Mantık

1. Mantık Doğru ve yanlış birbirinin zıttıdır. Cümleler doğru/yanlış olurlar.

2. Yanlış, Doğru, Cümleler Aksiyom: Yanlış, doğrunun zıttıdır. Cümle birşeylerin tasviridir. Cümle örnekleri: • 43 yaşındayım. • 20 tane kardeşim var. • Ben her zaman doğru söylerim. • Sizi kandırıyorum. Soru: hangi cümleler doğru, hangileri yanlış, hangileri için karar vermek zor?

3. Yanlış, Doğru, Cümleler • Doğru: 43 yaşındayım. • Yanlış: 20 tane kardeşim var. • Kararsız: Ben her zaman doğru söylerim. • Kararsız: Sizi kandırıyorum.

4. Yanlış, Doğru, Cümleler Kararsız: Sizi kandırıyorum Örneğin S = “Sizi kandırıyorum” cümlesi doğru olsun. Bu durumda S cümlesi yanlış olur. Böylece S hem doğru ve hem yanlış olmuş olur.

5. Önermeler Baş ağrısından kurtulmak için mutlaka yemek yemelisin. Başarılı olmak için mutlaka geceleri ders çalışmalısın. Tanım: Sonucu kesin olarak DOĞRU veya YANLIŞ olan cümlelere önerme denir.

6. Önermeler Önermeli mantık cümlelerin anlamından yoksun bir disiplindir. Örn. p = “Erdoğan başbakandır” q = “Başbakanlar listesinde Erdoğan bulunur” r = “Aslanlar uykuyu severler.” Bütün p ve q önermeleri q ve r önermelerinden daha fazla ilgili değillerdir. Semantik olarak p ve q aynıdır.

7. Bileşik Önermeler p, q, r, s, t, …. önermeleri atomik olsunlar. Mantıksal bağlaçlarla atomik önermelerin birbirine bağlanması sonucunda bileşik önermeler elde edilir.

8. Mantıksal Bağlaçlar

9. Bileşik Önermeler: Örnekler p = “Cruise gemisi sadece büyük nehirler gider.” q = “Cruise gemisi Hudson’da gider.” r = “Hudson bir büyük nehirdir.” r = “Hudson bir büyük nehir değildir.” pq = “Cruise gemisi sadece büyük nehirlerde gider ve Hudson’ da gider.” pq r = “Eğer cruise gemileri sadece büyük nehirlerde giderler ve Hudson’da giderse, Hudson bir büyük nehirdir.”

10. Değil Yanlış doğru olur ve doğru yanlış olur. Örnek: p =“23 = 15 +7” p önermesi yanlıştır, böylece p önermesi doğru olur. Java da, “!” aynı anlama sahiptir: !(23 == 15+7) boolean değere sahip ve doğru olur.

11. Değil – Doğruluk Tablosu Mantıksal operatörler (bağlaçlar) doğruluk tablosu ile tanımlanırlar. Değil için doğruluk tablosu:

12. Ve “p veq ” önermesi doğru olur ancak ve ancak her iki önerme (p, q) doğru olmalıdır.

13. Ve EG. p = “Erdoğan başbakandır.” q = “Zehragül başbakandır.” r = “Mantık bir matematik terimidir.” p ver önermeleri doğru, q yanlış olur. pq, pr, qr bileşik önermelerinden sadecepr doğru olur. Java: x==3 && x!=3 false olur.

14. VE – Doğruluk Tablosu

15. VEYA – Doğruluk Tablosu Aksine VEYA operatöründe operandlardan birinin doğru olması sonucun doğru olmasına yetiyor:

16. YA DA – Doğruluk Tablosu Not: Tek sayıda doğru söz konusu ise, sonuç doğru olur.

17. EĞER Tanım: p  q önermesi doğru olur eğer q önermesi doğru veya p önermesi yanlış olduğu durumdadır. Semantik: Anlamı q önermesi veya ifadesi p ifadesinden matematiksel olarak elde edilir.

18. EĞER – Doğruluk Tablosu

19. EĞER: niçin FF doğrudur Eğer q ifadesi p önermesinden elde edilebiliyorsa, geçerli matematiksel yöntemlerle p önermesinden q önermesi elde edilmelidir. Örnek: Eğer 0 = 1 ise 3 = 9. Soru: ifadesi matematiksel olarak doğru mudur?

20. EĞER: niçin FF doğrudur A: Matematiksel olarak EVET ve doğruluk tablosuna göre EVET. Burada matematiksel ispat: • 0 = 1 (kabul)

21. EĞER: niçin FF doğrudur A: Matematiksel olarak EVET ve doğruluk tablosuna göre EVET. Burada matematiksel ispat: • 0 = 1 (kabul) • 1 = 2 (her iki tarafa 1 eklemek)

22. EĞER: niçin FF doğrudur A: Matematiksel olarak EVET ve doğruluk tablosuna göre EVET. Burada matematiksel ispat: • 0 = 1 (kabul) • 1 = 2 (her iki tarafa 1 eklemek) • 3 = 6 (her iki tarafı 3 ile çarpmak)

23. EĞER: niçin FF doğrudur A: Matematiksel olarak EVET ve doğruluk tablosuna göre EVET. Burada matematiksel ispat: • 0 = 1 (kabul) • 1 = 2 (her iki tarafa 1 eklemek) • 3 = 6 (her iki tarafı 3 ile çarpmak) • 0 = 3 (1 nolu kuralda her iki tarafı 3 ile çarpmak)

24. EĞER: niçin FF doğrudur A: Matematiksel olarak EVET ve doğruluk tablosuna göre EVET. Burada matematiksel ispat: • 0 = 1 (kabul) • 1 = 2 (her iki tarafa 1 eklemek) • 3 = 6 (her iki tarafı 3 ile çarpmak) • 0 = 3 (1 nolu kuralda her iki tarafı 3 ile çarpmak) • 3 = 9 (3 ve 4 nolu eşitlikleri toplarsak)

25. Ancak ve Ancak – Doğruluk Tablosu p q doğru olması için, p veq aynı doğruluk değerine sahip olmalıdırlar. Diğer durumda, p q yanlış olur:

26. Eşitlikler

27. Eşitlikler

28. Dual • Mantıksal bir önermede VE ve VEYA operatörlerden hariç başka operatör yoksa, VEVEYA VEYAVE T0F0 F0T0

29. Örnekler

30. Örnekler

31. Örnekler

32. Modus Ponens

33. Modus Ponens • Hasan özel okulda okuyor p • Eğer Hasan özel okulda okuyorsa, iyi bir burs kazanmış olması lazımdır pq • Böylece Hasan burs kazanmıştır

34. Rule of DetachmentLaw of Syllogism Rule of Detachment Law of Syllogism

35. Çıkarım Kuralları

36. Çıkarım Kuralları