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LE FUNZIONI ECONOMICHE. Slide rielaborate dagli allievi con esercizi ed esempi tratti dal testo: M. Venè, F. Betti Matematica per istituti ad indirizzo economico commerciale, Classe quarta Milano Sansoni 2002 Prof. Palmira Ronchi ( palmira.ronchi@ssis.uniba.it ). Che cos’è l’Economia?.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

LE FUNZIONI ECONOMICHE

  • Slide rielaborate dagli allievi con esercizi ed esempi tratti dal testo: M. Venè, F. Betti Matematica per istituti ad indirizzo economico commerciale, Classe quarta Milano Sansoni 2002
    • Prof. Palmira Ronchi ( palmira.ronchi@ssis.uniba.it)
slide2

Che cos’è l’Economia?

L’economia è una scienza che studia in modo con cui i soggetti economici prendono le decisioni per utilizzare al meglio le loro risorse.

Le decisioni dei soggetti economici devono essere razionali, quindi si affidano ai modelli e alle regole della matematica al fine di:

• minimizzare i costi;

• massimizzare i ricavi.

slide3

Cos’è una funzione economica?

Le funzioni economiche sono delle funzioni che rappresentano l’andamento economico di un bene sul mercato, esse sono le funzioni di domanda, offerta, costo totale, costo marginale, costo unitario, ricavo e utile.

slide4

Il modello matematico

  • Il modello matematico è un modello che rappresenta la realtà attraverso una funzione matematica che dovrà essere massimizzata o minimizzata e che dovrà rispettare dei vincoli di segno, tutte le funzioni sono studiate nell’intervallo x>=0, e dei vincoli tecnici, come ad esempio la massima capacità produttiva o le ore massime di lavoro ecc..
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Il problema del fruttivendolo.

Al giorno d’oggi il nostro mercato è caratterizzato da una competitività sempre più accesa, ciò significa che l’imprenditore deve essere capace di misurarsi con la concorrenza ottenendo le maggiore preferenze dei consumatori sui propri prodotti.

Per raggiungere questo obiettivo è importante analizzare le funzioni economiche, cioè le funzioni di domanda e offerta, per determinare il prezzo di vendita.

Tutti coloro che svolgono un’attività commerciale devono essere capaci di effettuare calcoli di questo genere.

Facciamo un semplice esempio.

Il fruttivendolo ha acquistato al mercato 30 Kg di pomodori, pagandoli € 1,03 al chilo. Il suo problema consiste nel prezzo di vendita, cioè “A quanto deve rivenderli?”.

In un primo momento, il fruttivendolo decide di venderli a € 1,14 al chilo. Per essere sicuro della sua scelta deve calcolare il costo unitario dei pomodori. Il costo medio o unitario è dato dal rapporto tra costi totali e la quantità prodotta. Supponiamo che da questo calcolo egli ottenga un costo unitario pari a € 1,16.

In questo caso, il fruttivendolo subirebbe una perdita perché il prezzo di vendita è minore del costo unitario.

Ma se li vende a € 1,55, è sicuro che i clienti sia disposti a pagare tale cifra?

Volendo sintetizzare il tutto, il fruttivendolo deve prevedere il comportamento della domanda e determinare se, a quel prezzo, esiste una domanda sufficiente a coprire i suoi costi.

slide6

La funzione di domanda

    • La domanda di una merce è la quantità che viene richiesta ad un dato prezzo dagli acquirenti.
    • La funzione di domanda è decrescente rispetto al prezzo, ciò significa che all’aumento del prezzo corrisponde una diminuzione della domanda. La domanda può essere:
  • INDIVIDUALE: indica la quantità di merce che il singolo è disposto a chiedere ad un determinato prezzo, in un dato momento, in un dato mercato;
  • GLOBALE: indica la quantità di merce che il complesso degli acquirenti in un mercato è disposto a chiedere ad un determinato prezzo, in un dato momento.
    • In matematica la domanda è rappresentata dalla seguente funzione:
    • x = f(p) x = quantità di merce richiesta p = prezzo Tale funzione è definita anche funzione di vendita perché mette in evidenza il prezzo al quale il produttore può vendere la quantità q della propria merce a seconda della domanda presente sul mercato.
slide7

Le più comuni funzioni di domanda sono rappresentate da:

    • a) un segmento di retta:
  • b) un arco di iperbole equilatera:
    • c) un arco di curva esponenziale:
    • d) una curva decrescente di asintoti x=0 e p=0:
  • e) una curva decrescente di asintoti x=0 e p=0:

c)

b)

a)

d)

e)

slide8

La funzione d’offerta

    • Si definisce offerta di una merce la quantità totale immessa sul mercato dalla totalità dei produttori. L’offerta può essere:
      • INDIVIDUALE: indica la quantità di merce che un individuo è disposto a vendere ad un determinato prezzo, in un dato momento, in un dato mercato.
      • COLLETTIVA: indica la somma di tutte le offerte individuali. In matematica la funzione offerta è una funzione crescente rispetto al prezzo sempre nei limiti della capacità produttiva:
  • x=g(p) Le curve dell’offerta più utilizzate dagli economisti sono:
    • a) con a>=0, b>0;
    • b) con a>0, b>=0 (irrazionale);
    • c) con, b>0 ;
slide9

