第四章 有限长单位脉冲响应（ FIR ）滤波器的设计方法

1. 第四章 有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法 序言 §4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性 §4.2 窗口设计法（时间窗口法） §4.3 频率取样法 §4.5 IIR与FIR数字滤器的比较

2. 序言 FIR数字滤波器的差分方程描述 ① 对应的系统函数 因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示 ③ 比较①、③得：

3. FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理 的信号 产生相位失真，这一特点在 宽频带信 号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中 非常重要； （2 ）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是 满足； （5）无反馈运算，运算误差小。

4. 缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数为代价； （2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解 析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。

5. §4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性 4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即 式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为

6. FIR滤波器的DTFT为 式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:

7. 将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系 满足上式的条件是

8. 另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即 利用类似的关系，可以得出新的解答为

9. 偶对称 奇对称 图1 线性相位特性

10. 4.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性 分四种情况

11. 4.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性 分四种情况 1． 偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n)

13. 令 ， 则 令 则 由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。且H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不为零。(只要h ((N-1)/2)不为零。所以w从0 2范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）

14. 2．h(n)偶对称，N为偶数 h(n)=h(N-1-n) 令 ，则

15. 或写为： 由于 奇对称，所以 对 也为奇对称，且由于 时， 处必有一零点，因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。

16. 3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)

17. 令 ，得：

18. 所以 由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。 由于 时， 相当于H（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计、只能实现带通滤波器。

19. 4.h(n)奇对称，N为偶数 令

20. 由于 在ω=0,２π处为零，所以H(ω)在ω=0, 2π处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对ω=0,2π呈奇对称（不能实现低通、带阻滤波器）。

21. 四种线性相位FIR滤波器

22. 四种线性相位FIR DF特性，参考 P91 表4.1 第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。 第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。

23. 例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H (ω)。 解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2- cosω- cos2ω = 2- (cosω+cos2ω)

24. 小结： • 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 • 幅度特性取决于h(n)。 • 设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。

25. 4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性

26. 由该式可看出，若z=zi是H（z）的零点，则z=z-1i也一定是H（z）的零点。由于h(n)是实数，H（z）的零点还必须共轭或对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出 现，这种共轭对共有四种 可能的情况： ①既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭 对zi ，z*i ，1/zi ，1/z*i 图4.2(a) ②在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点， zi，z*i图4.2（b） ③不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点, zi，1/zi 图4.2（c） ④又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或zi=-1 图4.2(d),p92 我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数）， ， 即 是 的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根

28. 对于第三种FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因 所以z=1，z=-1都是H（z）的单根；对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H(0)=0，所以z=1是H（z）的单根。 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。

29. §4.2 窗口设计法（时域） 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数 去逼近 ，逼近方法有三种： 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响 通过付氏反变换获得

30. 但一般来说，理想频响 是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表达为h(n)和一个“窗函数”的乘积，即 h(n)=w(n) hd(n) 在这里窗口函数就可以是矩形脉冲函数RN（n），当然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。

31. 窗函数法设计流程：

32. 以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。 a. 对于给定的理想低通滤波器 ，计算 一.矩形窗口法 ：低通滤波器的延时 则 理想特性的hd(n)和Hd(ω)

34. 这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时 应为h(n)长度N的一半,即 b.计算 其中

35. c.计算 。 设 为窗口函数的频谱: 用幅度函数和相位函数来表示，则有 其线性相位部分 则是表示延时一半长度 ，

36. 对频响起作用的是它的幅度函数 矩形窗函数及其幅度函数（见P94图4.4）

37. 理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式 Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα 其中幅度函数为 两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有

38. 如果也以幅度函数 和相位函数来表示 H（ejω）, 则实际FIR滤波器的幅度函数H（ω）为 正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。

39. 矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）

40. 4个特殊频率点看卷积结果： 在[-ωc, ωc]内的积分面积 （1）ω=0时, H(0)等于 故H(0)近似为 因一般 在[-π, π]内的积分面积

41. （2）ω=ωc时，一半重叠， H(ωc)=0.5 H(0); （3） ω=ωc –2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； （ 4） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。

42. 窗口函数对理想特性的影响： ①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 ， 等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长） ②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于 WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状） ③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近 其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR（ω）的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。

43. 用矩形窗设计的c=p/2 FIR滤波器的幅度响应 0 N=15 N=31 -10 -21 -30 -40 0 0.25 0.5 0.75 1

44. 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有 许多种，但要满足以下两点要求： ①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

45. 几种常用的窗函数： 1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述 2. 汉宁窗（升余弦窗） 利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W（ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：

46. 三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为 。

48. 3. 汉明窗（改进的升余弦窗） 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。 4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗） 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为 。增加N可减少过渡带。 频谱的幅度函数为：

50. 四种窗函数的比较 窗口函数的频谱 N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|