Présentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en mathématiques
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Présentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en mathématiques. Alfred Bartolucci. Obstacles ontologiques, épistémologique, didactique. Concepts fondamentaux. Objectif obstacle. Situations didactiques. Variables didactiques. Transposition didactique.

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Presentation Transcript


Pr sentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en math matiques

Présentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en mathématiques

Alfred Bartolucci


Il ne suffit pas de bien ma triser sa discipline pour l enseigner

Obstacles ontologiques, épistémologique, didactique

Concepts fondamentaux

Objectif obstacle

Situations didactiques

Variables didactiques

Transposition didactique

Conceptions, représentations, projet personnel

Contrat et coutume didactique, effet Topaze et Jourdain.

Savoirs de référence

Savoirs Savants

Pratiques sociales

Il ne suffit pas de bien maîtriser sa discipline pour l’enseigner

Savoirs sur les savoirs

Savoirs à enseigner

Savoirs enseignables

Savoirs effectivement enseignés

Savoirs produits

Savoirs effectifs des élèves


Transposition didactique

Transposition didactique

  • interpelle les rituels des activités coutumières

  • questionne l’origine et la valeur des savoirs

  • introduit une analyse de pertinence et d’effectivité

  • Le savoir de référence (nb, rapport, mesure)

  • Ce qui doit être enseigné (le prescrit) (pg et commentaires)

  • Ce que l’élève devrait maîtriser (attendu social)

  • Ce que je pense devoir enseigner (mes normes)

  • Ce que j’enseigne effectivement (mes pratiques)

  • Ce que l’élève « entend » (projet, écoute)

  • Ce que l’élève maîtriser réellement

    ?

LA PROPORTIONNALITE


Nombres relatifs

Savoirs et conceptions de l’apprenant

Nombres relatifs

  • la classe de situations problèmes qui, pour lui, donnent son sens au concept.

  • l'ensemble des signifiants qu'il est capable d'associer à ce concept : images mentales, expressions symboliques, ...

  • les outils dont il dispose pour traiter des situations de mise en œuvre du concept.

  • A côté de ces diverses conceptions (connaissances conceptuelles) l'élève dispose de représentations relatives à son rapport au savoir particulier.

Positifs et négatifs


Etat de savoir d un l ve sur le concept de proportionnalit

Etat de savoir d’un élève sur le concept de proportionnalité


Ne pas confondre la liste d objectifs

Ne pas confondre la liste d’objectifs

  • Additionner, soustraire, multiplier, diviser de tête.

  • Déterminer la distance réelle à partir de l’échelle d’une carte.

  • Déterminer, à partit de la mesure réelle et de la mesure sur le dessin, l’échelle du dessin.

  • Réaliser un dessin à l’échelle.

  • Reconnaître que deux grandeurs sont proportionnelles.

  • Calculer une quatrième proportionnelle.

  • Calculer un taux, un coefficient de proportionnalité.

  • Appliquer un taux, compléter une facture.

  • Calculer une valeur après / avant augmentation / diminution (proportionnalité).

  • Conversion d’unités (longueurs, aires, volumes, …)

  • Calculer une vitesse en m/s ou en km/h.

  • Déterminer la durée ou la distance d’un parcours.

  • Placer des nombres d’ordre de gradeur différent sur un axe.

  • Choisir la meilleur écriture pour conduire des calculs.

… et le réseau


R seau de savoir faire

Réseau de savoir-faire

Calcul pensé

Calcul de distance réelle

4ième proportionnelle

Dessiner à l’échelle

Exploiter la relation d=vt pour calculer, d, v ou t

Calculer l’échelle

Placer un point sur une graduation

Appliquer un taux

Convertir des unités

Calculer un taux

Reconnaître 2 grandeurs proportionnelles

Calculer une valeur après / avant augmentation / diminution

Les activités gagnent à porter sur les liens inter-conceptuels


Fondamentaux

Fondamentaux

Concepts

  • Comparer Calculer

  • Modéliser

  • Raisonner

Une trame notionnelle ou/et de principes de fond

Notions et principes en réseau autour desquels s’articule la mise en œuvre des contenus (notions) du programme.

Définie pour l’école obligatoire


Ne pas enseigner le formalisme mais apprendre formaliser

L’animal « canard »

Le mot « canard »

3 Canards et 2 canards rassemblés

3 + 2

x

2x + x

Abstraction croissante qui ne s’enseigne pas mais se construit par avancées successives

LE NOMBRE

Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser

Percevoir, exprimer, communiquer, formaliser la quantité

Les nombres définis par les problèmes qu’ils permettent de résoudre

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

1

P

R

OGRESS

I

V

I

TE

P

E

R

M

A

N

E

N

C

E


Vers l abstraction pour

Vers l’abstraction pour

Exprimer un écart ou un rapport

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

2

REEL

MODELE

MEZZO

S

I

M

U

L

T

A

N

É

I

T

E

Progressivité & permanence horizontale

a

a

b = a + c

C

b = 3/2xa

b

b

S C H E M A


Ne pas enseigner le formalisme mais a pprendre formaliser

On sait pour 3 combien pour 6 ?

