Proiect Divide et Impera

1. Proiect Divide et Impera Jugaurs Andrei, NegulescuCatalin,Burdea David siGruita Lorena

2. Prelucrarea vectorilor cu metoda „Divide et Impera”: • a. Determinarea sumei şi produsului elementelor vectorului #include<iostream.h> • intv[20],n; • intsuma(int li,intls) • {int m, d1 ,d2; • if(li!=ls) • {m=(li+ls)/2; • d1=suma(li,m); • d2=suma(m+1,ls); • return d1+d2; } • elsereturn • v[li]; } • voidmain() • { cout<<"n="; • cin>>n; • for(int i=1;i<=n;i++) • {cout<<"v["<<i<<"]=“; • cin>>v[i];} • cout<<"suma celor "<<n<<" elemente ale vectorului "<<suma(1,n); }

3. b. Determinarea elementului maxim / minim c. Determinarea cmmdc şi cmmmc al elementelor vectorului • #include<iostream> • usingnamespacestd; • intv[20], i, n, z, k; • voiddeicitire (int s, int d) • { int m; if(s==d) • cin>>v[s]; • else{m=(s+d)/2; • deicitire(s, m); • deicitire(m+1, d); }} • voiddeimax(int s, int d, int&z) • { int m, x1, x2; • if(s==d) z=v[s]; • else { m=(s+d)/2; • deimax(s, m, x1); • deimax(m+1, d, x2); • if(x1>x2)z=x1; • else z=x2; } } • voiddeimin(int s, int d, int&k) • { int m, x1, x2; • if(s==d) k=v[s]; • else { m=(s+d)/2; • deimin(s, m, x1); • deimin(m+1, d, x2); • if(x1<x2) k=x1; • elsek=x2; } } • intmain() • { cin>>n; • deicitire(1, n); • for(i=1; i<=n;i++) • cout<<v[i]<<” “; • deimax(1,n,z); • deimin(1,n,k); cout<<endl<<”max=”<<z; cout<<endl<<”min=”<<k; • return 0; }

4. 2. Problema turnurilor din Hanoi Turnurile din Hanoi • 2. Problema turnurilor din Hanoi Turnurile din Hanoi Se dau 3 tije simbolizate prin a,b,c. Pe tija a se gasesc n discuri de diametre diferite, asezate in ordine descrescatoare a diametrelor. Se cere sa se mute de pe tija a pe b, utilizand ca tija intermediara tija c, toate cele n discuri, respectandurmatoarele reguli: -la fiecare pas se muta un singur disc ; -nu este permis sa se aseze un disc cu diametrul mai mare peste un disc cu diametrul mai mic. Rezolvare: Daca n=1 se face mutarea ab, adica se muta discul de pe tija a pe tija b. Daca n=2 se fac mutarile ac,ab,cb. Daca n>2 . Notam cu H(n,a,b,c) sirulmutarilor celor n discuri de pe tija a pe tija b , utilizand ca tija intermediara, tija c. Conform strategiei Divide et imperaincercam sa descompunem problema in alte doua subprobleme de acelasi tip, urmand apoi combinarea solutiilor. Deci:mutarea celor n discuri de pe tija a pe tija b,utilizand ca tija intermediara tija c, este echivalenta cu: muatrea a n-1 discuri de pe tija a pe tija c , utilizand ca tija intermediara tija b; mutarea discului ramas de pe tija a pe tija b; mutarea a n-1 discuri de pe tija c pe tija b , utilizand ca tija intermediara tija a.

5. #include<iostream> • chara,b,c • ; int n; • voidh(int n,char a,char b, char c) • { if(n==1) • cout<<a<<b<<" "; • else { h(n-1,a,c,b); • cout<<a<<b<<" "; • h(n-1,c,b,a); } } • voidmain() • { cout<<"n=“; • cin>>n; • h(n,'a','b','c'); }

6. 3. Căutarea binară a unui element într-un vector • Cautarea binara se bazeaza pe tehnica de programare Divide et Impera. Elementul cautat este “verificat”cu mijlocul vectorului. Daca elementul este egal cu mijlocul,cautarea se termina. Insa daca nu sunt egale, se compara valoarea mijlocului cu cea a elementului de cautat. Daca elementul este mai mare se continua cautarea de la mijlocul listei pana la sfarsit, iar daca este mai mic se continua cautarea de la inceput pana la mijloc.