Il punto di equilibrio tra domanda e offerta

Il mercato è in equilibrio quando la quantità domandata e quella offerta si equivalgono. Il prezzo che si viene a determinare tra l’incontro tra domanda e offerta e perciò chiamato prezzo di equilibrio. Il PUNTO DI EQUILIBRIO tra domanda e offerta si ottiene graficamente nel momento in cui il grafico della domanda e quello dell’offerta si intersecano e analiticamente nel momento in cui le due funzioni si equivalgono.

Ciò avviene in un mercato di concorrenza perfetta nel quale i prodotti sono omogenei, gli operatori conoscono le informazioni di domanda e offerta , i produttori e i consumatori sono molto numerosi.

slide10

Punto di equilibrio domanda offerta

Per poter capire meglio quanto detto prendiamo in considerazione un semplice esempio:

xd= (36000-p2)/4 e xs= -265+12p

date queste funzioni determiniamo il punto di equilibrio.

Ricordiamo che affinché esista il punto d’equilibrio è necessario che xd = xs

Mettendo quindi le funzioni a sistema e rispettando questa uguaglianza avremo che

P= 170, e quindi a tale prezzo la quantità domandata sarà:

xd= (36000-1702)/4 = 1775 che sarà uguale a quella offerta: xs = -265+(12*170) = 1775

Punto di Equilibrio(170; 1775)

320.51 480.77 641.03 801.28 961.54 1121.8

slide11

L’elasticità

  • In generale definiamo elasticità di una funzione in un suo punto (elasticità puntuale) la quantità:

l’elasticità di una funzione può essere intesa come il limite (se esiste) del rapporto tra la variazione relativa di f(x)e la variazione relativa della x variabile indipendente.

slide12

Coefficiente di elasticità

    • Per osservare come la domanda (o l’offerta) varia al variare del prezzo si calcola il COEFFICIENTE DI ELASTICITA’.
    • Se indichiamo con P1 , P2 due prezzi di uno stesso bene e con x1, x2 le corrispondenti quantità domandate, la variazione relativa della domanda e la variazione relativa del prezzo sono, rispettivamente:
        • x2-x1p2-p1
          • x1p1
  • Il coefficiente di elasticità risulta:

x2-x1

      • x1p 1x2~ x1
  • sd =-----------=----------------
    • p2~p 1x 1p 2~p 1

in generale in un punto è:*d= p'^

slide13

Questa elasticità è l'elasticità d'arco.

    • Se la variazione fra i prezzi p-t e P'j è notevole o non si conosce la legge della domanda,
  • considerato l'arco di estremi I Py Xy I e I p2 X2) = s^ assume come valore del rapportoil
          • X
  • valore assunto nel punto medio della corda, che ha coordinate,;
        • V 22 )
  • perciò Yelasticità dell'arco è espressa dalla relazione:
    • Pl+P2
    • _ 2À* _Pi + p2Ax %i +x2 A/? Xj + x2 Ap
    • 2
  • Se la funzione della domanda è continua e derivabile, con un passaggio al limite del rapporto incrementale per r, si definisce elasticità puntuale della domanda:
      • _ p dx
  • x cip x = f(p)
  • Essendo^ *^ ^ funzione decrescente, sia l'elasticità dell'arco sia l'elasticità puntuale sono
  • negative. Nelle applicazioni economiche si suole prendere£^ in valore assoluto. Distinguiamo i seguenti tre casi possibili.

Se

~'d

■^ A , la domanda si dice rigida,o non elastica; si presenta questo caso quando la

variazione relativa della domanda è minore della variazione relativa del prezzo (si tratta di beni di prima necessità come pane, medicinali ecc., oppure di beni di lusso).

Se

A, la domanda si dice anelastica, o a spesa costante; questo avviene quando la

variazione relativa della domanda è eguale alla variazione relativa del prezzo.

