MATEMATYKA

1. MATEMATYKA Wpisz swoje imię

2. „Pewnego razu znany matematyk polskiego pochodzenia Mark Kac wygłaszał referat w Kalifornijskim Instytucie Technologii. Wśród • słuchaczy był sławny fizyk, Richard Feynman, który lubił podkpiwać z przesadnej dbałości o ścisłość matematyków. • Gdyby matematyka nie istniała - rzekł w pewnej chwili do Kaca – to świat cofnąłby się tylko o tydzień. • - Ależ tak - bez namysłu odpowiedział Kac - właśnie o ten tydzień, w którym Pan Bóg stworzył świat.” • ANEGDOTA MATEMATYCZNA

3. Literatura • Matołka M., Wojcieszyn B., Matematyka z elementami zastosowań w ekonomii, Wyd. Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań, 2000; • 2. Matołka M., Matematyka dla ekonomistów, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań,2003; • 3. Włodarski W., Krysicki L.: Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2006; • Ebook:http://rapidshare.com/files/141812798/Krysicki.Wlodarski.1.Analiza.Matematyczna.W.Zadaniach.rar • 4. Piszczała J., Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych, Wyd. Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań, 2000.

4. Definicja 1. Macierzą m×n nazywa się prostokątną tablicę liczb: Jeśli m=n, to macierz nazywa się macierzą kwadratową.

5. Macierz zerowa – macierz, której wszystkie elementy równe są zero.

6. Macierz trójkątna dolna główna przekątna

7. Macierz trójkątna górna

8. Macierz diagonalna

9. Macierz jednostkowa

10. Macierz symetryczna – macierz kwadratowa, w której Przykład:

11. Działania na macierzach Transponowanie macierzy – operacja zamiany wierszy na kolumny z zachowaniem kolejności. Oznaczenie:

12. Macierze równe Dwie macierze i nazywa się równymi, jeśli i=1,2,…,m, j=1,2,…,n

13. Dodawanie macierzy Sumą macierz A i B nazywa się macierz C, której elementy spełniają zależność:

14. Iloczyn liczby przez macierz Iloczynem liczby k przez macierz A nazywa się macierz C, której elementy są postaci:

15. Iloczyn macierzy Iloczynem (A·B)macierz A i B nazywa się macierz C, której elementy spełniają zależność:

16. Przykład:

17. Własności działań na macierzach • A+B=B+A • (A+B)+C=A+(B+C) • A+0=A • A-A=0 • k(A+B)=kA+kB • (A·B)·C=A·(B·C) • A·(B+C)=A·B+A·C • (A+B)·C=A·C+B·C • A·0=0·A=0 • A·I=I·A=A

18. Wyznacznik macierzy Jeżeli w permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w porządku naturalnym, to permutacja zawiera inwersję. Wyznacznikiem macierzy Anxn nazywa się wyrażenie gdzie k oznacza liczbę inwersji permutacji liczb 1,2,…n, a jest permutacją liczb 1,2,…,n

19. Wyznacznik macierzy Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest równy 0 nazywa się macierzą osobliwą. Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od 0 nazywa się macierzą nieosobliwą.

20. Wyznaczniki macierzy

21. Wyznaczniki macierzy

22. Schemat Sarrusa

23. Minorem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywa się wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A po usunięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywa się iloczyn:

24. Twierdzenie Laplace’a Wyznacznik macierzy równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (lub kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego.

25. Przykład: detA=-3(-37)+2(-27)-8(-14)=169

26. Własności wyznaczników • Jeżeli któryś wiersz (lub kolumna) składa się z samych zer to wyznacznik takiej macierzy wynosi 0. • Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej. • Zamiana dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami powoduje zmianę znaku wyznacznika.

27. Własności wyznaczników • Wyznacznik o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy 0. • Wspólny czynnik danego wiersz (kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika. • Wyznacznik o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) wynosi 0.

28. Własności wyznaczników • Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiadające elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę. • Wyznacznik macierzy dolno- (górno-) trójkątnej równy jest iloczynowi elementów na przekątnej.

29. Twierdzenie Couchy’ego Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy.

30. Macierz odwrotna Macierz kwadratowąstopnia n spełniającą warunek: nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A. Jeśli macierz odwrotna istnieje to jest ona wyznaczona jednoznacznie.

31. Przykład Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:

32. Macierz dołączona Transponowana macierz dopełnień algebraicznych:

33. Metody wyznaczania macierzy odwrotnej • Metoda wyznacznikowa Tw. Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz odwrotna, która wynosi

34. Przykład Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:

35. Jeżeli macierz A powstaje z macierzy B przez zastosowanie operacji elementarnych to macierze A i B są macierzami równoważnymi. Tw. Jeżeli macierz blokowa C=[I|D] powstała w wyniku stosowanie operacji elementarnych na wierszach macierzy B=[A|I], to .

36. Własności • Jeżeli macierze A i B są macierzami nieosobliwymi tego samego stopnia wówczas • Wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy

37. Własności • Macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest identyczna z daną macierzą • Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy transponowanej

38. RZĄD MACIERZY Niech dane będą wektory: . . .

39. Def.: Kombinacją liniową wektorów nazywa się wektor

40. Def.: Wektory nazywa się liniowo zależnymi, jeśli istnieją takie liczby nie wszystkie równe zero, dla których zachodzi równość: Def.: Wektory, które nie są liniowo zależnymi nazywa się wektorami liniowo niezależnymi.

41. Przykład: Zbadać liniową zależność wektorów.

42. Przykład: Zbadać liniową zależność wektorów.

43. Def.: Rzędem macierzy A (ozn. rzA) nazywa się maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn (wierszy) tej macierzy. Przykład 1: Przykład 2:

44. Twierdzenie: • Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, gdy: • Kolumny (wiersze) pomnoży się przez liczby różne od 0; • Przestawi się kolumny (wiersze) miejscami; • Do jednej kolumny (wiersza) doda się kombinację liniową innych kolumn (wierszy).

45. Przykład: Znaleźć rząd macierzy

46. Metody wyznaczania rzędu macierzy • TW. Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwej podmacierzy. • Wniosek: rzA≤min(m,n)

47. Przykład Podmacierze:

48. Def.: Podmacierzą główną macierzy A st. nnazywa się tę samą macierz A oraz każdą inną macierz stopnia mniejszego niż n, która powstała z macierzy A przez usunięcia wiersza i kolumny i tym samym numerze. Przykład: Podmacierze główne: A

49. Twierdzenie: Rząd macierzy symetrycznej równy jest najwyższemu ze stopni podmacierzy nieosobliwych. Przykład 1: Przykład 2:

50. Układ równań liniowych Def.Układem m równań liniowych o n niewiadomych nazywa się układ postaci