Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Gastronomicznych • ID grupy: 97/91_mf_g1 • Opiekun: Magdalena Majchrzak • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Liczby Fibonacciego. • Semestr/rok szkolny: • Pierwszy 2010/2011

3. SPIS TREŚCI : • Kim był Fibonacci. • Co to są liczby Fibonacciego. • Obliczanie liczb Fibonacciego. • Graficzna reprezentacja dwójkowa. • Złota Liczba co to jest? • Własności złotej liczby, wzory i zależności. • Liczby Fibonacciego w naturze. • Złoty prostokąt i pięciokąt foremny. • Zastosowanie liczb Fibonacciego.

4. KIM BYŁ FIBONACCI. • Leonardo Fibonacci z Pizy • (ur. ok. 1175 r. - zm. 1250 r.) • włoski matematyk. • Znany jako: Leonardo Fibonacci, • Filius Bonacci -syn Bonacciego. • Leonardo Pisano Jego ojciec, Guilielmo z rodziny Bonacci, zajmował stanowisko dyplomatyczne w Afryce północnej i Fibonacci tam właśnie się kształcił. • Pierwsze lekcje matematyki pobierał od arabskiego nauczyciela w mieście Boużia (dziś algierska Bidżaja).

5. Dużo podróżował najpierw razem z ojcem, później samodzielnie, odwiedzając i kształcąc się w takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. • W czasie swych podróży po Europie i po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, między innymi dziesiętny system liczbowy. • Około 1200 Fibonacci zakończył podróże i powrócił do Pizy.

6. Napisał szereg rozpraw matematycznych, z których wiele zaginęło. Wśród prac, których kopie zachowały się do czasów współczesnych znajdują się: • Liber Abaci (1202)Księga Rachunków, gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki, • Practica geometriae(1220), będące połączeniem algebry i geometrii, • Flos(1225) oraz • Liber quadratorum (1225).

7. CO TO SĄ LICZBY FIBONACCIEGO. • Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: • 0 dla n=0; • Fn = 1 dla n=1; • Fn-1 + Fn-2 dla n>1. • Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

8. Formalnie: • Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od F1=1, F2=1 • Wyrazy ciągu Fibonacciego F0 … F19 to :0, 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181. • Ciąg został podany w 1202 roku przez Fibonacciego w Jego dziele Księga rachunków jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

9. Obliczanie liczb Fibonacciego. • Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. • Wynika to z tego, że definicja Fnwielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. • Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru n musi mieć co najmniej Fn liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.

10. Graficzna reprezentacja dwójkowa • Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

11. ZŁOTA LICZBA CO TO JEST? • Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. • Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

12. a + b a a b a b a + b PRZYKŁAD TAKIEGO PODZIAŁU: • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. • liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)).

13. WŁASNOŚCI ZŁOTEJ LICZBY • Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. • Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. • Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. • Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego.

14. WZORY I ZALEŻNOŚCI. • złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: • dokładna wartość : • przybliżona wartość:

15. odwrotność złotej liczby: • dokładna wartość: • przybliżona wartość:

16. Liczby fibonacciego w naturze • Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. • Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. • Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

17. PRZYKŁADOWE OBRAZY

19. Występowanie liczb Fibonacciego w naturze c.d. • Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej.

20. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. Być może trudno uwierzyć, że układ muszli zgodny jest z jakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali Fibonacciego. Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty są większe od poprzedzających dokładnie o sumę ich ścianek, co zgodne jest z regułą naszego ciągu.

21. ZŁOTY PROSTOKĄT

22. PIĘCIOKĄT FOREMNY • wszystkie boki równe, • wszystkie kąty równe, • wszystkie przekątne równe, • każda przekątna jest równoległa do jednego  boku

23. PIĘCIOKĄT FOREMNY A ZŁOTA LICZBA • punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział, • przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. • złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne).

24. Zastosowanie liczb fibonacciego • Ciąg liczb Fibonacciego na giełdzie • Istnieją trzy sposoby wykorzystania ciągu liczb Fibonacciego do analizy papierów wartościowych: • metody czasowe - w odniesieniu do upływu czasu • metody cenowe - w odniesieniu do zmiany ceny • metody cenowo - czasowe - w odniesieniu do upływu czasu i zmiany ceny

25. Duża liczba metod analizy technicznej stanowi próbę zmierzenia popytu na dany walor i sporządzenia na tej podstawie prognozy określającej czy cena wzrośnie czy spadnie oraz przy użyciu pewnych wskaźników, jak długi będzie ten ruch. • W tym przypadku stosuje się techniki wykorzystujące proporcje Fibonacciego w pionie. Metody te nazywamy metodami określającymi wielkość (zasięg) ruchu.

26. Drugą grupę stanowią metody oparte na analizie cykli oraz wykorzystaniu ciągu liczb Fibonacciego na osi czasu. Wykorzystuje się je do określenia czasu, w jakim dokona się zmiana trendu. Nazywamy je metodami określania czasu trwania ruchu cenowego. • Trzecią grupę metod stanowią techniki starające się oszacować jednocześnie potencjalny zakres i czas trwania ruchu. Metody uniwersalne bardzo często posiadają tę wadę, że dobrze opisują zagadnienie całościowo, natomiast mało precyzyjnie tłumaczą szczegóły.

27. literatura • Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński • Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape • Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol • Księga liczb – John Conway i Richard Guy • Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek • Zasoby internetu .