Programação Linear

1. Programação Linear Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes Agosto - 2009

2. Introdução Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma Maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não-negativos. Matemáticamente podemos representar um problema padrão por:

3. Introdução Maximizar: Z = c1x1 + c2x2 + ... Cnxn Sujeito a: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn≤b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn≤ b2 : : : am1x1 + am2x2 + ... + amnxn≤ bm x1, x2, ... xn≥ 0

4. Introdução ou na forma reduzida: Maximizar: Z = Sujeito a: x1, x2, ..., xn≥ 0

5. Introdução ou na forma matricial, equivalentemente Max CTx s.a: Ax ≤ b x≥0 Onde Amxn matriz, e

6. Resolução Gráfica Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente. Imagine o seguinte problema de programação linear:

7. Resolução Gráfica (exemplo 1) • Max Z = 5x1 + 2x2 • Sujeito a: • x1≤ 3 • x2 ≤ 4 • x1 + 2x2 ≤ 9 • x1≥ 0 e x2 ≥ 0

8. Resolução Gráfica (exemplo 2) • Max Z = x1 + x2 • Sujeito a: • 2x1 + x2 ≤ 2 • 6x1 + x2 ≤ 3 • x1≥ 0 e x2 ≥ 0

9. Resolução Gráfica (exemplo 3) Min 7x1 + 9x2 s.a: -x1 + x2≤ 2 x1 ≤ 5 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

10. Resolução Gráfica (exemplo 3) Min 6x1 + 10x2 s.a: -x1 + x2≤ 2 x1 + 2x2≥ 1 x1 ≤ 5 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0 Restrições Redundantes: restrições que não participam da determinação do conjunto de soluções viáveis.

11. Resolução Gráfica (exemplo 4) Min 6x1 + 10x2 s.a: -x1 + x2≤ 2 x1≤ 5 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0 Multiplicidade de Soluções: o problema apresenta mais de uma solução ótima

12. Resolução Gráfica (exemplo 5) Max 6x1 + 10x2 s.a: -x1 + x2≤ 2 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0 Problema Ilimitado: Quando existem infinitas soluções viáveis, porém não se consegue determinar a ótima.

13. Resolução Gráfica (exemplo 6) Max x1 + x2 s.a: x1 + x2≤ 12 x1 + x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0 Conjunto de soluções viáveis vazio (problema inviável)

14. Resolução Analítica Para se utilizar o método de resolução Analítica não existe um limite de variávies. Vamos resolver o exemplo abaixo: Max x1 + x2 s.a: 2x1 + x2≤ 2 x1 + 3x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

15. Resolução Analítica Exemplo 2: Max 4x1 + 8x2 s.a: 3x1 + 2x2≤ 18 x1 + x2 ≤ 5 x1 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

16. Resolução Analítica Exemplo 3: Max 2x1 + 6x2 s.a: 4x1 + 3x2≤ 12 2x1 + x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0