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Fisica Subnucleare di Gauge

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  1. Fisica Subnucleare di Gauge Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo dorigo@pd.infn.it Stanza 3L0, tel. 049-8277230, 346-8671707. http://www.science20.com/quantum_diaries_survivor

  2. Struttura del corso e logistica • 40 ore in 8 settimane di 5 ore ciascuna (mercoledì 15.30-17.15, giovedì 14.30-16.15, venerdì 14.30-15.15) • 20-22, 27-29 ottobre; 3-5, 10-12, 17-19, 24-26 novembre; 1-3, 8-10 dicembre • solo una settimana di “buffer” per lezioni mancate (13-17 dicembre) • 6 di queste settimane di corso le tengo io; 2 le terrà il prof. Ugo Gasparini • Taglio “sperimentale” • Si danno per acquisite le nozioni del corso di Riccardo Brugnera • L’enfasi non è sui calcoli ma sui fenomeni fisici e la loro interpretazione • Trasparenze distribuite alla fine di ogni parte (5 parti in totale) • Esercizi di complemento • siete consigliati a provarli prima della lezione successiva • possono essere chiesti all’esame (solo orale) • E-mail e numero di telefono vi sono richiesti per potervi avvertire di eventuali assenze improvvise o altre comunicazioni • Mandatemeli al più presto a dorigo@pd.infn.it ! • Subject: Fisica Subnucleare

  3. Miscellanea • Il corso ha un taglio sperimentale  enfasi sulla fenomenologia e le indagini sperimentali, quando possibile • fate attenzione ai (pochi) valori numerici di osservabili che incontreremo • è difficile farmi arrabbiare, ma un modo è venire all’esame a dire che il quark b ha una massa di 30 GeV (è successo a due vostri colleghi in passato) • Nel corso cercherò di inserire alcune nozioni di base di statistica e discussione delle problematiche sperimentali nella stima delle grandezze misurate • non compaiono esplicitamente nel programma, ma sono comunque richieste • Le parti I, II, III sono abbastanza “standard” – non ascolterete nulla che non possiate rileggere in forma equivalente nei testi consigliati; le parti IV e V contengono materiale che non trovate facilmente altrove • Durante la lezione siete fortemente invitati a interrompere per chiedere maggiori spiegazioni o quant’altro • chi fa una domanda dimostra ignoranza solo momentaneamente; chi non la fa rimane ignorante per sempre. • Non sono un’enciclopedia! Potrò in casi particolari rimandare la risposta alla lezione seguente. • se vado troppo veloce o troppo lento DITELO! • Per le lezioni di 2 ore, preferisco farle tutte di fila senza intervallo. • Infine una precisazione...

  4. Mi presento Ricercatore INFN, partecipo all’esperimento CMS al Large Hadron Collider del CERN dal 2001, e all’esperimento CDF al Tevatron di Fermilab (Chicago) dal 1996. Mi occupo di ricerche di fisica di alto PT: quark top, bosone di Higgs, nuova fisica Sono anche membro di: • CMS Statistics Committee Board • CDF Publication Review Group Tengo da 5 anni un blog dove cerco di spiegare la fisica delle particelle in maniera semplice

  5. Sommario 1) Dal modello a partoni alla QCD • Diffusione, deep inelastic scattering, funzioni di struttura, Bjorken scaling, Lagrangiana di QCD, il colore, violazioni di scaling, rinormalizzazione e running di as 2) Dalle interazioni deboli al modello GSW • La teoria V-A, Fermi e GT transitions; determinazioni della costante di Fermi; correnti cariche e neutre 3) Il Modello GSW e i suoi tests sperimentali • sin2qw dal neutrino scattering, correzioni radiative, fisica della Z, interferenza e asimmetrie a LEP, misure a LEP II 4) La rottura della simmetria e il bosone di Higgs • modello di Goldstone, meccanismo di Higgs, Lagrangiana del Modello Standard, fenomenologia dell'Higgs, ricerche sperimentali, stato e prospettive 5) Fisica ai colliders adronici • fisica ai colliders adronici (Tevatron e LHC), evidenze indirette del top, ricerca e proprieta' del top quark e bosoni vettori, ricerche di nuova fisica, supersimmetria, limiti sperimentali e prospettive