On sait pour 2 et 3, combien pour 5 ?

Prendre une fraction de …

Reconnaître la proportionnalité.

Quatrième proportionnelle

Durées, aires, Thalès …

Fonctions linéaires, affines (proportionnalité des écarts).

Sens de la situation sans perception du « rapport »

Règles naturelles de proportion (discret)

Passage de a à b par la multiplication

Etendue des champs de pb et des règles

Linéarité (Passage au continu)

VERS LA PROPRTIONNALITE

Ne pas enseigner le formalismemais apprendre à formaliser

Multiplier les expériences et les activités

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

3

P

R

OGRESS

I

V

I

TE

P

E

R

M

A

N

E

N

C

E

M

E

Z

Z

O


Ne pas enseigner le formalisme mais apprendre formaliser1

Des objets de diverses formes.

Les formes géométriques.

Des étiquettes : carré, …

Un dessin de carré, …

Des « caractères » du carré

Des propriétés attributs du carré

Géométrie du toucher

Abstraction croissante qui ne s’enseigne pas …

Géométrie de l’observé

…Mais se construit par avancées successives

Géométrie du raisonné

LA GEOMETRIE

Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser

Toucher, observer, raisonner

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

4

P

R

OGRESS

I

V

I

TE

P

E

R

M

A

N

E

N

C

E


Repr senter en g om trie la forme objet dessin figure

Représenter en Géométrie : La Formeobjet – dessin – figure

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

5

Objet (à toucher)

A

B

S

T

R

A

C

T

I

ON

Forme à percevoir

P

R

OGRESS

I

V

I

TE

P

E

R

M

A

N

E

N

C

E

M

E

Z

Z

O

Dessin (gribouillis puis précis à l’oeil)

Construction géométrique :

Instruments et propriétés explicites

Figure géométrique : signifiante par codage


Ne pas enseigner le formalisme mais apprendre formaliser2

Le périmètre est la grandeur de la ficelle qui fait le tour

Le périmètre se calcule en ajoutant 2 longueurs et 2 largeurs

Traduction raccourcie Périmètre = 2 longueurs et 2 largeurs

Traduction symbolique avec initiales P = 2 ( L + l)

Expression symbolique

y = 2x + 2z

Observations de faits

Formulations verbale

Traductions avec recherche d’économie : formules avec symboles de calculs et lettres initiales des noms

Traduction symbolique

lettre  indéterminée

Traduire des relations numériques : LA FORMULE

Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser

Traduire, transformer, traiter, interpréter …

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

6

A

B

S

T

R

A

C

T

I

ON

P

R

OGRESS

I

V

I

TE

P

E

R

M

A

N

E

N

C

E


Ne pas enseigner le formalisme mais apprendre formaliser3

Dans une ferme il y a des chèvres et des poules. Il y a 34 pattes et 10 têtes. Combien ?

Si les chèvres se mettent sur 2 pattes et les poules sur une patte on a moitié moins de pattes et autant de têtes. 17 pattes soit 7 pattes de plus que de têtes. Il y a 7 chèvres.

x + y = 10 et

4x + 2y =34

Situation

Difficulté à trouver une démarche de calculs

Exploration par essais erreurs

Schématisations figuratives vers symbolique

Traduction symbolique

Traduction conforme au modèle algébrique

La lettre  inconnue

L’EQUATION : existe-t-il des valeurs pour que ?

Ne pas enseigner le formalismemaisApprendre à formaliser

La technique doit être au service du sens

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

7

A

B

S

T

R

A

C

T

I

ON

P

R

OGRESS

I

V

I

TE

P

E

R

M

A

N

E

N

C

E

M

E

Z

Z

O


Obstacle c ur des apprentissages

Obstacle :cœur des apprentissages

Un obstacle se caractérise par cinq paramètres :

  • C'est une connaissance et non une absence de connaissance.

  • Celle-ci permet de produire des réponses adaptées à certains problèmes ou classes de problèmes.

  • Elle conduit à des réponses erronées dans d'autres situations.

  • Très stable, elle présente une forte résistance à toute transformation et se manifeste de manière récurrente contre toute attente.

  • La modification de cette connaissance est une nouvelle connaissance.


Probl mes pour objectifs obstacles

Problèmes pour objectifs obstacles

  • Tracer un rectangle de périmètre 14. Est-il possible de tracer un rectangle ayant un périmètre plus petit que 14 et une aire plus grande que celle du rectangle tracé..

  • 3x4 = 12 Donner 10 autres produits (multiplications) égaux à 12.

  • On se sert de la suite des lettres de l'alphabet comme « file repère ». On a compté successivement G puis H objets. Combien de temps vous faut-il avec « cette file repère » pour énoncer le nombre total d'objets.

