1. I LIMITI

2. TOPOLOGIA DI R FINALITÀ Introdurre nozioni che consentano di definire la posizione relativa di un elemento di R* rispetto ad un insieme a cui l’elemento può appartenere o non Sia dato l’insieme:       0 1/2 1 2 3 • 3A ma la distanza dal primo vicino (l’elemento 2), punto dell’insieme A, è pari a 1  si può dire che 3 è «LONTANO» dagli altri punti di A • 2A ed è «VICINO» ad altri punti di A • 0A ma ci si può avvicinare a piacere stando in A •  il punto 0 è «VICINO»

3. INTORNO Si definisce il concetto di vicinanza introducendo la nozione di intorno di un punto xo di R* DEFINIZIONE Dato xo R , si dice INTORNO di xo un qualsiasi intervallo del tipo con   0 detto raggio dell’intorno Dal punto di vista insiemistico: I(x0) = xR : x  x0    intorno destro I (x0) = xR : x0  x  x0   intorno sinistro I (x0) = xR : x0   x  x0  intorno di  I (x0) = xR : x   M  intorno di  I (x0) = xR : x   M 

4. PUNTO DI ACCUMULAZIONE x0 è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per A se: in ogni intorno di x0 esistono punti di A diversi da x0 La condizione x  x0vuole evitare che x0 sia punto isolato Se x0 è punto di accumulazione per A  in ogni suo intorno ci sono infiniti punti di A       0 1/2 1 2 3

5. PUNTO DI ACCUMULAZIONE Se A = (a, b)  R (intervallo aperto ) Se A = [a, b]  R (intervallo chiuso)  tutti i punti di accumulazione per A sono in [a, b]

6. PUNTO DI ACCUMULAZIONE •  In R ogni elemento è un punto di accumulazione per l’insieme stesso • In N o in Z non vi sono punti di accumulazione: nell’intervallo | n -  |, si possono costruire diversi intorni I(n) che contengono altri numeri naturali • - ad esempio, preso n=4 e  = 1,5 • ma anche altrettanti intorni I(4) che non contengono alcun altro numero naturale oltre a n = 4, • - ad esempio, n=4 e  = 0,5

7. PUNTO INTERNO • Si dice che x0 A  R è PUNTO INTERNO a A se: • ossia spostandosi di poco da x0 sia a sinistra sia a destra si è certi di rimanere nell’insieme A •  Ogni punto interno ad A  R è anche punto di accumulazione • Un insieme in cui tutti i punti sono interni si dice APERTOin R • Un insieme il cui complementare in R è aperto si dice CHIUSOin R • es: ogni intervallo del tipo: •  (a, b) con   a < b   è un insieme aperto •  [a, b] è un insieme chiuso •  (, b] o [a,  ) sono insiemi chiusi

8. PUNTO ISOLATO x0 A è PUNTO ISOLATO se: ()) ) ()     ()  x0 = 0 è punto di accumulazione per A  tutti gli altri punti sono isolati 0 1/2 1 2

9. ESERCIZIO Determinare: - punti di accumulazione per E - estremo sup e inf - massimo e minimo è una successione decrescente  presi due elementi di E qualunque e distinti, tra di essi non sono compresi altri elementi dell’insieme E  per ogni punto en si può sempre trovare un intorno al quale non appartengono altri punti di E diversi da en  nessun elemento dell’insieme è punto di accumulazione per E  en=5 comunque si scelga  come raggio dell’intorno di centro 5  esiste sempre un valore di n abbastanza grande per cui si abbia 1/n    en=5 è di accumulazione per E inf(E) = 5  max(E)= sup(E) = 6

10. LIMITE DI FUNZIONI Consente di determinare il comportamento di una funzione f(x) quando la variabile indipendente x : - si muove vicino ad un dato punto appartenente o non al dominio della f(x) - diventa molto grande o molto piccola ( |x|   ) TERMINOLOGIA

11. TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE Se per x tendente a x0 esiste il limite tale limite l è UNICO

12. LIMITE FINITO AL FINITO LIMITE DESTRO Sia f una funzione definita in un intorno di x0 ∈ R tranne eventualmente in x0, cioè x0è punto di accumulazione per Dom(f ), Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (sempre MAGGIORIdi x0), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L scelta di scelta di  y y y =f(x) y = f(x) L +  L L -  L +  L L -  O x0xO x0+  x0x   0  >0 : x x0  x (x0 , x0 )  | f (x)  L | 