  6. Testi consigliati • F. Halzen, A.D. Martin, “Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics”, Wiley 1984 • W.E. Burcham, M. Jobes, “Nuclear and Particle Physics”, Longman 1995 • R.K. Ellis, W.J. Stirling, B.R. Webber “QCD and Collider Physics”, Cambridge U.P. 1996 • Cap. 8, 10, 11 • Appunti dalle lezioni (specie per le parti 4 e 5): disponibili alla fine di ogni parte • Altri testi utili (livello più avanzato): • L.B. Okun, “Leptoni e Quarks”, Ed. Riuniti 1986 • Cap.19,20 • F. Mandl, G. Shaw, “Quantum Field Theory”, Wiley 1984 • Cap. 11,12,13 • J.F. Donoghue, E. Golowich, B.R. Holstein, “Dynamics of the Standard Model”, Cambridge U.P. 1992 • Cap.15

  7. PARTE PRIMADeep Inelastic Scattering e QCD • Brevi richiami di QED, l’eq. di Dirac, quadricorrente, matrice di transizione • Diffusione elastica, scattering elettrone-muone, variabili di Mandelstam • Scattering elettrone-protone e fattori di forma • Scattering inelastico; Bjorken scaling; relazione di Callan-Gross • Struttura a quark dei nucleoni • La QCD e il colore. Violazioni dello scaling • Running di as e rinormalizzazione

  8. Invarianza di gauge U(1) e QED • La costruzione della Lagrangiana del Modello Standard verrà vista nella parte IV del corso; tuttavia partiamo proprio con un accenno alla sua proprietà più fondamentale in quanto è alla base dell’interazione elettrone-fotone che ci serve a descrivere lo scattering • Alla base di tutto c’è la richiesta FISICA che i campi spinoriali che descrivono i fermioni, che dobbiamo rappresentare con funzioni complesse, descrivano la stessa fisica indipendentemente da una fase arbitraria: • La Lagrangiana di QED per un elettrone libero (da cui ) ci assicura che ciò valga. • La famiglia di trasformazioni di fase U(a) = eiaforma un gruppo unitario Abeliano U(1). La simmetria sottostante delle funzioni d’onda fisicamente implica la presenza di una quantità non misurabile. Possiamo quindi “fissarla”: una volta deciso il valore di a, esso vale in tutto lo spazio. GLOBAL GAUGE INVARIANCE. • Va notato che sarebbe ancora meglio per la teoria se apotesse variare da punto a punto senza cambiare la fisica: a=a(x). (1.1) (1.2)

  9. (1.3) • Se vogliamo invarianza di gauge locale, ci serve che L rimanga la stessa per • Questo non funziona, perché la derivata di a(x) compare nella trasformazione. Possiamo imporre la “non fisicità” della fase arbitraria indipendentemente in tutto lo spazio solo se modifichiamo il modo in cui deriviamo il campo, introducendo la derivata covariante ove A trasforma secondo • La proprietà del campo A garantisce che L è ora invariante di gauge locale (esempio 1) • Abbiamo avuto bisogno di A per “compensare” le differenze di fase da punto a punto. Dato che possiamo pensare di dover compensare la fase a distanze arbitrarie, il campo A ha range infinito! Inoltre esso non può avere un termine di massa nella Lagrangiana, per non rompere di nuovo la invarianza di gauge locale. • Discuteremo in dettaglio queste proprietà e le implicazioni fra alcune settimane. • L’invarianza di gauge locale implica che i nostri fermioni interagiscano, con intensità proporzionale al quadrato della carica elettrica. La Quantum Electrodynamics si basa dunque su una invarianza di gauge U(1) locale. (1.4) (1.5)

  10. La QED è quindi il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge, basata sul gruppo abeliano U(1). La QED descrive l’interazione elettromagnetica tra particelle cariche ‘point-like’ di spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks, la cui equazione del moto “libera” è data dall’ eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico A. L’equazione del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di un campo e.m. è (1.6) dove Am = ( F, A) è il quadri-potenziale del campo e.m. : gmmatrici di Dirac: (1.7) [ sk matrici di Pauli: ]