7. #include <iostream> • intmain() • { • intmij,n=7,i,x=10,v[7]={4,5,8,10,20,45,76},st,dr,g=0; •     st=0; • dr=n-1; • mij=(st+dr)/2; • while  ( (st<dr) && (!g) ) •     { • if (v[mij]==x) {g=1;break;} • elseif (v[mij]<x) st=mij+1; • elseif (v[mij]>x) dr=mij-1; •     } • if (g) cout<<x<<" se afla in vector pe pozitia "<<mij; • elsecout<<x<<" nu se afla in vector"; • return 0; • }

8. 4. Problema tăieturilor • Se da o bucata dreptungiulara de tabla avand lungimea L si inaltimeah. Pe suprafata ei se gasescngauri, de coordonate intregi, stiute, cu diametre neglijabile. Sa se decupeze o bucata de tabla de arie maxima, faragauri, facand numai taieturi paralele cu laturile placii ( verticale sau orizontale ). • Coordonatele gaurilor sunt retinute in doi vectori vx[i] pentru abscisele gaurilor si vy[i] pentru ordonate ( acesti vectori nu sunt neaparatsortati, gaurileputand fi memorate in ordine cronologica, de exemplu ). Dreptunghiul initial si apoi dreptunghiurile care apar in procesul de taiere sunt memorate prin coordonatele coltului din stanga jos ( x, y ), prin lungime L si prin inaltime h ( fiecare dreptunghi se identifica printr-un set de 4 variabile : x, y, L, h, cu ajutorul carora se formeaza coordonatele celor 4 colturi ). • Pentru fiecare dreptunghi, incepand cu cel initial, cautam daca exista gaura ( existenta gaurii este semnalizata de variabila logica gasit ). Conditiile pentru ca o gaura sa se gaseasca intr-un dreptunghi dat de coordonate ( x, y, L, h ) sunt : • a)                      vx[i] > x • b)                     vx[i] < x+L • c)                     vy[i] > y • d)                     vy[i] < y+h • In situatiacand avem o gaura, vom face prin ea doua taieturi, una orizontala si alta verticala, ceea ce face ca dreptunghiul curent sa se divida in alte patru, deci problema admite o descompunere in alte patru de acelasi tip ( conform strategiei " DIVIDE ET IMPERA " ). Aria maxima se memoreaza prin coordonatele dreptunghiului de arie maxima ( xM, yM, LM, hM ). Daca nu avem gaura in dreptunghiul curent, acesta ar putea fi solutia problemei, deci aria acestuia se compara cu aria maxima retinuta pana la momentul respectiv si daca este cazul, se va retine ca arie maxima. • In acest caz, daca facem o taietura orizontala prin gaura de coordonate ( vx[i] , vy[i] ), vom obtine doua dreptunghiuri si anume : • a)                      x, y, L, vy[i]-y  , dreptunghiul A+B • b)                     x, vy[i], L, y+h-vy[i] , dreptunghiul C+D ,iar dupa o taietura verticala, dreptunghiurile : • c)                      x, y, vx[i]-x, h   , dreptunghiul A+C • d)                     vx[i], y , x+L-vx[i], h    , dreptunghiul B+D

9. # include < iostream> • int  L, h, i, n, xM, yM, LM, hM, vy[30] , vx[30] ; • voidtaiere ( int x, int y, int L, int h, int & xM, int & yM, int & LM,            • int & hM ,intvx[30]   ,intvy[30] )   //** • /* am apelat functia taiere ptr. dreptunghiurile A,B,C,  •         respectiv D, asa cum apar ele in desenul de mai sus */ • elseif ( L * h > LM * hM )           /*daca nu avem gaura, •                                       dreptunghiul curent poate fi cel • cautat si trebuie vazut daca are arie maxima.  •                    Daca da, coordonatele sale sunt atribuite solutiei •                    curente   */ • }     /*      ** functia are urmatorii parametri : • a)x,y coordonatele coltului din stanga jos al dreptunghiului • b)L,h lungimea, respectiv inaltimea dreptunghiului • c)Parametrii variabili  xM, yM, LM, hM, prin care se identifica dreptunghiul de arie maxima • d)      vx si vy, cei doi vectori care memoreaza coordonatele gaurilor  */ • voidmain ( ) • cout << " L= " ; cin >> L ;   // citim dimensiunile tablei • cout << " h= " ; cin >> h ; • taiere ( 0, 0, L, h, xM, yM, LM, hM, vx, vy ) ;   /* apelul functiei •                                                         care rezolva problema */ • cout << " dreptunghiul de arie maxima are coordonatele : "   <<endl ; • cout << " x = " << xM<< ',' << " y = " << yM<< endl ; • cout << " L = " << LM << ',' << " h = " << hM<< endl ; • cout << " de arie A = " << LM * hM<< endl ;

