UFRB_C4 Slides GCET149 01b Pre-conceitos a integrabilidade

1. Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Cálculo Diferencial e Integral IV Integrais Múltiplas, Curvilíneas e de Superfícies Pré-conceitos à integrabilidade Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

2. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Definição 1.1. Um conjunto A é enumerável quando: (a) é finito ou; (b) quando existe uma bijeção f entre A e N = {0,1,2,...}, ou seja f : N A an. → 7→ n 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

3. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Definição 1.1. Um conjunto A é enumerável quando: (a) é finito ou; (b) quando existe uma bijeção f entre A e N = {0,1,2,...}, ou seja f : N A an. → 7→ n 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

4. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Definição 1.1. Um conjunto A é enumerável quando: (a) é finito ou; (b) quando existe uma bijeção f entre A e N = {0,1,2,...}, ou seja f : N A an. → 7→ n 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

5. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Definição 1.1. Um conjunto A é enumerável quando: (a) é finito ou; (b) quando existe uma bijeção f entre A e N = {0,1,2,...}, ou seja f : N A an. → 7→ n A = {a0,a1,...,an,...}. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

6. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São exemplos de enumeráveis: (a) O conjunto dos números naturais N Id: N N n → 7→ bijeção. n 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

7. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São exemplos de enumeráveis: (a) O conjunto dos números naturais N Id: N N n → 7→ bijeção. n (b) O conjunto dos números naturais pares P f : N P 2n → 7→ bijeção. n 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

8. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São exemplos de enumeráveis: (c) O conjunto I dos números naturais ímpares f : N I 2n + 1 → 7→ bijeção. n 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

9. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São exemplos de enumeráveis: (c) O conjunto I dos números naturais ímpares f : N I 2n + 1 → 7→ bijeção. n (d) O conjunto Z dos números inteiros f : N Z   → n 2 n par     , bijeção.  n 7→ −(n + 1) n ímpar , 2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

10. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos 1. Um subconjunto de um conjunto enumerável é também enumerável. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

11. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos 1. Um subconjunto de um conjunto enumerável é também enumerável. 2. A união de dois conjuntos enumeráveis é também enumerável. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

12. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos 1. Um subconjunto de um conjunto enumerável é também enumerável. 2. A união de dois conjuntos enumeráveis é também enumerável. 3. Se A1, A2, A3, …representam conjuntos enumeráveis, a união ∪ Ai também é enumerável. i≥1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

13. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos 1. Um subconjunto de um conjunto enumerável é também enumerável. 2. A união de dois conjuntos enumeráveis é também enumerável. 3. Se A1, A2, A3, …representam conjuntos enumeráveis, a união ∪ Ai também é enumerável. i≥1 {m { } ∪ ∪ An An = n;m ∈ N −m Q+ = , n≥1 } Bn Bn = n;m ∈ N Q− = , n≥1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

14. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos 4. O produto cartesiano de conjuntos enumeráveis é enumerável. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

15. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos 4. O produto cartesiano de conjuntos enumeráveis é enumerável. 5. Portanto, por exemplo, Q × Q é enumerável. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

16. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São não-enumeráveis: (a) Qualquer intervalo real [a,b] = {x ∈ R;a ≤ x ≤ b}. (b) Pelo item acima o conjunto dos números reais R não é enumerável. (c) O conjunto dos números irracionais Q′não é enumerável: caso contrário, R = Q ∪ Q′seria enumerável. (d) O produto cartesiano R × R não é enumerável. Também não é enumerável o produto cartesiano Rn, n ≥ 3. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

17. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São não-enumeráveis: (a) Qualquer intervalo real [a,b] = {x ∈ R;a ≤ x ≤ b}. (b) Pelo item acima o conjunto dos números reais R não é enumerável. (c) O conjunto dos números irracionais Q′não é enumerável: caso contrário, R = Q ∪ Q′seria enumerável. (d) O produto cartesiano R × R não é enumerável. Também não é enumerável o produto cartesiano Rn, n ≥ 3. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

18. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São não-enumeráveis: (a) Qualquer intervalo real [a,b] = {x ∈ R;a ≤ x ≤ b}. (b) Pelo item acima o conjunto dos números reais R não é enumerável. (c) O conjunto dos números irracionais Q′não é enumerável: caso contrário, R = Q ∪ Q′seria enumerável. (d) O produto cartesiano R × R não é enumerável. Também não é enumerável o produto cartesiano Rn, n ≥ 3. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

19. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos São não-enumeráveis: (a) Qualquer intervalo real [a,b] = {x ∈ R;a ≤ x ≤ b}. (b) Pelo item acima o conjunto dos números reais R não é enumerável. (c) O conjunto dos números irracionais Q′não é enumerável: caso contrário, R = Q ∪ Q′seria enumerável. (d) O produto cartesiano R × R não é enumerável. Também não é enumerável o produto cartesiano Rn, n ≥ 3. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

20. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 1. Em cada caso, identifique se o conjunto é enumerável ou não. (a) X = {2n;n ∈ N} (b) Y = {2n + π;n ∈ N} (c) Z = ∅ (d) W = (R \ Q) × (R \ Q) 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

21. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 1. Em cada caso, identifique se o conjunto é enumerável ou não. (a) X = {2n;n ∈ N} é enumerável (b) Y = {2n + π;n ∈ N} (c) Z = ∅ (d) W = (R \ Q) × (R \ Q) 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

22. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 1. Em cada caso, identifique se o conjunto é enumerável ou não. (a) X = {2n;n ∈ N} é enumerável (b) Y = {2n + π;n ∈ N} é enumerável (c) Z = ∅ (d) W = (R \ Q) × (R \ Q) 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

23. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 1. Em cada caso, identifique se o conjunto é enumerável ou não. (a) X = {2n;n ∈ N} é enumerável (b) Y = {2n + π;n ∈ N} é enumerável (c) Z = ∅ é enumerável (d) W = (R \ Q) × (R \ Q) 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

24. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 1. Em cada caso, identifique se o conjunto é enumerável ou não. (a) X = {2n;n ∈ N} é enumerável (b) Y = {2n + π;n ∈ N} é enumerável (c) Z = ∅ é enumerável (d) W = (R \ Q) × (R \ Q) é não enumerável 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

25. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 2. Identifique se as proposições a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique em ambos os casos a sua escolha. ( ) O conjunto Q \ Z é enumerável. ( ) O conjunto Q′é infinito enumerável ( ) O conjunto Z3é enumerável. ( ) Todo subconjunto de N é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

26. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 2. Identifique se as proposições a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique em ambos os casos a sua escolha. (V) O conjunto Q \ Z é enumerável. ( ) O conjunto Q′é infinito enumerável ( ) O conjunto Z3é enumerável. ( ) Todo subconjunto de N é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

27. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 2. Identifique se as proposições a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique em ambos os casos a sua escolha. (V) O conjunto Q \ Z é enumerável. (F) O conjunto Q′é infinito enumerável ( ) O conjunto Z3é enumerável. ( ) Todo subconjunto de N é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

28. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 2. Identifique se as proposições a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique em ambos os casos a sua escolha. (V) O conjunto Q \ Z é enumerável. (F) O conjunto Q′é infinito enumerável (V) O conjunto Z3é enumerável. ( ) Todo subconjunto de N é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

29. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 2. Identifique se as proposições a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique em ambos os casos a sua escolha. (V) O conjunto Q \ Z é enumerável. (F) O conjunto Q′é infinito enumerável (V) O conjunto Z3é enumerável. (V) Todo subconjunto de N é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

30. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 3. Sabendo-se que A é um conjunto infinito qualquer e que existe uma função f que relaciona A e N, ou seja, f : A → N, marque a proposição verdadeira: ( ) Se f é sobrejetiva e não é injetiva, então A é infinito enumerável ( ) Se f é injetiva e não é sobrejetiva, então A não é infinito enumerável ( ) Se f não é sobrejetiva e nem injetiva, então A é infinito enumerável ( ) Se f é bijetiva, então A é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

31. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Exemplos Propriedades Exemplos Exercícios 3. Sabendo-se que A é um conjunto infinito qualquer e que existe uma função f que relaciona A e N, ou seja, f : A → N, marque a proposição verdadeira: ( ) Se f é sobrejetiva e não é injetiva, então A é infinito enumerável ( ) Se f é injetiva e não é sobrejetiva, então A não é infinito enumerável ( ) Se f não é sobrejetiva e nem injetiva, então A é infinito enumerável (X) Se f é bijetiva, então A é enumerável. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

32. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios Um conjunto A ⊂ R é dito conjunto de medida nula em R se, (a) A ⊂ k=1 ∞ ∑ ∞ ∪ diam(Ik) ≤ ϵ, em que Ik=]ak,bk[ e diam(Ik) = bk− ak. Ik; (b) k=1 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

33. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios Um conjunto A ⊂ R é dito conjunto de medida nula em R se, dado um número real ϵ > 0, podemos encontrar uma sequência de intervalos reais abertos I1,I2,I3,..., tais que: ∞ ∪ diam(Ik) ≤ ϵ, em que Ik=]ak,bk[ e diam(Ik) = bk− ak. (a) A ⊂ Ik; k=1 ∞ ∑ (b) k=1 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

34. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios Um conjunto A ⊂ R é dito conjunto de medida nula em R se, dado um número real ϵ > 0, podemos encontrar uma sequência de intervalos reais abertos I1,I2,I3,..., tais que: ∞ ∪ diam(Ik) ≤ ϵ, em que Ik=]ak,bk[ e diam(Ik) = bk− ak. (a) A ⊂ Ik; k=1 ∞ ∑ (b) k=1 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

35. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios Um conjunto A ⊂ R é dito conjunto de medida nula em R se, dado um número real ϵ > 0, podemos encontrar uma sequência de intervalos reais abertos I1,I2,I3,..., tais que: ∞ ∪ diam(Ik) ≤ ϵ, em que Ik=]ak,bk[ e diam(Ik) = bk− ak. (a) A ⊂ Ik; k=1 ∞ ∑ (b) k=1 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

36. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

37. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (a) Um conjunto unitário A = {a}. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

38. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (a) Um conjunto unitário A = {a}. De fato, dado ϵ > 0, basta tomar os intervalos ( ) a −ϵ 4,a +ϵ I1 = e Ik= ∅,k ≥ 2. 4 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

39. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (a) Um conjunto unitário A = {a}. De fato, dado ϵ > 0, basta tomar os intervalos ( ) a −ϵ 4,a +ϵ I1 = e Ik= ∅,k ≥ 2. 4 ∞ ∪ A ⊂ Ik k=1 e que 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

40. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (a) Um conjunto unitário A = {a}. De fato, dado ϵ > 0, basta tomar os intervalos ( ) a −ϵ 4,a +ϵ I1 = e Ik= ∅,k ≥ 2. 4 ∞ ∪ A ⊂ Ik k=1 e que ∞ ∑ diam(Ik) = diam(I1) =ϵ 2≤ ϵ. k=1 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

41. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (b) Um conjunto finito, por exemplo, A = {1,2,3}. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

42. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (b) Um conjunto finito, por exemplo, A = {1,2,3}. De fato, dado ϵ > 0, tome intervalos I1 = 8 ( ) ( ) ( ) 1 −ϵ 8,1 +ϵ 2 −ϵ 8,2 +ϵ 3 −ϵ 8,3 +ϵ , I2 = , I3 = , Ik= ∅, k ≥ 4. 8 8 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

43. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (b) Um conjunto finito, por exemplo, A = {1,2,3}. De fato, dado ϵ > 0, tome intervalos I1 = 8 ( ) ( ) ( ) 1 −ϵ 8,1 +ϵ 2 −ϵ 8,2 +ϵ 3 −ϵ 8,3 +ϵ , I2 = , I3 = , Ik= ∅, k ≥ 4. 8 8 ∞ ∪ A ⊂ Ik k=1 e que ∞ ∑ diam(Ik) = diam(I1) + diam(I2) + diam(I3) = 3ϵ 4≤ ϵ. k=1 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

44. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (c) Um conjunto infinito e enumerável, por exemplo, A = {1,2,3,4,...}. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

45. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (c) Um conjunto infinito e enumerável, por exemplo, A = {1,2,3,4,...}. De fato, tome os intervalos I1 = 4 ( ) ( ) ( ) ϵ 1 −ϵ 4,1 +ϵ 2 −ϵ 8,2 +ϵ ϵ , I2 = ,..., In = n − 2n+1,1 + , n ≥ 3. 8 2n+1 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

46. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (c) Um conjunto infinito e enumerável, por exemplo, A = {1,2,3,4,...}. De fato, tome os intervalos I1 = 4 É claro que C ⊂ k=1 k=1 ( ) ( ) ( ) ϵ 1 −ϵ 4,1 +ϵ 2 −ϵ ∞ ∑ 8,2 +ϵ diam(Ik) = ϵ ϵ , I2 = ,..., In = (1 n − 2n+1,1 + 8+ ... +1 , n ≥ 3. ) 8 2n+1 2+1 4+1 ∞ ∪ Ik e que = ϵ. 2n+ ... 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

47. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (d) A união enumerável de conjuntos de medida nula é um conjunto de medida nula. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

48. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (d) A união enumerável de conjuntos de medida nula é um conjunto de medida nula. De fato, seja E =∪ nAn, em que An é enumerável. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

49. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (d) A união enumerável de conjuntos de medida nula é um conjunto de medida nula. De fato, seja E =∪ menores que 2−nϵ. nAn, em que An é enumerável. Dado ϵ > 0, podemos escolher uma sequência de intervalos {Im n}, para cada An, cujos diâmetros sejam 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022

50. Conjuntos Enumeráveis Conjuntos de Medida Nula Descontinuidade Definição Exemplos Exercícios São conjuntos A ⊂ R de medida nula em R: (d) A união enumerável de conjuntos de medida nula é um conjunto de medida nula. De fato, seja E =∪ menores que 2−nϵ. Fazendo Is = ∪m∪nIm s nAn, em que An é enumerável. Dado ϵ > 0, podemos escolher uma sequência de intervalos {Im n}, para cada An, cujos diâmetros sejam ∞ ∑ ∑ 2−nϵ = ϵ. n, temos que d(Is) ≤ n=0 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 17 de agosto de 2022