  11. Generalità sullo scattering • Lo scattering di elettroni da una regione di carica elettrica è un metodo di indagine della sua struttura interna • si può rivelare sia l’angolo di scattering che l’energia finale dell’elettrone  esprimibili in funzione del quadrimomento trasferito, q • si esprime la sezione d’urto di scattering s, differenziale nell’angolo solido dW, in relazione alla sezione d’urto per lo scattering da una sorgente puntiforme di carica • Il rapporto fra le due fornisce informazioni sulla distribuzione incognita di carica, espresse in funzione del quadrimomento trasferito q  funzione di struttura • Vedremo in maniera formale come si calcolano le funzioni di struttura per gli adroni, e scopriremo che lo scattering ad alta energia (“deep inelastic”) ci permette di descrivere gli adroni in termini dei loro costituenti • La descrizione estesa del calcolo è utile in quanto il DIS è a tutt’oggi utilizzato in esperimenti di alta energia (PDF, fisica dei neutrini, fisica elettrodebole di precisione...)

  12. Concetti di base per lo scattering di elettroni Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichi puntiformi, ad esempio: e-e- e-e-, e-m- e-m-, e-q  e-q. Per illustrare la tecnologia di indagine, calcoleremo lo scattering elettrone-muone, che ne è l’archetipo anche se non si misura direttamente! Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, l’ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinorei con 4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinorefcon 4-impulso (Ef,pf) ) è data da: (1.9) dove V(x) è il potenziale che perturba l’Hamiltoniana di particella libera Ho : H = H0 + V e si è introdotto lo spinore coniugato (la quantità è definita positiva e ha il significato di una densità di probabilità)

  13. In QED, per la quale l’eq. del moto è: (1.6) il potenziale è: ossia: i(x) f (x) (1.10) e- e- Am(x) dove si è introdotta la “corrente elettromagnetica”: (1.11)

  14. Che abbia il significato fisico di densità di 4-corrente jm = (r,j) deriva dal fatto che vale l’eq. di continuità , come si può verificare dall’eq. di Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato (esempio 2) Nello scattering elettrone-muone, possiamo considerare il campo Am come il 4-potenziale del campo e.m. associato alla presenza del muone: la sorgente del campo è la corrente e.m. del muone: i(x) f (x) e- e- k k’ 4-impulso iniziale dell’elettrone Am(x) muon(x) Vediamo come si esprime il propagatore del campo A. p’ p 4-impulso iniziale del muone 4-impulso finale

  15. La relazione tra il campo e la sua sorgente jmmuon è data dall’ eq. di Maxwell, espressa nella gauge di Lorentz (1.12) (c = 1) Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per jmmuonla soluzione del campoymuonche viene dalla eq. libera di Dirac: ossia: = q (4-momento trasferito nel processo) Nota: la conservazione del 4-impulso, k+ p = k’+p’ implica che vale q = p’-p = k-k’

  16. Da tale soluzione libera, si vede che e confrontando con (1.12) si trova Questa esprime il campo elettromagnetico in termini della sua sorgente, la densità di quadricorrente del muone. L’ampiezza di transizione, al primo ordine perturbativo, è allora:

  17. Esprimendo anche la corrente dell’elettrone in termini di soluzione dell’equazione di particella libera di Dirac: si ha: dove si è definito l’ elemento di matrice di transizione: (1.13)

  18. Il calcolo dell’elemento di matrice nel caso di proiettili senza polarizzazione netta comporta prendere il modulo quadro, mediato sugli spin iniziali, e sommata sugli spin finali (se questi non vengono osservati): I tensori della corrente di elettrone e muone sono Per la corrente dell’elettrone, che si riduce usando le proprietà delle matrici gamma, dobbiamo allora calcolare per la quale ci servono le relazioni di completezza degli spinori. Con brevi calcoli (esempio 3) si trova

  19. Quindi ci serve calcolare la traccia del prodotto di quattro matrici. Poiché la traccia di elementi con un numero dispari di matrici gamma è nulla, rimangono solo due termini: e con i teoremi di traccia si trova (esempio 4): Lo stesso calcolo, per il tensore della corrente muonica, fornisce la analoga espressione Inserendo nell’elemento di matrice, e trascurando i termini proporzionali alla massa dell’elettrone, si ottiene (esempio 5):