13. LIMITE FINITO AL FINITO LIMITE SINISTRO Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (sempre MINORI di x0), i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L y y y =f(x) y = f(x) L +  L L -  L +  L L -  x0- x0 x O x0O  > 0  >0 : x x0  x (x0, x0)  | f (x)  L | < 

14. LIMITE FINITO AL FINITO Se la funzione :  possiede sia il limite destro sia il limite sinistro nel punto x0  questi due limiti coincidono  la f (x) ha limite in x0 e vale L L +ε L f(x) L -ε x0 x 2   0  0 : x x0  x (x0, x0 )  | f (x)  L | 

15. LIMITE FINITO AL FINITO Esistono limite destro e limite sinistro ma non esiste il limite completo

16. LIMITE FINITO ALL’INFINITO f definita in D illimitato    > 0  K>0 : | x | > k  | f (x) – l | <  l R l+ε f(x) l l-ε K -K x ASINTOTO ORIZZONTALE y =l per x 

17. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO f definita in D illimitato   M > 0  K > 0 : | x | > k  | f (x) | > M f(x) M -K K x -M la funzione potrebbe avere un ASINTOTO OBLIQUO

18. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO Nelle condizioni della precedente definizione, si possono considerare i seguenti casi particolari: se per ogni risulta allora grafico x > K f(x) > M x > K f(x) < - M x < - K f(x) > M x < -K f(x) < -M

19. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO La funzione ammette un asintoto obliquo y=mx+q (m0) se ovvero:  esiste ed è finito  esiste ed è finito

20. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO ESEMPIO la f(x) non ha un asintoto obliquo

21. LIMITE INFINITO ALL’INFINITO ASINTOTO OBLIQUO ESEMPIO

22. LIMITE INFINITO AL FINITO f definita in D illimitato   M > 0  >0 : x x0  | x- x0 |<   f(x) > M f(x) M x0 x  Quando la variabile x assume valori “vicini” ad x0 (diversi da x0), i corrispondenti valori di |f (x)| crescono arbitrariamente x = x0 è un ASINTOTO VERTICALE

23. IL LIMITE NON ESISTE come si comporta g(x) = sin(2πx) quando x → +∞ ? Per x → +∞ g(x) non tende ad alcun valore ma continua ad oscillare  il limite NON ESISTE

24. LIMITE IN UN PUNTO ISOLATO ? f(x) = sin(x) x0= π/2 è punto isolatoper A Ha senso chiedersi cosa succede alla funzione quando x → π/2 ? NO perché f non è definita in un intorno di x0 = π/2 CONCLUSIONE: ha senso studiare il comportamento di f (x) per x → x0 solo se x0è un punto di accumulazione per il dom(f)

25. LIMITE DI FUNZIONI ELEMNTARI Ricordando i grafici delle funzioni elementari si ha: x →  x → 

26. LIMITE DI FUNZIONI ELEMENTARI Ricordando i grafici delle funzioni trascendenti si ha:

27. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO Esiste un intorno di x0 in cui f ha lo stesso segno del limite Analogo risultato per L<0: f(x)<0 in un intorno I(x0) Se L=0 nulla si può dire sul segno della funzione in un intorno di x0 L=0 x0 x0 x0

28. TEOREMA DEL CONFRONTO Siano f, g, h funzioni definite in I(x0) \ x0 e tali che  f(x)  g(x)  h(x)  x I(x0) \ x0  L R e | L | <  h g L f x0 Il teorema  consente di stabilire l’esistenza del limite di g  suggerisce che il suo calcolo si può fare ricorrendo a due funzioni opportunamente scelte e per le quali il calcolo del limite sia agevole

29. TEOREMA DEL CONFRONTO ESEMPIO si osserva che poiché |x|0 per x  0 segue che

30. COROLLARI DEL TEOREMA DEL CONFRONTO f, g : D  R R e tali che  |f(x)|  k  x I(x0)  D x  x0   2 f, g : D  R R e tali che  f(x)  k  x I(x0)  D x  x0   3 f, g : D  R R e tali che  |f(x)|  k  x I(x0)  D x  x0  

31. ALGEBRA DEI LIMITI Se per x  x0 f(x)  L e g(x)  G con L, G  R si ha per x  x0 1. f(x)  g(x)  L  G 2. f(x)  g(x)  L G 3. f(x)  g(x)  L  G sse G0 e G(x) 0 per x  x0 4.k  f(x)  k  L k  R

32. ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI  L  R 1. L      5. L     sse L  0 2.        6. L / 0   sse L  0 3.      7. L /   0 4.     