10. 5. Sortarea prin interclasare – algoritmul MergeSort • Aceasta metoda de ordonare are la baza interclasarea a doi vectori: fiind dati doi vectori ordonati se obtine un al treilea vector ordonat care va contine elementele din cei doi vectori. • In cazul sortarii prin interclasare vectorii care se interclaseaza sunt doua secvente ordonate din acelasi vector • Sortarea prin interclasare utilizeaza metoda Divide et Impera: • -se imparte vectorul in secvente din ce in ce mai mici., astfel incat fiecare secventa sa fie ordonata la un moment dat si interclasata cu o alta secventa din vector corespunzatoare. • -practic interclasarea va incepe cand se ajunge la o secventa formata din doua elemente. Aceasta odata ordonata se va interclasa cu o alta corespunzatoare. Cele doua secvente vor alcatui in subsir ordonat din vector mai mare care la randul lui se va interclasa cu subsirul corespunzator samd.

11. Fie vectorul: 8793641716 • Se imparte in doua secvente: • 8793641716 • In continuare pt prima secvente se procedeaza la fel: • 8793 • Dupa o noua impartire se obtine: • 87 • Se incepe interclasarea. Se considera ca avem doi vectori de lungime 1 care se interclaseaza: • 87 • Rezulta: • 78

12. int a[1000],n; • void interclas(inti,intm,int j) • {int b[1000]; • int x=i; • int k=1; • int y=m+1; • while(x<=m && y<=j) •      if (a[x]<a[y]) •            b[k++]=a[x++]; •      else •            b[k++]=a[y++]; •  while (x<=m) •         b[k++]=a[x++]; •  while (y<=j) •         b[k++]=a[y++]; • int t=i; •  for (k=1;k<=(j-i)+1;k++) •         a[t++]=b[k]; • } • void divimp(inti,int j) • {if (i<j) •     {int m=(i+j)/2; • divimp(i,m); • divimp(m+1,j); • interclas(i,m,j);} • } • void main() • {clrscr(); • cout<<"n="; • cin>>n; • for(inti=1;i<=n;i++) •         {cout<<"a["<<i<<"]="; • cin>>a[i]; •         } • divimp(1,n); • for(i=1;i<=n;i++) • cout<<a[i]<<' '; • getch(); • }

13. 6. Sortarea rapidă - algoritmul QuickSort • Quicksort efectuează sortarea bazându-se pe o strategie divide et impera. Astfel, el împarte lista de sortat în două subliste mai ușor de sortat. Pașii algoritmului sunt: • Se alege un element al listei, denumit pivot • Se reordonează lista astfel încât toate elementele mai mici decât pivotul să fie plasate înaintea pivotului și toate elementele mai mari să fie după pivot. După această partiționare, pivotul se află în poziția sa finală. • Se sortează recursiv sublista de elemente mai mici decât pivotul și sublista de elemente mai mari decât pivotul. • O listă de dimensiune 0 sau 1 este considerată sortată.

14. void QUICKSORT(int inf,intsup) • { int x,i,j,t; • i=inf • ; j=sup; • x=A[(i+j)/2]; • do{ while ((i<sup)&&(A[i]<x)) • i++; • while((j>inf)&&(A[j]>x)) • j--; • if (i<=j) • { t=A[i]; • A[i]=A[j]; • A[j]=t; • i++; • j--; } } • while(i<=j); • if (inf<j) • QUICKSORT(inf,j); • if (i<sup) • QUICKSORT(i,sup); }

15. 7. Desenarea fractalilor: Curba lui Koch pentru un segment, triunghi, pătrat • Curba lui Koch este o figură geometrică ce se construieşte aplicând în mod repetat un acelaşi procedeu de desenare. Iniţial se porneşte cu un segment de dreaptă şi pe segmentul respectiv se ridică un triunghi echilateral

16. Figura 1:Curba lui Koch după o iteraţie. Pe urmă se repetă procedeul pentru fiecare din cele patru segmente de dreaptă: se ridică un triughi echilateral pe fiecare segment. Rezultatul se poate vedea în figura 2. Apoi se repetă acelaşi procedeu, pentru fiecare segment din figura obţinută. Rezultatul este redat în figura 3.

17. După repetarea de 7 ori a procedeului se obţine o figură de genul celei redate în figura 4.

18. Proiectrealizat de Jugaurs Andrei, NegulescuCatalin,Burdea David siGruita Lorena