  20. k’ = (E’,k’) q k = (E,k) Per procedere dobbiamo scegliere un sistema di riferimento. Risulta comodo quello “del laboratorio” (difficile con muoni!), in cui il “bersaglio” è a riposo. Con alcuni calcoli (esempio 6) si trova l’espressione: Raccogliendo un furbo fattore 2M2EE’ e tenendo conto che q2 = -2k*k’ ~ -2EE’(1-cosq) = -4 EE’ sin2q/2, e che l’energia del fotone è n = E-E’ = -q2/2M, si ottiene infine (esempio 7) q=(n,q) p = (M,0) p’ = (E’,p’)

  21. Abbiamo ottenuto l’elemento di matrice dell’interazione e.m. fra un elettrone e un muone (o un altro fermione puntiforme di massa M), mediato sugli stati di spin • Da questa espressione si ricava la sezione d’urto per lo scattering, che è la quantità osservabile sperimentalmente, espressa in funzione dell’unica grandezza indipendente, l’angolo di scattering q. • Bisogna far attenzione alla normalizzazione delle funzioni d’onda, e esprimere il tutto in forma covariante per trasformazioni di Lorentz • Vediamo allora come sono normalizzate le funzioni d’onda nei casi non relativistico (Schroedinger) e relativistico (Klein-Gordon).

  22. Schroedinger: l’eq. di continuità per un flusso di particelle si scrive , e con si trova che che segue da che segue (esercizio 1.6) da • Klein-Gordon: sommando l’equazione moltiplicata per –if* alla coniugata moltiplicata per -if, la stessa eq. di continuità, e la stessa equazione di particella libera di energia E e impulso p, portano alle espressioni Che r sia proporzionale a E dipende dalla contrazione relativistica del volume d3x  d3x (1-v2)0.5 che obbliga la densità di probabilità a bilanciare la diminuzione

  23. Dunque possiamo normalizzarci a 2E particelle in un volume V, e questo manterrà la covarianza. Da r=2EN2 si trova quindi Riprendiamo allora l’ampiezza di transizione espressa in funzione dell’elemento di matrice: e normalizzando come deciso, e prendendo la frequenza di transizione per unità di volume tenendo conto di Si ottiene

  24. La sezione d’urto s si calcola dalla frequenza di transizione per unità di volume Wfimoltiplicandola per il numero di stati finali disponibili e dividendo per il flusso iniziale di particelle. s ha il significato di “area efficace” ove l’interazione ha luogo. Il numero di stati finali disponibili (C,D) per elemento di impulso d3p è Vd3p/(2p)3 , ma noi abbiamo 2E particelle per unità di volume quindi gli stati finali per ciascuna particella sono Vd3p/[2E(2p)3] Per il flusso incidente si prende il numero di particelle incidenti (A) per unità di area e tempo, |vA|2EA/V , e lo si moltiplica per il numero di bersagli per unità di volume, 2EB/V Si trova quindi l’espressione infinitesima della sezione d’urto: Il volume arbitrario con cui abbiamo fatto i conti sparisce, come deve.

  25. Facendo i conti nel sistema del laboratorio si trova, con semplici calcoli (esempio 8): Finalmente possiamo inserire l’elemento di matrice calcolato in precedenza. Tenendo conto di alcune proprietà della delta di Dirac, in particolare che e che si trova l’espressione

  26. Possiamo anche integrare in dE’ e usare ancora le proprietà della delta di Dirac, esprimendo: ove si è espresso con A il fattore di rinculo per ottenere la formula di Mott: La formula di Mott esprime nel laboratorio la sezione d’urto di scattering di elettroni da fermioni puntiformi massivi. Si può verificare (vedi H.M. es.6.8) che l’aver assunto spin ½ per il bersaglio porta al fattore sin2(q/2) (scattering dal momento magnetico del bersaglio)

  27. E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E, la sezione d’ urto è solo funzione dell’angolo di scattering q, essendo detto “fattore di rinculo” (esempio 9) Infine, è utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in forma Lorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam: k k’ Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezza di transizione (trascurando la massa del muone): p p’ k’ k q quark e p

