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SIMULAB. Das virtuelle Physiklabor im Computer: Vom Experiment zur Simulation. Funktionen. Funktion:. Ableitung. Steigungsdreieck. Steigung: Ableitung. lokal: für jedes feste x. Infinitesimal und diskret. 2 Richtungen:. Grenzwertbildung. Differential Differenz. Diskretisierung
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SIMULAB Das virtuelle Physiklabor im Computer: Vom Experiment zur Simulation
Funktionen Funktion:
Ableitung Steigungsdreieck Steigung: Ableitung lokal: für jedes feste x
Infinitesimal und diskret 2 Richtungen: Grenzwertbildung Differential Differenz Diskretisierung d.h. erzeuge ein Gitter, betrachte f nur in Gitterpunkten Näherung:
Beispiel für Ableitung und Differenzen-Näherung Ableitung: Differenzenl: MATLAB: Diskretisiere mittels Differenzenverfahren (diff) die Funktion in (0,pi) für verschieden feine Gitter n=10,20,40,80 Studiere den Fehler im Punkt pi/2.
Differentialgleichung Lineare Gleichung: ax=b, a,b gegebene Zahlen, unbekannte Zahl Lösung: x=b/a, wenn a nicht 0 Statt b, x Zahlen nun Funktionen, statt a Zahl nun lineare Kombinationen aus Funktionen und diversen Ableitungen der unbekannten Funktion u(x) => Diverse Differentialgleichungen
Ein Beispiel a(x) u´´(x) = b(x) in Definitionsbereich I=(0,1) Lösung u(x) -> u(x) + mx + b ist auch Lösung. Deshalb nötig: Randbedingungen für eindeutige Lösung z.B.: Gebe u(0) und u(1) vor (Dirichlet-Bedingungen)
Beispiel u´´(x) = 0 in (0,1) Randbedingung: u(0)=0, u(1)=1 FEMLAB Lösung muß lineare Funktion sein, die durch die beiden Randwerte geht. Interessanter: u´´(x) = f(x), d.h. mit nicht-Null als rechte Seite. FEMLAB
Was passiert? • Diskretisierung: • Wahl eines Gitters • Aufstellen eines diskreten Gleichungssystems mit Werten von u an inneren Gitterpunkten als Unbekannte 2. Lösung des Gleichungssystems -> genäherte Werte von u an den Gitterpunkten sind bekannt 3. Lösung zwischen den Punkten durch gewichteten Mittelwert: Streckenzug (lineare Interpolation)
Beispiel u´´= -sin(x) in I=(0,pi), mit u(0)=u(pi)=0 Rückwärtsdifferenz Vorwärtsdifferenz Gleichungssystem, je 3 Punktwerte koppeln
Einfachster Fall Gitter mit nur drei Punkten (x0,x1,x2) = (0,pi/2,pi) RB Lösung zwischen den Punkten Streckenzug:
N Gitterpunkte: h=1/N Lineares Gleichungssystem, mit Hand aufwendig Lösung mit Computerprogrammen in MATLAB
Allgemeine Differentialgleichung 2. Ordnung: A(x) u´´(x) + b(x) u´(x) +c(x) u(x) = f(x) Diffusion Konvektion Reaktion Nun zweidimensional: Definitionsgebiet • Gebiet kann allgemeine Form haben • Randbedingungen auf der Randlinie
Aufgabe Baue eine 2D-Tasse und heize sie am Boden. Wie ist die Temperatur-Verteilung ?
Lineare Elastizität Auslenkung einer Feder/Balken unter Kraft: Kraft Auslenkung Hooksches Gesetz: Federkonstante Bruch plastischer Bereich, überdehnte Feder keine Rückkehr in die Ausgangslage ohne F linearer, elastischer Bereich Rückkehr in die Ausgangslage ohne F
Aufgabe Deformiere einen links eingespannten Balken der Breite 1 und Höhe 0.2 durch Anbringen der Kräfte 1e10, 3e10, 5e10, 7e10, 9e10. Messe die erzielte Auslenkung . Bestimme daraus die Federkonstante K.
Aufgabe Baue einen Kran aus Rechtecken, fixiere die Auslenkung am Boden und bringe eine Last an der Spitze an. Rechne mit uniformem Gitter und mit adaptivem Gitter und vergleiche die Ergebnisse Runde die einspringende Ecke ab und vergleiche die Ergebnisse.
Wettbewerb Baue ein hohles Viereck aus Balken und bringe eine Kraft nach unten an. Nun stehen 4 weitere Balken gleicher Dicke und Länge zur Verfügung. Wo müssen diese angebracht werden, um eine möglichst geringe Auslenkung zu bewerkstelligen ?
