(2pi – a) = tg(-a) = -tg(a)
  • Cosec(2pi – a) = cosec(-a) = -cosec(a)
  • Sec(2pi – a) = sec(-a) = sec(a)
  • Cotg(2pi – a) = cotg(-a) = -cotg(a)
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Ejemplo: calcular las razones trigonométricas para un ángulo de 330º.

Como 330º = 360º - 30º, se tiene entonces:

Sen330º= sen(-30º) = -sen30º = …

Calcula las otras razones.

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Razones trigonométricas de ángulos que difieren en pi
  • Los ángulos cuya diferencia es pi, se expresan como (a) y (a + pi)

Triángulo OAB congruente con triángulo OCD

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Como OA y OC representan al cos(a) y además CD y AB representan al sen(a), con las medidas respectivas negativas para ángulos del tercer cuadrante, así:
  • Sen(a + pi) = -sen(a)
  • Cos(a + pi) = -cos(a)
  • Tg(a + pi) =tg(a)
  • Cosec(a + pi) = -cosec(a)
  • Sec(a + pi) = -sec(a)
  • Cotg( a + pi) = cotg(a)
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Ejemplo: Calcular las razones de un ángulo de 225º.
  • Como 225º = 180º + 45º, entonces.
  • Sen225º= -sen45 = …
  • Calcula las otras razones.
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Razones trigonométricas de ángulos suplementarios.

Estos ángulos llamados suplementarios se expresan como (a) y (pi – a)

Triángulo OAB congruente con triángulo OCD.

Se sabe que AB y CD representan al sen(a) y OA con OC representan a cos(a)

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De lo anterior entonces:
  • Sen(pi – a) = sen(a)
  • Cos(pi – a) = -cos(a)
  • Tg(pi – a) = -tg(a)
  • Cosec(pi – a) = cosec(a)
  • Sec( pi – a) = -sec(a)
  • Cotg(pi –a) = -cotg(a)
  • Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º.
  • Recordar 150º = 180º - 30º
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Razones de ángulos que difieren en (pi/2)

Estos ángulos cuya diferencia es (pi/2), se expresan como (a) y (pi/2 +a)

Triángulo OAB congruente con triángulo OCD, con CD = OA = sen(a)

Además OC = AB = cos(a), siendo sen(a) positivo y cos(a) negativo

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Se tiene entonces:
  • Sen(pi/2 + a) = cos(a)
  • Cos(pi/2 +a) = -sen(a)
  • Tg(pi/2 +a) = -cotg(a)
  • Cosec(pi/2 +a) = sec(a)
  • Sec(pi/2 +a) = -cosec(a)
  • Cotg(pi/2 + a) = -tg(a)
  • Ej: Calcular las razones para un ángulo de 150º, recordar 150º = 90º + 60º