  28. La possibilità di “crossing” dell’elemento di matrice usando le variabili di Mandelstam è conveniente, e permette di ottenere subito dall’espressione precedente (non verificabile sperimentalmente!) l’elemento di matrice per la produzione di coppie di muoni da scattering e+e- • Lo scambio necessario è k’-p, cioè st: Otteniamo così la previsione della sezione d’urto: che integrata in dq e df dà

  29. La costante di struttura fine La costante fondamentale dell’interazione e.m.: detta “costante di struttura fine” si misura con grande precisione osservando la struttura fine dei livelli energetici atomici. E’ espressa in unità naturali nel sistema di unità di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a equazione di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss) è espressa nella forma (ossia e0=1 ; nel S.I. invece ), o equivalentemente la legge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica è: La costante a è adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unità naturali ] come rapporto tra una sezione d’ urto (dimensione: [s] = m2) e l’inverso del quadrato di un’energia ([1/s] = J-2 ); queste quantità sono tra loro omogenee, essendo [h] = Js e [c] = m s-1. Nel S.I., l’espressione di a è

  30. Infatti: (dalla legge di Coulomb) e quindi la combinazione è adimensionale. Numericamente:

  31. Lo scattering elastico elettrone-nucleone Il processo di scattering elettromagnetico epep non è un processo point-like (come eq eq o em em) La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio è data dalla (1.16): va modificata. La corrente adronica diventa e- e- k k’ protone p p’ (1.17) con ed M è ora la massa del nucleone.

  32. Va notato che la corrente vettoriale dell’elettrone si scrive normalmente ma questo equivale, per la decomposizione di Gordon della corrente (vedi HM esercizio 6.2), a da cui si vede che la scrittura concisa dell’accoppiamento contiene già una parte che descrive lo scattering elettrico (come per una particella senza spin) e una che descrive l’interazione magnetica. Quest’ultima contribuisce solo quando k-k’ è grande, ovvero quando l’interazione è ad alto q2. La parte che permette lo scattering dal momento magnetico del bersaglio, contenuta nella quadricorrente dell’elettrone, è quella dovuta allo spin dell’elettrone. Quando scriviamo la corrente del sistema adronico, al termine corrispondente si va a sommare la parte “anomala” dovuta al momento magnetico anomalo dell’adrone. (1.18)

  33. Si dimostra (esempio 10) che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) è il più generale 4-vettore che può essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p’ e q = k-k’ = p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jmhadr deve essere conservata: , ossia qmjm = 0. Le funzioni F1(q2), F2(q2) descrivono la struttura dell’adrone, e non siamo in grado di scriverle: esse devono essere determinate sperimentalmente, come verrà discusso in seguito. Si noti anche che il fattore kche moltiplica F2(q2) è il momento magnetico anomalo del nucleone: misura la parte aggiuntiva del momento magnetico del nucleone rispetto a quello di una particella point-like di spin ½ come l’elettrone. Notiamo anche che per q20 il fotone virtuale ha lunghezza d’onda grande e il protone gli appare come una particella di carica +e e momento magnetico (1+k)e/2m . Deve anche aversi F1(0)=F2(0)=1.

  34. In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) tra una corrente e il 4-potenziale: (1.10) si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Ciò discende dalla decomposizione di Gordon della corrente (1.18) e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) dà, nel limite non relativistico: dove y(2) è uno spinore bidimensionale, sono le matrici di Pauli; il termine a destra dà l’interazione mB di una particella di momento magnetico m=e/2M col campo magnetico B [per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]

  35. Riscriviamo la forma più generale della corrente adronica: Se si inserisce jmhadr nell’ elemento di matrice (1.13): (ricordiamo che: ) la sezione d’urto che si ottiene è data dalla “formula di Rosenbluth”: (1.19) Per piccoli q2, non riusciamo a vedere struttura nel protone: ci appare come una carica puntiforme +e con momento magnetico 2.79e/2M.