33. FORME INDETERMINATE Nessuna regola può essere stabilita a priori per determinare il risultato 1.    5. 1  2. 0   6. (  ) 0 3.  /  7. 0 0 4. 0 / 0

34. FORME INDETERMINATE ESEMPI

35. FORME INDETERMINATE     ESEMPI

36. FORME INDETERMINATE ESEMPI

37. FORME INDETERMINATE ESEMPI

38. TEOREMA DELL’ESISTENZA DEL LIMITE PER UNA FUNZIONE MONOTONA Analogamente se f è una funziona monotona decrescente: L=0 L=0 sup Im(f ) sup Im(f ) inf Im(f ) inf Im(f ) a b a b

39. CONTINUITÀ DEFINIZIONE Sia f: I  R  R , x0  I e punto di accumulazione per la funzione f si dice che la funzione f è continua in x0 se: • cioè seil valore che f assume in x0 coincide con il limite per x  x0 • formalmente, secondo la definizione topologica di limite: •   > 0   > 0 : |x  x0|<   |f(x) – f(x0)|<  • ossia, se x è vicino a x0  f(x) è vicina a f(x0) l’operazione di limite può essere portata “all’interno” della funzione e il calcolo eseguito sostituendo, al posto della variabile x, il valore x0 a cui essa tende Graficamente, la continuità in un punto x0 consiste nel fatto che punti vicini a x0 vengono trasformati tramite f in punti vicini a f(x0)

40. CONTINUITÀ Una funzione f(x) è CONTINUA IN UN INTERVALLO A  D se è continua in tutti i punti dell’intervallo A y h(x) o o  o x1 x3 x2 x O La funzione h(x) è continua nell’insieme (x1, x2)  (x2, x3), ma non è continua né in x2 né in x3

41. DISCONTINUITÀ Se una funzione non è continua in un punto x0 del suo dominio  la funzione si dice discontinua in x0  PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE o DISCONTINUITÀ A SALTO il limite destro e sinistro esistono, sono finiti entrambi ma diversi Il salto della funzione è dato dalla differenza tra i limiti |L1-L2| Anche se si ridefinisce f(x0) non è possibile rendere f(x) una funzione continua in quel punto y O O x0 x

42. DISCONTINUITÀ  PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE o DISCONTINUITÀ A SALTO ESEMPIO f(0) non può essere calcolato

43. DISCONTINUITÀ  PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE quando almeno uno dei limiti è infinito o non esiste y x0 x non definita y y   O x0 x0 x x ALTRI ESEMPI : x0 x0 diverge non  lim

44. DISCONTINUITÀ  PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE o ELIMINABILE quando almeno uno dei limiti è infinito o non esiste O g(x) y  x0 x

45. TEOREMA DEGLI ZERI Data una funzione reale f, si chiama zeroo radicedi f ogni punto x0 ∈ dom(f) in cui f si annulla: f(x0)= 0 Sia 1. f continua in [a, b] 2. f(a)  f(b)  0   c (a, b) : f(c) = 0  Se inoltre: 3. f è strettamente monotona  lo zero è unico f(a) Se non fossero soddisfatte le ipotesi: f(b)  a cb a b a b  f NON È CONTINUA IN I IL DOMINIO NON È UN INTERVALLO

46. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b)

47. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI COROLLARIO Sia f una funzione  continua  in un intervallo A Allora l’immagine f (A) dell’intervallo A tramite f è ancora un intervallo

48. TEOREMA DI WEIERSTRASS Ogni funzione  continua e definita in un intervallo  chiuso e  limitato ha sempre almeno un punto di minimo e almeno un punto di massimo o o o o f non è continua in [a, b] [a, b] non è chiuso Se non valesse una delle ipotesi:   [a, b] non è limitato

49. TEOREMA DI DARBOUX Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b] Allora f assume tutti i valori compresi tra y2 M M a b a b y1 m m Il teorema è una conseguenza del teorema di Weierstrass e del teorema dei valori intermedi

50. TEOREMA DI DARBOUX M a b • FORMALMENTE • Sia f : [a, b]  R, continua in [a, b] • detti m=minfe M = maxfpunto di min e maxper f: Im[a, b] = [m, M] •    [m, M]  x0  [a, b] : f(x0) = m