  • Comment effectuer la division de 145 par 12 en utilisant les touches + ou – ou x de la calculette mais sans utiliser la touche :

  • Quel est le nombre dont la division par 0,3 donne 0,4 ?


Comprendre le comportement d un individu face un probl me

Comprendre le comportement d'un individu face à un problème

  • Première position: En observant le comportement d’un individu face au problème, on est renseigné sur les connaissances de l'individu.

  • Deuxième position : Certaines réactions d'individu apparemment aberrantes du point de vue de la connaissance ne le sont plus dés qu'on cherche à comprendre quelle idée il se fait de la situation dans laquelle il se trouve.

  • Les comportements de toute personne sont déterminés par l'interaction entre la situation vécue et ses connaissances

  • Contrat didactique : Ensemble des règles en général implicites qui déterminent les rôles respectifs de l'élève et du mâture dans la classe relativement au savoir.

  • Repérer les règles du contrat c'est arriver à donner du comportement de l'élève des explications rationnelles et à intervenir alors qu'à priori ce comportement pourrait paraître irrationnel.


Chacun s engage dans un probl me sa fa on

Chacun s’engage dans un problème à sa façon …

Vous devez aller puiser de l’eau à la rivière pour en verser 5 litres dans un évier.

Vous disposez d’un seau de 7 litres et d’un seau de 3 litres. Comment procédez-vous ?

(vous pouvez faire plusieurs voyages - ni l’évier ni les seaux ne sont gradués)


Pr sentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en math matiques

Je remplis le pot de 7 litres

Avec le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 4 litres

Avec ce qui reste dans le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 1 litre

Je vide le pot de 3 litres

Avec le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 4 litres

Je remplis à nouveau le pot de 7 litres

Je verse les 4 litres qui restent dans l’évier : ça fait 5 litres

Je verse le litre qui reste dans l’évier

Une procédure est toujours simple pour celui qui la comprise mais pour la comprendre il faut bien plus que la connaître et savoir la réciter ! Il faut « l’évoquer », se la représenter, s’en donner un schème mental personnel intégrant un ancrage notionnel,…


Situation didactique

Il n’est pas suffisant d’écouter, de copier ni même d’être actif pour comprendre. On peut avoir été actif sans avoir appris !

Situation didactique


Clarifications n cessaires en lien avec les mises en situations

Clarifications nécessaires en lien avec les mises en situations.

  • Les concepts mathématiques n’ont de sens qu’en situations complexes. A l’origine ils ont pris progressivement forme dans des contextes « HORS » mathématiques.

  • Une approche métissée « découverte du monde », « repères culturels » et « abstraction/formalisation » est requise.

  • On apprend triplement découverte du monde, enracinement de sens et enrichissement notionnel.


Pr sentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en math matiques

  • Avez vous déjà vu un maître nageur dans la piscine ?

  • La réponse à cette question nous donne des réponses à d’autres questions …


Pr sentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en math matiques

Conséquence de l’hypothèse constructiviste sur les Apprentissages mathématiques : Entrée par les situations complexesimpliquant divers savoirs et une variété de stratégies

Progression spiralée des apprentissages

?


Pr sentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en math matiques

SPIRALEE

Décloisonné & croisé

  • Proportionnalité.

  • Organisation et gestion de données.

  • Nombres entiers et décimaux.

  • Division, quotient.

  • Figures planes, médiatrice, bissectrice.

  • Parallélépipède rectangle, patron, représentation en perspective.

  • Symétrie axiale

  • Longueurs, mesures, durées.

  • Angles.

  • Aires : mesures, comparaison et calculs.

  • Volumes.

  • Initiation au raisonnement déductif.

12

1

5

11

8

10

3

9

2

4

6

7

PRINCIPE

Approche en interaction des savoirs et le même savoir est abordé en plusieurs fois

Illustration

Programme de sixième


Progressions spiral es d cloisonn e crois e

Progressions spiraléesDécloisonnée croisée

  • Chaque chapitre n’est jamais traité d'un seul « bloc »… on revient à plusieurs reprises en des circonstances et avec des « voisinages notionnels » différents

  • Tout est fait pour traiter de l’ancien au travers du nouveau, l’idée simpliste de révision est démontée

  • On organise des opportunités pour croiser des savoirs de registres voire de disciplines différentes (réseaux de concepts, dialectique Outil - Objet).


Pr sentation de quelques concepts didactiques en situation pour apprendre en math matiques

Schéma d’organisation d’une séquence

Première confrontation

À la tâche complexe

Situations d’entraînement

Séances centrées sur des objectifs précis en réponse à des besoins identifiés

Positionnement compétences d’année

Zone des apprentissages complexes

Zone des apprentissages ponctuels


Principes d action cons quences

Principes d’action conséquences

  • Rapport à la DIFFICULTE.

  • Conceptions de ce qu’est APPRENDRE.

  • Conceptions de ce qu’est REUSSIR.

  • Promotion du sentiment de COMPETENCE.

  • Conceptions de ce qu’est EVALUER.

ENSEIGNANT

ELEVE


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