Sd

■^ A, la domanda si dice elastica; questo caso si verifica quando la variazione relativa

Se

della domanda è superiore alla variazione relativa del prezzo (ad esempio, spese voluttuarie). Il coefficiente di elasticità varia da punto a punto della curva della domanda.

slide14

Elasticità puntuale e d’arco: esempi

    • Esempio: data la seguente funzione di domanda, xs=1000-100p-10p2
    • calcolare la sua elasticità nel punto p=5:
    • l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in un suo punto sarà:
  • Ed=(dq/dp)*(p/q) Quindi:
        • Ed=(-100-20p)*(p/1000-100p-10p2)
    • Infine sostituendo p=5 e considerando il valore assoluto avremo che l’elasticità della funzione sarà uguale a 4. Questo rapporto esprime la variazione infinitesimale della quantità domandata rispetto a una variazione infinitesima del prezzo, cosa al quanto difficile poiché le variazioni nono sono mai di questo genere. Appunto per questo si utilizza il concetto di elasticità d’arco, che esprime il rapporto tra le variazioni relative del prezzo e della quantità e le loro medie aritmetiche.
slide15

Costi di produzione

    • Il costo totale è uguale alla somma dei vari costi , ed è funzione della
    • quantità x di merce prodotta.
    • Il costo totale è espresso dalla funzione
  • y=C(x) con x > = 0 Per l’analisi dei costi di produzione si definiscono altre due funzioni: il costo medio e il costo marginale.
    • Il costo medio è dato dal rapporto tra il costo totale per produrre la quantità x e la quantità x prodotta.
    • Il costo marginale può essere definito nel campo discreto e nel campo continuo.
    • Si definisce costo marginale nel campo discreto il costo sostenuto per ottenere un’unità addizionale di prodotto, calcolandola sul rapporto incrementale tra l’incremento del costo e l’incremento della quantità prodotta.
    • Si definisce costo marginale nel campo continuo la derivata della funzione del costo totale rispetto alla quantità prodotta.
slide16

Rappresentazione grafica della funzione del costo marginale

    • y=200+0.50*x
  • Antonia Amoruso V BM Anno scolastico 2003/2004
      • dx=h=2,34 cm
    • Py=f(x)= 200,20 cm Qx=x+h= 2,74 cm Qy=f(x+h)= 201,37 cm

Qy(0,00; 201,37)

Py(0,00; 200,20)

50

2

i---------->

1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------I

|---------------------1-

Px(0,39;0,00) Qx(4,35; 0,00)

slide17

Rappresentazione grafica della funzione del costo unitario

    • y=(10000+200*x+0.25*x^2)/x
  • Antonia Amoruso V BM Anno scolastico 2003/2004
    • °dx=h=0,66 cm
      • Py=f(x)= 14644,62
        • Qy=f(x+h)= 7606,63 Qx=x+h=1,35

x = 13/47

Py(0,00; 4644,62)

1,85 cm cm

0,66

Qy(0,00; 7606,63)

5000

i0.5 i.

-t-------------1-------------1-------------1-------------1-

-i-------------1--------------1-

-i-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-

Px(0,69;0,00)

Qx(1,08; 0,00)

slide18

^C?1

Ricavo totale e utile netto

Si definisce ricavo totale il prodotto della quantità venduta per

il prezzo di vendita,ed è espresso dalla funzione R(x)=x . p(x).

Nel caso di concorrenza perfetta p è costante.

Il ricavo medio è uguale al rapporto fra il ricavo totale e la

quantità venduta, e il ricavo marginale, se la funzione R(x) è

derivabile, è dato dal rapporto tra la derivata del ricavo totale e

la quantità prodotta.

Si definisce utile netto la differenza tra il ricavo totale e il

costo totale: U(x)=R(x)-C(x)

slide19

QUANTITA'

RT=p*q

CT=CF+CV*q

COSTI FISSI

RE=RT-CT

LEGENDA

0

0

2748600

2748600

-2748600

P=148 €

10000

1480000

4048600

2748600

-2568600

CV= 130€

23000

3404000

5738600

2748600

-2334600

CF= 2748600

36000

5328000

7428600

2748600

-2100600

49000

7252000

9118600

2748600

-1866600

62000

9176000

10808600

2748600

-1632600

75000

11100000

12498600

2748600

-1398600

88000

13024000

14188600

2748600

-1164600

101000

14948000

15878600

2748600

-930600

114000

16872000

17568600

2748600

-696600

127000

18796000

19258600

2748600

-462600

140000

20720000

20948600

2748600

-228600

153000

22644000

22638600

2748600

5400

166000

24568000

24328600

2748600

239400

179000

26492000

26018600

2748600

473400

192000

28416000

27708600

2748600

707400

205000

30340000

29398600

2748600

941400

218000

32264000

31088600

2748600

1175400

231000

34188000

32778600

2748600

1409400

244000

36112000

34468600

2748600

1643400

257000

38036000

36158600

2748600

1877400

270000

39960000

37848600

2748600

2111400

283000

41884000

39538600

2748600

2345400

296000

43808000

41228600

2748600

2579400

309000

45732000

42918600

2748600

2813400

322000

47656000

44608600

2748600

3047400

Calcolo del punto d’equilibrio tra costi e ricavi Break even point

slide20

Rappresentazione del punto d’equilibrio tra costi e ricavi

70000000 60000000 50000000 40000000 30000000 20000000 10000000 0

RT=p*q CT=CF+CV*q COSTI FISSI

QUANTITA'