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Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties. Lovász, Szegedy 2006. Propriedades Testáveis de Grafos. Propriedade P hereditária : G satisfaz P  todo subgrafo induzido de G satisfaz P Propriedade P testável : Existe outra propriedade P’ tal que, ,  k :

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Presentation Transcript
propriedades test veis de grafos
Propriedades Testáveis de Grafos

Propriedade P hereditária:

G satisfaz Ptodo subgrafo induzido de G satisfaz P

Propriedade P testável: Existe outra propriedade P’ tal que, ,  k:

  • GsatisfazPCom prob. 1-  , Gk induzido k vértices satisfaz P’
  • G  -far(P)Com prob. 1-  , Gk induzido k vértices não satisfaz P’

Teorema 1 [Alon, Shapira, 2005]:

Propriedade Hereditária  Testável

par metros test veis de grafos
Parâmetros Testáveis de Grafos

Invariantef(G) de grafos normalizado entre 0 e 1

f(G)testável: ,  k: grafo G  k vértices:

Com prob. 1- , Gk induzido com k vértices satisfaz |f(G)-f(Gk)|  

Distância entre grafos:

Distância para uma propriedade:

Teorema 2 [Alon, Shapira, 2005]:

Distância para Phereditária é testável

Prova alternativa

densidades de subgrafos
Densidades de Subgrafos

t(F,G):Probabilidade de um random mapV(F)V(G) preservar adjacências

tinj(F,G):injective

tind(F,G):e não-adjacências

sequ ncias convergentes de grafos
Sequências Convergentes de Grafos

Sequência (Gn)de grafos simples |V(Gn)|

(Gn) convergente:(t(F,Gn)) converge, para todo grafo F simples

cauchy? métrica?

Distância: generalização de d para pesos e conjunto diferente de vértices

[Borgs, Chayes, et al, 2006]:

(Gn)convergente cauchy em 

Todo (Gn) possui uma subsequência convergente

Prova:

1. Elon Lages: Toda sequência limitada de reais possui subsequência convergente

2.  Para todo (Gn), todo conjunto finito de grafos F possui subsequência na qual (t(F,Gn)) converge

3. Segue do Teorema da Compacidade

fun es com 2 vari veis
Funções com 2 variáveis

Intuição:grafo em [0,1], onde W(x,y) é a dens entre vizinhança infinitesimal de x e y

Norma retangular:

Densidade de Subgrafos:

rela o graphons e step functions
Relação, “Graphons” e Step-Functions

[Lovász, Szegedy 2004]:(Gn)convergente se e só se existe “objeto limite” tal que

Obs: Todo é limite de uma (Gn) convergente

W-random graph G(n,W)sobre [n]: sorteia x1,…xn: ij aresta com prob. W(xi,xj)

StepFunction:

f g test vel f g n convergente
f(G) Testável  f(Gn) Convergente

[Borgs, Chayes, et al, 2006]:

Parâmetro f(G)testável (Gn)convergente: f(Gn)converge

Prova ()

ftestável ,  k: grafo G  k vértices:

|f (G)-f (G[Vk])|   com prob. 1-, para Vk aleat. com k vértices

|f (G)-E(f (G[Vk]))|   , para Vk aleat. com k vértices

(Gn) convergente 

Fkcom k vértices:

um lema auxiliar
Um Lema Auxiliar

Lema 4:

Prova:

Suponha Zindicadora de um retânguloS x T

  • Vale para Zstep-function

(combinação linear de funções indicadoras de retângulos)

  • Vale para Zintegrável

(por definição, aproxima para step-functions em L1([0,1]2) )

graphons com a propriedade p heredit ria
Graphons com a propriedade P hereditária

Funções , tais que n, x1,…,xn[0,1]:

Se G sobre [n] satisfaz: U(xi,xj)=0 ij  E(G)

U(xi,xj)=1  ij  E(G)

Então GsatisfazP

Obs1:Alterando0<U(x,y)<1 gera U’ que satisfaz o mesmo

Obs2:

Lema 5: é fechado em com respeito a norma

Prova:

dist ncia de um graphon para p
Distância de um Graphon para P

Distância para :

Lema 6:Phereditária é função contínua na norma ||||

Prova:

dist ncia de um graphon para p12
Distância de um Graphon para P

Distância para :

Lema 6:Phereditária é função contínua na norma ||||

Prova:

Se não for convergente, tome

uma subsequência convergente

grafos e graphons com a propriedade p
Grafos e Graphons com a Propriedade P

Lema 7:

Prova:

Lema 8:

Prova:

prova do teorema 2
Prova do Teorema 2

Tome (Gn) convergente:

Prova-se que

Se não for convergente, tome

uma subsequência convergente