Geometría analítica

1. Geometría analítica Alejandra Calvete Londoño

2. Definición La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γῆ gē, ‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es la rama de las matemáticas que se dedica a definir los objetos y sus propiedades. El calculo (del latín calculus = piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular) consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. Se emplea para realizar estudios matemáticos de todo tipo de objetos u objetivos científicos. Una de los propósitos del calculo es ubicar espacialmente los objetos de estudio matemático en el plano matemático multidimensional. Y tomando en cuenta todo lo anterior la geometría analítica es la ciencia que relaciona los objetos y su utilidad práctica en el análisis matemático. A las figuras de análisis y estudio de esta rama de las matemáticas se les suele llamar secciones cónicas.

3. Las secciones cónicas

4. Temas 2) 2.1.Circunferencia 2.2.Elipse 1) Recta 3) 3.1.Hipérbola 3.2.Parábola

5. 1. La recta Definición: En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección. y = mx + b y = x recta que pasa por (0, 0) (y – y0) = m (x – x0) recta desplazada Ecuación canónica: ax + by + c = 0 Ecuación general: m = (y – y0) / (x – x0) m < 0 gráfica ascendente; m > 0 gráfica descendente Pendiente: Recta paralela al eje y, recta x = a, donde a es el corte en el eje x Recta paralela al eje x, recta y = b, donde b es el corte en el eje y

6. 1. La recta Rectas paralelas y perpendiculares Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, las rectas perpendiculares tiene pendiente de signo contrario. Recta paralela m = a, ascendiente Recta perpendicular m = -a, descendiente

8. 2.1. La circunferencia

9. 2.1. La circunferencia Circunferencia (x - h)² + (y - k)² = r² Con el eje trasladado

11. 2.2. La elipse Definición: es una curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.2 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia. ? −ℎ2 ?2 + ?−?2 ?−?2 ?2 ? −ℎ2 ?2 = 1 = 1 Ecuación canónica: + ?2 a > b Si el eje principal es horizontal a < b Si el eje principal es vertical Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 Ecuación general: c² = a² + b² (c, 0) y (-c, 0) Focos: Vértices: (a, 0) (-a, 0) (0, b) (0, -b) (a, 0) (-a, 0) (0, b) (0, -b)

12. 2.2. La elipse ? −?? ?? + ?−?? Elipse = 1 ??

14. 3.1. La parábola Definición: Es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. (x - h)² = 4p (y - k) Ecuación canónica: y = ?2 o x = ?2 Ax² + Bx + Cy + D = 0 Ecuación general: Vértice: (h, k) Foco: (h, k + p) Directriz: y = k - p Si p > 0 abre hacia arriba si p < 0 abre hacia abajo

15. 3.1. La parábola Parábola (x - h)² = 4p (y - k)

17. 3.2. La hipérbola Definición: es una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. ​En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. ? −ℎ2 ?2 ?−?2 ?2 ?−?2 ?2 ? −ℎ2 ?2 = 1 = 1 Ecuación canónica: − − a > b Si el eje principal es horizontal a < b Si el eje principal es vertical Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 B = 0 AC < 0 Ecuación general: a² = c² - b² (c, 0) y (-c, 0) Focos: (a, b) (-a, b) (a, -b) (-a, -b) Vértices:

18. 3.2. La hipérbola ? −?? ?? ?−?? ?? Hipérbola = 1 −

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