  36. E’ utile introdurre le combinazioni lineari: (1.20) che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magnetico ed elettrico del nucleone. Non sono interpretabili direttamente come trasformate di Fourier delle distribuzioni di carica e momento magnetico, perché il bersaglio non è più statico; tuttavia ne sono vicini parenti. L’introduzione di GE e GM ci permette di “disaccoppiare” F1 e F2 nella formula di Rosenbluth: spariscono i termini di interferenza F1F2. La formula di Rosenbluth può essere riscritta come segue (per casa): (1.19’)

  37. [Perkins, fig.6.4] Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, il momento trasferito è determinato dalla misura dell’ energia E’ dell’elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione: E’ q e- E M Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato: la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2) al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).

  38. 2.79 [Burkham-Jobes, Fig.12.8] 2.0 GMp GMn/(1.91) 1.0 GEp GEn Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione, da questi ultimi è possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni: e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone, nonostante alcuni problemi con la struttura nucleare del deuterio. GE,Mp,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti [vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]

  39. Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo: (1.21) dove il fit ai dati sperimentali dà: m2 = 0.71 GeV2 e le quantità: misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone: (1.22) è il ‘magnetone nucleare’, momento magnetico di una particelle di Dirac point-like di massa mN ; si ricordi che il “magnetone di Bohr” vale:

  40. Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magnetico del nucleone, sono cioè in relazione con la sua distribuzione di densità di carica elettrica e di momento magnetico. Osserviamo infatti che dalla (1.20): e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2  0 : (1.23) a bassi q2( basse velocità), l’elettrone ‘vede’ solo il potenziale elettrostatico (la parte magnetica è trascurabile), ossia nell’ ampiezza di scattering possiamo porre con

  41. F(x) elettrostatico, non dipende dal tempo dove: Utilizzando l’ integrazione per parti: ( r è la densità di carica elettrica) e l’ eq. di Poisson per il potenziale:

  42. Inserendo in Tif tale espressione si ottiene: con: Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto: si ottiene: (1.24)

  43. e confrontando con (1.23) si vede che (1.25) ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) è la trasformata di Fourier della densità di carica elettrica er(r) del nucleone. Sperimentalmente, si trova che i dati sperimentali sui fattori di forma sono ben descritti da una formula di dipolo: Con m2=0.71 GeV2; questo risultato può essere direttamente messo in relazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica: (la costante di normalizzazione è A = m3/8p, imponendo ) Dalla (1.25) si ha: -dcosq

  44. con: In definitiva, inserendo si ottiene: dove per brevità negli integrali si è sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0; nell’ espressione con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito q=(k’-k): q2-2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.

  45. Il valore m2=0.71 GeV2 è quindi legato al “raggio” R della distribuzione di carica: (vedi esercizio 1.5) Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico del protone è dell’ ordine di qualche frazione di Fermi. Più precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzione di carica è: =(4!) / m5 SLAC, Hofstadter et al.

  46. Sommario delle sezioni d’urto • Abbiamo fin qui visto cosa succede nello scattering elastico di un elettrone (o altro fermione carico) da un altro fermione a riposo nel laboratorio • Riepiloghiamo brevemente le caratteristiche principali previste dal modello (QED, approssimazione single-photon exchange): • scattering da fermione puntiforme (e-m-): formula di Mott (notare il comportamento per q20 e che il secondo termine è assente per bersagli statici spinless) • scattering da fermione con struttura (e-p) - carica e momento magnetico anomalo: formula di Rosenbluth

  47. Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione a Stanford (California) a metà degli anni ’50: contatore di elettroni Spettrometro su piattaforma rotante [R.Taylor, J.Friedman, W.Kendall, Lectures for Nobel Prize, 1990; Rev.Mod.Phys. 63 (1991),573 ]

  48. Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC) Alla fine degli anni ’60, entra in funzione l’acceleratore lineare (lungo 2 miglia) con Ebeam=20 GeV - l’intervallo di q2 è notevolmente esteso rispetto al passato - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale) Furono realizzati 3 spettrometri dedicati per elettroni da 1.6, 8 e 20 GeV

  49. Gli esperimenti a SLAC Spettrometri a piccola accettanza angolare (dW1 msterad) posizionabili a diversi angoli di diffusione (1,5 - 250 per E=20 GeV)

  50. separatore e/p Esperimenti precedenti: 1GeV2