RICHIAMI DI INSIEMISTICA

1. RICHIAMI DI INSIEMISTICA La teoria delle probabilità fa uso di un linguaggio e di un formalismo che rimandano alla teoria degli insiemi. Occorrono quindi alcuni semplici cenni di insiemistica per poter affrontare in modo più razionale la teoria e il calcolo della probabilità. Si può concepire un insieme come una collezione di una qualsiasi specie di elementi: una popolazione statistica è un insieme di unità statistiche, una struttura ospedaliera è un insieme di reparti di degenza, una sindrome è un insieme di sintomi. Un insieme è ben definito quando appare chiaro se un elemento appartiene o meno all’insieme stesso e a seconda del loro numero (finito o infinito) si parla di insieme finito o di insieme infinito. Gli insiemi si indicano, di solito, con lettere maiuscole (A, B, C, …) e gli elementi con lettere minuscole (a, b, c, …); l’individuazione degli elementi di un insieme viene segnalata inserendoli tra parentesi graffe (per esempio, A = {2, 4, 6, 8 …} è la notazione per indicare l’insieme dei numeri naturali pari). Un insieme può essere costituito da un solo elemento, ma anche esserne privo, nel qual caso si definisce insieme vuoto e lo si indica con il simbolo Ø. Per indicare che l’elemento a appartiene a un insieme A si scrive a  A, il contrario a  A. Quando non è possibile, o non è conveniente, elencare tutti gli elementi appartenenti a un insieme, si può fare riferimento a espressioni verbali o matematiche, comprendenti un elemento variabile x, del tipo {x|x = …} che si legge “l’insieme di tutti gli elementi x tali che x è …”. Scrivendo A = {x|x ≥ 6}, che rappresenta l’insieme di tutti i numeri uguali o maggiori di 6, oppure A = {x|x = composti organici del carbonio} viene resa possibile l’indicazione di una serie infinita di elementi altrimenti non rappresentabile.

2. Due insiemi sono uguali se ogni elemento dell’uno è anche elemento dell’altro, indipendentemente dall’ordine, dal numero di volte che compaiono o dal fatto che siano indicati in modo diverso: {a, b} = {b, a}, {1, 2, 3, 1, 3} = {1, 2, 3} e{2 · 2, 1+2, 4-3} = {4, 3, 1}. L’uguaglianza tra insiemi gode delle proprietà riflessiva (A = A), simmetrica (se A = B, allora B = A) e transitiva (se A = B e B = C, allora A = C). Gli insiemi possono essere rappresentati graficamente mediante diagrammi di Venn costituiti da linee chiuse non intrecciate quali cerchi, rettangoli o simili (Figura 1). La trasposizione grafica assume anche l’importante ruolo di strumento per favorire i calcoli nelle operazioni tra insiemi. Quando tutti gli elementi di un insieme B fanno anche parte degli elementi di A, si definisce B sottoinsieme di A: si scrive B  A e si legge “B è contenuto in A”; ogni insieme è sottoinsieme di un insieme più generale detto universo o spazio campione Ω (Figura 2).

3. Operazioni tra insiemi Insieme unione Con due insiemi A e B (o più insiemi) si può formare un nuovo insieme C, l’insieme unione: C = A  B = {x|x  A oppure x  B} che si legge “C è uguale ad ‘A unito a B’ (o anche ‘A unione B’)” dove “” è il simbolo di unione e “oppure”va inteso come “e/o” in quanto gli elementidell’unione possono appartenere anche a uno solo degli insiemi di partenza. All’insieme unione “ipertesi e iperglicemici” appartengono tutti coloro che risultano solo ipertesi o solo iperglicemici oppure con entrambe le alterazioni. Vedremo che l’insieme unione è assimilabile nelle probabilità a una addizione. Insieme intersezione Quando due (o più) insiemi presentano una parte di elementi in comune, esiste una sovrapposizione insieme intersezione rappresentato da: I = A  B = {x|x  A e x  B} che si legge “I è uguale ad ‘A intersecato con B’ (o anche ‘A intersezione B’)” con “” come segno di intersezione e gli elementi dell’intersezione debbono appartenere a entrambi gli insiemi di partenza. Anche un insieme vuoto può essere una intersezione, A  B = Ø, nel qual caso i due insiemi non presentano elementi in comune. L’intersezione tra “ipertesi e iperglicemici” è l’insieme dei soggetti che presentano contemporaneamente le due alterazioni.

4. È importante notare che nel caso dell’intersezione si devono verificare entrambe le situazioni, mentre nel caso dell’unione si possono verificare entrambe, ma ne è sufficiente una soltanto (Figura 3). L’insieme intersezione, per le probabilità, trova corrispondenza nella moltiplicazione. Insieme differenza Considerando due insiemi A e B, tutti gli elementi di A che non appartengono a B rappresentano l’insiemedifferenza: D = A\B = {x|x  A e x B} che si legge “D è uguale ad ‘A meno B’” con “\” come segno di differenza; in particolare, se B è un sottoinsieme di A, B A, la differenza A\B si definisce l’insieme complementare di B relativo ad A e si esprime come BA. Se l’insieme di riferimento è l’universo Ω, allora la differenza Ω\A si definisce insieme complementare di A: = \A = {x|x e x A} da cui deriva che l’unione di A e del suo complemento A= rappresenta l’insieme universo, mentre la loro intersezione è vuota (Figura 4).

5. Prodotto di insiemi Si dispongano gli n elementi di un insieme A = {a1, a2, …, an} su una linea orizzontale e gli m elementi di un insieme B = {b1, b2, …, bm} su una linea. Tracciando linee parallele attraverso ciascun elemento, otteniamo un reticolo con n · m incroci (intersezioni) che rappresentano tutte le possibili associazione tra gli elementi di un insieme e quelli dell’altro (a1b1, a1b2, …, a1 bm, a2 b1, …, a2bm, …, an bm). Queste coppie rappresentano gli elementi di un nuovo insieme definito prodotto di insiemi o insieme prodotto o prodotto cartesiano: A B = {(a, b)|a  A e b B} Gli esempi più semplici di prodotto di insiemi sono infatti il diagramma cartesiano con le coppie ordinate di valori e la tavola pitagorica. L’organizzazione di misure in una tabella a due entrate costituisce un’applicazione descrittiva di un prodotto di insiemi: ogni casella deriva dall’incrocio tra le modalità con cui si presentano due caratteri.