GCET059 Slides Sistemas Lineares C

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Cálculo Numérico I Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii̸= 0, para i = {1,2,...,n}. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Concepção de um Método Iterativo Em um método iterativo para resolver sistemas lineares, o sistema Ax = b é transformado em um sistema equivalente x = Cx + d. Para isso, devemos ter det(A) ̸= 0, com aii̸= 0, para i = {1,2,...,n}. Ax = b ⇒ x = Cx + d 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1,2,...,n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1,2,...,n}.   a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn a21x1+ a22x2+ a23x3+ ... + a2nxn b1 b2 = = ... =        (1) an1x1+ an2x2+ an3x3+ ... + annxn bn 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Considere um sistema linear de ordem n nas incógnitas xi, i = {1,2,...,n}.   com aii̸= 0,∀ i. a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn a21x1+ a22x2+ a23x3+ ... + a2nxn b1 b2 = = ... =        (1) an1x1+ an2x2+ an3x3+ ... + annxn bn 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xina i-ésima equação, ou seja, adotarmos x(k+1) i sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x(k) j ̸= i; , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como j, no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xina i-ésima equação, ou seja, adotarmos x(k+1) i sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x(k) j ̸= i; Obtendo, assim: , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como j, no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xina i-ésima equação, ou seja, adotarmos x(k+1) i sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x(k) j ̸= i; Obtendo, assim:     , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como j, no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada 1 x(k+1) 1 (b1− a12x(k) − a13x(k) − . . . − a1nx(k)         = n )     2 3     a11 1 a22      x(k+1) 2 (b2− a21x(k) − a23x(k) − . . . − a1nx(k) = n ) 1 3 (1) ...   1 x(k+1) n (bn− an1x(k) − an2x(k) − . . . − an(n−1)x(k) = n−1) 1 2 ann 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi O método de Jacobi consiste em: explicitarmos a variável xina i-ésima equação, ou seja, adotarmos x(k+1) i sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; adotarmos x(k) j ̸= i; Obtendo, assim:     com aii̸= 0, ∀i. , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como j, no segundo membro de cada equação da i-ésima linha, para cada 1 x(k+1) 1 (b1− a12x(k) − a13x(k) − . . . − a1nx(k)         = n )     2 3     a11 1 a22      x(k+1) 2 (b2− a21x(k) − a23x(k) − . . . − a1nx(k) = n ) 1 3 (1) ...   1 x(k+1) n (bn− an1x(k) − an2x(k) − . . . − an(n−1)x(k) = n−1) 1 2 ann 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi o sistema anterior é capaz de gerar uma sucessão de aproximações x(1),x(2),...,x(k), partindo da aproximação inicial x(0); utilizamos como critério de parada a condição |x(k+1)− x(k)| < ϵ, em que ϵ é a precisão desejada e |x(k+1)− x(k)| = maxi{|x(k+1) − x(k) i|},∀ i = {1,2,...,n}. i 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema { partindo do vetor x(0)=[ 2x1− x2 x1+ 2x2 1 3 = = ]t, com uma precisão ϵ = 0,04. 0,9 0,9 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema { partindo do vetor x(0)=[ Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são: 2x1− x2 x1+ 2x2 1 3 = = ]t, com uma precisão ϵ = 0,04. 0,9 0,9 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Jacobi, para o sistema { partindo do vetor x(0)=[ Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:   CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 2x1− x2 x1+ 2x2 1 3 = = ]t, com uma precisão ϵ = 0,04. 