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Calcolo differenziale 2018

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Presentation Transcript

  1. IL CALCOLO DIFFERENZIALE

  2. RAPPORTO INCREMENTALE DEFINIZIONE Sia f: D  R  R , x0 , x0 + h  D, h  R \ 0 Il quoziente RAPPORTO INCREMENTALE di f relativo al punto iniziale x0 e all’incremento h      f(x ( h) f(x ( ) f(x h) f(x ) f 0 0 ) 0 0      x x h ) x h 0 0 y P2 .  f (x0+h) h 0 RI+ destro  f P1 .  h 0 RI- sinistro f (x0) O x  x = h x0+h x0 Geometricamente rappresenta il coefficiente angolare della retta SECANTE passante per i punti del grafico di coordinate (x0 , f(x0)) e (x0+h, f(x0+h))

  3. RAPPORTO INCREMENTALE y f (x2+h) f (x2) f (x1+h) .   f2    f1 .  f (x1) x2 O x1 x1+h x2+h  x = h  x = h    f(x h) f(x ) f 0 0   m  x h Intuitivamente: quanto più RI è elevato in modulo  tanto più la frisulta sensibile a una variazione pari ad “h” in x0 ossia la pendenza della retta aumenta

  4. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Per determinare la “reattività” in un punto x0 della funzione f rispetto ad una variazione arbitrariamente piccola di h (spostamento INFINITESIMOda x0 ) DEFINIZIONE Una funzione f: D  R  R , si dice DERIVABILE IN UN PUNTO, x0  D, se in tale punto esistono finiti e sono uguali le derivate sinistra e destra:     )   ( ( ) f x h f x ' 0 0   ( ) lim f x   - 0 h     0 h     ' '   ( ) ( con ) f x   f x - 0 0     )   ( ( ) f x h f x ' 0 0   ( ) lim   f x     0 h     0 h Il valore comune dei 2 limiti si dice DERIVATA della funzione f nel punto x0: df ' x x o o ( ) ( ) (    f ( x h ) f ( x ) o o    x D f x f x ) lim  o dx h h 0

  5. Ricordando che: Guardo se esiste il limite con x0 = 1 b3]

  6. DERIVATA DI UNA FUNZIONE PROPRIETÀ f è derivabile in x0 se esistono finite ed uguali la derivata destra e sinistra in x0 Se non   x0 è un punto di NON derivabilità Un punto di non derivabilità per f è NON APPARTENENTE al dom(f ′) OSSERVAZIONE Se x0  D è un punto estremo del dominio D della funzione f ad esempio D è del tipo [x0, b) o (a, x0], in x0, che non è un punto all’internodel dominio, si può calcolare solo il limite destro o sinistro  per convenzione si dirà in ogni caso che f è derivabile in x0 se il esiste o e si porrà: oppure x f x f 0 0 ) ( ) (     'x f  ' (0 ) (0 ) f -x ' ' ' '   ( ) ( ) f x f x   0 0 [x0, b) (a, x0]

  7. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO retta tangente y . . f(x0+h) . . . f(x0) h h h h x0+h O x x0 0   h Al tendere di h a 0, i due punti si avvicinano e la retta secante tende ad assumere una posizione limite, che prende il nome di retta tangente al grafico nel punto (x0, f(x0)) '     y f ( x ) f  (  x ) ( x x ) RETTA TANGENTE 0 0 0  m

  8. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO PROPRIETÀ GEOMETRICHE la derivabilità da destra e da sinistra di f in x0 equivalgono all’esistenza di rette tangenti rispettivamente al ramo destro e al ramo sinistro del grafico di f in P(x0 , f(x0)) '     '     y f ( x ) f ( x ) ( x x ) y f ( x ) f ( x ) ( x x )   0 0 0 0 0 0 xo

  9. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO PROPRIETÀ GEOMETRICHE geometricamente, una funzione f è derivabile in x0 se:   esiste la retta tangente ad f nel punto x0   è unica   non è una retta verticale

  10. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO una funzione f è derivabile in x0 se esiste la retta tangente ad f in x0 ed è unica non derivabile in: - x0 = 1 derivabile in: - x0 = 0 e - x0 = 1 3    f(x) x 1

  11. ARCO A SESTO ACUTO Esiste una tangente nel vertice dell’arco?

  12. DERIVABILITÀ In x0 = 2 esiste una tangente (rossa) se analizzo il comportamento di f a sinistra di x0 = 2 e un’altra tangente (blu) se analizzo il comportamento di f a destra di x0 = 2 in x0 = 2 non esiste una sola tangente   f non è derivabile In tutti gli altri punti x   2 esiste unica retta tangente alla funzione, cioè f è derivabile in tutti gli x   2

