Diskretisierung der Wärmeleitgleichung

1. Diskretisierung der Wärmeleitgleichung • Die Wärmeleitgleichung lautet . • Für den Versuch sollen die folgenden Bedingungen gelten. • Die Diskretisierung erfolgt nach dem Differenzenverfahren mit • Lösungspunkten auf dem Maschenrand • Konstanten Maschenweiten • Ansatz für Lösung • Ansatz für Differentiale • Konsistenzbedingung Lösung explizit Lösung implizit

2. Beim expliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also . Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass die Temperaturen eines Zeitpunk- tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei- se: . E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B: Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müsste bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.) 1/2 Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem expliziten Verfahren

3. 2/2 Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das explizite Verfahren konvergiert aber nur für , bei größeren Werten zeigt sich, daß die Lösung instabil ist. Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt. Aufgabe: Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10. Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit. 2/2 Der Versuch wird durch Klick gestartet

4. 1/2 Lösung der Wärmeleitgleichung nach dem impliziten Verfahren Beim impliziten Verfahren erfolgt der Ansatz für die Diskretisierung am Zeitpunkt . Es gilt also für die Wegdiskretisierung. Die Wärmegleichung in diskreter Form lautet: Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass die Temperaturen eines Zeitpunk- tes auf einer Seite stehen: , in Matrixschreibwei- se: . E ist die Einheitsmatrix und B eine Tridiagonalmatrix. Berücksichtigt man die Vorgabe Konstanter Randtemperaturen so gilt für B: Die Anfangsbedingungen, d.h. im vorgegebenen Beispiel die Anfangstemper-aturen des Stabs müssen in den Startvektor eingehen.(Für sich mit der Zeit ändernde Randbedingungen müsste bei dieser Diskretisierung der Lösungs-vektor vor jedem Zeitschritt in den Werten, die den Rand betreffen - hier erste und letzte Komponente - modifiziert werden.)

5. Um das Gleichungssystem , zu lösen, kann die Einheits-matrix wegfallen und der jeweils neu berechnete Temperatur-vektor wird rekursiv als Ausgangsvektor für den folgenden Zeitschritt benützt. Das implizite Verfahren konvergiert für alle Werte von . Der Rechenaufwand beim impliziten Verfahren ist wegen der damit verbundenen Lösung größer als beim expliziten, dafür bleibt aber das Verfahren für alle Werte stabil. Bei diesem Versuch wird das Temperaturprofil eines idealisierten Stabs (ein- dimensional) bei fortlaufender Zeit visualisiert. Die Anfangstemperatur beträgt 20 Grad. Der Stabanfang wird konstant auf 100 Grad gehalten, das Stabende konstant auf 20 Grad. Für die Temperaturleitfähigkeit wird 1 angesetzt. Die Matrix B wird ebenfalls dargestellt und der erste berechnete Temperatur-vektor in schriftlicher Form gezeigt. Aufgabe: Bestimmen Sie die Zahl der Zeitschritte bis zur stationären Lösung für einen Stab der Länge 5 und 10. Untersuchung der Stabilität und der Genauigkeit. 2/2 Der Versuch wird durch Klick gestartet