Le funzioni esponenziali

1. Le funzioni esponenziali Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

2. f. Esponenziale Si può affermare che se a e' un numero reale positivo, per qualunque valore di x e' definita la funzione : f : x  ax Quella sopracitata viene detta funzione esponenziale, la sua base è a; il suo dominio è R [insieme numeri reali] il suo codominio è R+ [insieme reali positivi ] La sua equazione generale sarà : Y= a ^x Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

3. Con queste funzione è importante differenziare il caso in cui la base è compresa fra 0 ed 1 dal caso in cui la base è uguale ad uno all’ultimo nel quale la base è maggiore di 1. a=1 si tratta del caso più insignificante in in quanto 1^x = 1 0 < a < 1 qui lo studio del caso può essere svolto sostituendo un valore a nostro piacimento ad x e trovando il valore di y. In seguito può essere tracciato un grafico attraverso i valori tabulati. Il grafico della funzione: f : x  2x dovrebbe essere il seguente : Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

4. Il grafico giace nel semipiano positivo delle ordinate. Il grafico non interseca l’asse delle ascisse. Il grafico interseca l’asse delle ordinate nel punto (0,1). È una funzione monotona crescente. Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

5. Quindi la potenza cresce al crescere dell’esponente se la base a viene elevata ad x con x maggiore di 1 e più cresce l’esponente più la potenza aumenta di valore. I valori della funzione tendono quindi a divenire infiniti al crescere dell’esponente positvo. Quando andiamo invece a sostituire i valori negativi crescenti al valore assoluto y continua ad assumere valori positivi ma tende a divenire sempre piu piccola, tendente a 0, per questo si dice che si avvicina asintoticamnte a zero mano mano che ci si allontana dall’origine. Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

6. In conclusione è possibile dire : • Per a>1 la funzione di equazione Y= a ^x è rappresentata dal seguente grafico, un grafico di questo tipo è detto a CURVA ESPONENZIALE e passa per [0,1] 2) Per 0 < a < 1 la funzione di equazione Y= a ^x è rappresentata dalla curva seguente detta anch’essa esponenziale e passante ancora per [0,1] Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

7. Ora poniamo piu funzioni esponenziali sullo stesso grafico e andiamo ad osservare come varia la pendenza di esse al variare dei valori.Le funzioni saranno le seguenti: Il grafico risultante sarà il seguente: Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

8. Altre funzioni potrebbero essere: Y = ( ½ )^xY= ( 1/3 )^x Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

9. Ora io metto all’interno dello stesso grafico tutte le funzioni precedentemente disegnate e osservo il tutto attentamente. Noto che i grafici delle funzioni esponenziali di equazioni Y=(1 /a ) ^x  e Y=a^x   sono simmetrici rispetto l’asse delle ordinate. Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

10. Ulteriori funzioni potrebbero essere le seguenti ottenute tramite la modifica dei segni. In seguito riporto anche una funzione con il valore assoluto. Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli

11. E col valore assoluto Y = 2 ^ |x| Y= 2 ^ -|x| Borghesi Mirko 4^0 ITIS B.Castelli