  13. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO tangente VERTICALE  f ′ (x0) =   (NON ESISTE) 3     f(x) x 1 non derivabile in: x0 = 1

  14. DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO x^3+2*x^2+0.5

  15. DERIVATA DI UNA FUNZIONE f f '   OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE la funzione f(x) è pari la funzione f  (x) è dispari f(x)=x2

  16. DERIVATA DI UNA FUNZIONE f f ' OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE la funzione f(x) è dispari la funzione f  (x) è pari f(x)= x3

  17. DERIVATA DI UNA FUNZIONE  f f '    y=0 OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE dove la funzione f(x) è crescente dove la funzione f(x) è decrescente la funzione f  (x) è positiva  la funzione f  (x) è negativa

  18. DERIVATA DI UNA FUNZIONE f f ' y=0 OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE dove la funzione f(x) è crescente la funzione f  (x) è positiva f(x)= sin(x)+tan(x)

  19. DERIVATA DI UNA FUNZIONE f f ' y=0 OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE dove la funzione f(x) è decrescente la funzione f  (x) è negativa f(x)=   [ sin(x)+tan(x) ]

  20. DERIVATA DI UNA FUNZIONE    f f '    y=0 OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE la funzione f(x) ha un estremo (max o min) la funzione f  (x) si annulla f(x)=(sin(x))2+cos(x)

  21. ANDAMENTO GRAFICO DELLA FUNZIONE IN x0 e f  (x0) RETTA TANGENTE ORIZZONTALE f  (x0) = 0 y y f  (x0)=0  f(x0)  f(x0) f  (x0)=0 x0 x0 O x O x x0 è un punto di massimo x0 è un punto di minimo   x  I(x0)   x   x0   f(x)   f(x0)   x  I(x0)   x   x0  f(x)   f(x0)

  22. DERIVATA DI UNA FUNZIONE f f ' y=0 OSSERVAZIONE OSSERVAZIONE la funzione f(x) è lineare f(x) non è derivabile in x=0 la funzione f  (x) è costante f(x)=  |x|

  23. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ TEOREMA Sia f una funzione f: D  R  R se f è derivabile in x0  f è CONTINUA in x0

  24. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ ATTENZIONE Mentre la derivabilità implica la continuità non vale il contrario: la derivabilità è più forte della continuità  la continuità è necessaria alla derivabilità ma non sufficiente  può succedere che una funzione sia continua in un punto ma non derivabile FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI DERIVABILI

  25. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ MA NON VICEVERSA FUNZIONI CONTINUE MA NON DERIVABILI IN UN PUNTO

  26. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ MA NON VICEVERSA

  27. PUNTI DI NON DERIVABILITÀ  una funzione f non è derivabile nei:   punti che non appartengono al dominio della f   punti di flesso a tangente verticale   punti angolosi   punti cuspidali  un punto di non derivabilità per f è un punto che NON appartiene al dom(f ′)

  28. PUNTO DI FLESSO Un punto P di ascissa x0 è detto punto di FLESSO se in esso la funzione cambia concavità : FLESSO ASCENDENTE: la concavità passa dal basso (-) all’alto (+) FLESSO DISCENDENTE: la concavità passa dall’alto (+) al basso (-)

  29. PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE x0∈ ∈ dom(f) è punto a tangente verticale per f se esistono derivata destra e sinistra di f in x0 entrambe infinite ' '    f ( x ) f ( x ) - 0 0 e di segno concorde - - y y f(x0) f(x0)   f  (x0)= +  f  (x0)=+  + x0 x0 O x O x in x0 c’è un flesso verticale discendente in x0 c’è un flesso verticale ascendente in un punto a tangenza verticale la funzione è continua ma non derivabile

  30. PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE f f '

  31. PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE f f '

  32. PUNTO ANGOLOSO '  f ( x ( ) L -  1 0 1 '  f x ) L 0 2 x0   dom(f) e in x0 f è continua  è PUNTO ANGOLOSO per f se L  L 2  almeno o  L L , uno 1 1 ' '   ( ) ( )  esisitono derivata destra e sinistra di f in x0 diverse  almeno una delle due è finita f x f x   - 0 0 le tangenti a destra e a sinistra formano un angolo in un punto angoloso la funzione è continua ma non derivabile

  33. DALLA DERIVABILITÀ ALLA CONTINUITÀ PUNTO ANGOLOSO ESEMPIO: considerando i rapporti incrementali destro e sinistro in x0=0       0 x se x     | ( ) | f x x     0 x se x           0 ( ) ( ) 0 0 f h f 0 h h '             ( ) lim   h 1 f x - 0 h h h   0 La funzione f=|x| è continua in x0=0 ma non è derivabile PUNTO ANGOLOSO           0 ( ) ( ) 0 0 f h f 0 h h '             ( ) lim   h 1   f x 0 h h h   0