0,9 0,9 1 2(1 + x(k) 1 2(3 − x(k) x(k+1) 1 x(k+1) 2    = 2) = 1) 3 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:   1 2(1 + x(0) 1 2(3 − x(0) 2) =1 1) =1 x(1) 1 2(1 + 0,9) = 0,95 2(3 − 0,9) = 1,05   =  x(1) 2 = 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:   1 2(1 + x(0) 1 2(3 − x(0) 2) =1 1) =1 x(1) 1 2(1 + 0,9) = 0,95 2(3 − 0,9) = 1,05   =  x(1) 2 = Sendo assim, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 0, temos:   1 2(1 + x(0) 1 2(3 − x(0) 2) =1 1) =1 x(1) 1 2(1 + 0,9) = 0,95 2(3 − 0,9) = 1,05   =  x(1) 2 = Sendo assim, |x(1)− x(0)| = max{|0,95 − 0,9|,|1,05 − 0,9|} = 0,15 > 0,04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 1, temos:   1 2(1 + x(1) 1 2(3 − x(1) 2) =1 1) =1 x(2) 1 2(1 + 1,05) = 1,025 2(3 − 0,95) = 1,025   =  x(2) 2 = Sendo assim, |x(2)− x(1)| = max{|1,025 − 0,95|,|1,025 − 1,05|} = 0,075 > 0,04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:   1 2(1 + x(2) 1 2(3 − x(2) 2) =1 1) =1 x(3) 1 2(1 + 1,025) = 1,0125 2(3 − 1,025) = 0,09875   =  x(3) 2 = Sendo assim, |x(3)− x(2)| = max{|1,0125 − 1,025|,|0,09875 − 1,025|} = 0,0375 < 0,04. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:   1 2(1 + x(2) 1 2(3 − x(2) 2) =1 1) =1 x(3) 1 2(1 + 1,025) = 1,0125 2(3 − 1,025) = 0,09875   =  x(3) 2 = Sendo assim, |x(3)− x(2)| = max{|1,0125 − 1,025|,|0,09875 − 1,025|} = 0,0375 < 0,04. Portanto, o vetor solução é 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método Gauss-Jacobi Para k = 2, temos:   1 2(1 + x(2) 1 2(3 − x(2) 2) =1 1) =1 x(3) 1 2(1 + 1,025) = 1,0125 2(3 − 1,025) = 0,09875   =  x(3) 2 = Sendo assim, |x(3)− x(2)| = max{|1,0125 − 1,025|,|0,09875 − 1,025|} = 0,0375 < 0,04. Portanto, o vetor solução é [ ]t. 1,0125 0,09875 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel O método de Gauss-Seidel é uma variação do método de Gauss-Jacobi, onde: explicitamos a variável xina i-ésima equação; adotamos x(k+1) i sendo a i-ésima coordenada do vetor aproximação; já utilizamos os valores x(k+1) i , no primeiro membro de cada equação da i-ésima linha, como obtidos no cálculo das linhas seguintes. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Assim, teremos: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Assim, teremos:     1 x(k+1) 1 a11(b1− a12x(k) 1 a22(b2− a21x(k+1) 1 a33(b3− a31x(k+1) − a13x(k) − a23x(k) − a32x(k+1) − ... − a1nx(k) − ... − a1nx(k) − a33x(k)     = n )     2 3              x(k+1) 2 = n ) 1 3 (1) x(k+1) 3 − ... − a1nx(k) = ... n ) 1 2 3   1 x(k+1) n ann(bn− an1x(k+1) − an2x(k+1) − ... − an(n−1)x(k+1) = n−1) 1 2 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Assim, teremos:     com aii̸= 0,∀ i. 1 x(k+1) 1 a11(b1− a12x(k) 1 a22(b2− a21x(k+1) 1 a33(b3− a31x(k+1) − a13x(k) − a23x(k) − a32x(k+1) − ... − a1nx(k) − ... − a1nx(k) − a33x(k)     = n )     2 3              x(k+1) 2 = n ) 1 3 (1) x(k+1) 3 − ... − a1nx(k) = ... n ) 1 2 3   1 x(k+1) n ann(bn− an1x(k+1) − an2x(k+1) − ... − an(n−1)x(k+1) = n−1) 1 2 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Example Encontre uma solução aproximada, utilizando o método de Seidel, para o sistema:   partindo do vetor x(0)=[ 5x1+ 2x2+ x3 3x1+ 6x2− 2x3 2x1− 4x2+ 10x3 0 8 7 8 = = =  ]t, com uma precisão ϵ = 0,001. 0 0 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:    1 5(8 − 2x(k) 1 6(7 − 3x(k+1) 1 10(8 − 2x(k+1) x(k+1) 1 − x(k) + 2x(k)     = 3)   2       x(k+1) 2 (1) = 3) 1 x(k+1) 3 + 4x(k+1) 2 = ) 1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel Solução: As equações que geram os vetores que compõem cada elemento da sequência são:    A seguir, uma tabela com a sequência de valor encontrados em cada iteração utilizando o sistema gerador. 1 5(8 − 2x(k) 1 6(7 − 3x(k+1) 1 10(8 − 2x(k+1) x(k+1) 1 − x(k) + 2x(k)     = 3)   2       x(k+1) 2 (1) = 3) 1 x(k+1) 3 + 4x(k+1) 2 = ) 1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Método de Gauss-Seidel x(k+1) 1 0 1,6 1,328 1,1516 1,0714 1,0336 1,0158 1,0074 1,0035 1,0016 1,0007 x(k+1) 2 0 0,3667 0,7116 0,8639 0,936 0,9699 0,9858 0,9934 0,9969 0,9986 0,9994 x(k+1) 3 0 0,6267 0,819 0,9152 0,9601 0,9812 0,9912 0,9959 0,9981 0,9991 0,9996 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 max 1,6 0,3449 0,1764 0,0802 0,0378 0,0178 0,0084 0,0039 0,0019 0,0009 10 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Métodos Iterativos para obter a Solução de Sistemas Lineares Convergência dos Métodos 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

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