  34. PUNTO ANGOLOSO f ( x ) f' ( x )

  35. PUNTO ANGOLOSO f ( x ) f' ( x )

  36. PUNTO ANGOLOSO f ( x ) f' ( x )

  37. CUSPIDE x0∈ ∈ dom(f) è punto a tangente verticale per f se esistono derivata destra e sinistra di f in x0 entrambe infinite '     f x ( ) - 0 '      f   x ( ) 0 e di segno discorde       ( ) | | ( ) 1 | | f x ( x f x ( x ' '   )     )    f 0 f 0     in un punto di cuspide la funzione è continua ma non derivabile

  38. CUSPIDE ESEMPIO: considerando i rapporti incrementali destro e sinistroin x0=0     0 x se x     ( ) | | f x x       0 x se x             h     ) 0 | | 0 | | | | h h 0 ( ( ) f h f 0 '             ( ) lim f 0 - h h     0 h           h     ) 0 | | 0 | | | | h h 0 ( ( ) f h f 0 '             ( ) lim   f 0 h h     0 h f

  39. CUSPIDE     0 x se x     ( ) | | f x x       0 x se x   f f '

  40. CALCOLO DELLE DERIVATE

  41. DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI Il procedinmento da seguire per determinare la derivata di una funzione 1. si scrive il rapporto incrementale 2. si semplifica o si manipola fino a portare il RI ad una forma “utile” si calcola il limite del rapporto incrementale per h   0 2.

  42. DERIVATA DI FUNZIONI COSTANTI f(x) = k       h ( ) ( ) 0 h f x h f x k k RI:       0 h  Il RI di una funzione costante è sempre nullo  il limite del RI per h  0 vale 0 la derivata prima di una funzione costante è sempre nulla '       ( ) ( ) 0 se f x k f x Graficamente una funzione costante ha per grafico una retta orizzontale   tutte le rette tangenti coincidono con questa retta orizzontale (coefficiente angolare m=0) Vale anche il viceversa: una funzione derivabile con derivata identicamente nulla su di un intervallo è necessariamente costante su quell’intervallo se f : R   R : f  (x)=0   x   I   R   f(x)=k  x I

  43. DERIVATA DI FUNZIONI COSTANTI f(x) = k f f '

  44. DERIVATA DI FUNZIONI LINEARI f(x) = mx + q     )     )   ]   ( ( ) [ ( [ ] f x h f x m x h q mx q hm       m RI: h h h  il RI di una funzione lineare non dipende né da h né da x : è sempre nullo  il limite del RI per h  0 vale m le funzioni lineari sono derivabili e '         ( ) ( ) se f x mx q f x m la loro derivata prima è pari al coefficiente angolare m Tutte le rette secanti e quindi anche le rette tangenti ad una qualsiasi retta nel piano coincidono con la retta stessa   devono avere lo stesso coefficiente angolare m

  45. DERIVATA DI FUNZIONI LINEARI f(x) = mx + q f f '

  46. DERIVATA DI FUNZIONI QUADRATICHE 2       ( ) f x ax bx c Una funzione quadratica può essere interpretata come la somma di una funzione potenza ax2 e di una funzione lineare bx+c 2 2 )   )   )             ( ( ( ax bx c ax bx c applicando la definizione di derivata si ottiene: 2   )         ( 2 ax bx c ax b

  47. DERIVATA DI FUNZIONI QUADRATICHE 2       OSSERVAZIONI ( ) f x ax bx c la derivata della funzione quadratica ha f le seguenti proprietà: 1. si annulla nel vertice   nel vertice ha tangente orizzontale f  (xV)=0 2. f <0 per x<xV f >0 per x>xV 3. f  è crescente sse il grafico di f è  dove f decresce  dove f cresce convesso f ' f  decresce sse il grafico di f è 2 concavo   )         ( 2 ax bx c ax b

  48. CALCOLO DI DERIVATE

  49. DERIVATA DELLA FUNZIONE POTENZA n ax   ( ) f x   n n 1  ( ax ) nax n n  ] 1   ] 1  h h n n   [( 1 ) [( 1 ) a ( x h ) h ax  n n 1    x h x lim  h lim  h ax ax lim  h  h 0 0 0 x       si applica il limite notevole    [( 1 t ) ] 1    lim n 1  nax  t t 0 ESEMPI    x  1    ) 1  3  2 (    2 2 2 2   x ( x ) x 3 3 3 3 3 x   2 x    ) 1   2 ( 2      1 2 x ( x ) 2 x 3

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