Chapitre 5 trigonom trie angles inscrits angles au centre
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CHAPITRE 5  Trigonométrie- Angles inscrits, Angles au centre. Objectifs:. - Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu et les deux longueurs d’un triangle rectangle.

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Chapitre 5 trigonom trie angles inscrits angles au centre

CHAPITRE 5 Trigonométrie- Angles inscrits, Angles au centre


Objectifs
Objectifs:

-Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu et les deux longueurs d’un triangle rectangle.

- Utiliser la calculatrice pour déterminer un angle aigu ou le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu.

- Calculer, dans un triangle rectangle, un angle ou la longueur d’un côté en utilisant la trigonométrie

  • Calculer un angle en utilisant la propriété de l’angle

  • inscrit et de l’angle au centre.

- Construire un polygone régulier.


Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure).

On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120)

les premières tables trigonométriques.

Elles font correspondre l’angle au centre et

la longueur de la corde interceptée dans le cercle.

Le grec Claude Ptolémée (85 ; 165) poursuit dans

l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une

meilleure précision et introduit les premières

formules de trigonométrie.

Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom

Johann Müller développe la trigonométrie comme une branche

indépendante des mathématiques. Il serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.


Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir

nommer les côtés d’un triangle rectangle.

Ici on appelle  la mesure de l ’angle BÂC dans le triangle rectangle en C.

B

Hypoténuse

(c’est le plus grand des côtés, c’est aussi le côté opposé à l’angle droit.)

Côté opposé à 

A

C

Côté adjacent à 


II. (mesure). Trois formules trigonométriques

Côté adjacent à 

Hypoténuse

Côté opposé à 

Hypoténuse

Côté adjacent à 

Côté opposé à 


Remarques : (mesure).

- sin se lit « sinus », cos « cosinus » et tan « tangente »

-Pour s’aider à retenir ces trois formules, on peut retenir le « célèbre » mot

Soh Cah Toa


A (mesure).

Hyp.

41°

C

Côt. Opp.

III. Applications

  • Calcul de la longueur d’un côté connaissant

  • un angle et un autre côté

Calculer la longueur de AB.

Méthode:

Côt. Adj.

?

1. On nomme les côtés du triangle.

23 cm

2. On repère le côté que l’on

cherche et le côté que l’on connaît,

en les soulignant par exemple.

B

3. On choisit la formule dans

laquelle il y a les deux

côtés soulignés.

Comme ABC est rectangle en C,

on a:


A (mesure).

Hyp.

41°

C

Côt. Opp.

Calculer la longueur de AB

Méthode:

?

1. On nomme les côtés du triangle

Côt. Adj.

2. On repère le côté que l’on

cherche et le côté que l’on connaît,

en les soulignant par exemple.

23 cm

B

3. On choisit la formule dans

laquelle il y a les deux

côtés soulignés.

Comme ABC est rectangle en C,

on a:

4. On remplace dans la formule

tout ce que l’on connaît.

5. On fait un produit en croix

et on calcule AB


Hyp. (mesure).

1. On nomme les côtés du triangle.

Côt. Opp.

2) Calcul de la mesure d’un angle connaissant la longueur connaissant la longueur de deux côtés

A

Calculer l’angle BÂC.

?

Méthode:

26 cm

2. On repère les deux côtés que

l’on connaît, en les soulignant.

Côt. Adj.

10 cm

B

C

3. On choisit la formule dans laquelle

il y a les deux côtés soulignés.

Comme ABC est rectangle en B, on a:


Hyp. (mesure).

1. On nomme les côtés du triangle.

Côt. Opp.

Calculer l’angle BÂC.

A

Méthode:

?

26 cm

2. On repère les deux côtés que

l’on connaît, en les soulignant.

Côt. Adj.

10 cm

3. On choisit la formule dans laquelle

il y a les deux côtés soulignés.

B

C

Comme ABC est rectangle en B, on a:

4. On remplace dans la formule

tout ce que l’on connaît.

5. Avec la calculette, on tape:

tan -1 (10/26)=


IV. (mesure). Angles inscrits- angles au centre 

1) Introduction et définitions

est un

angle au centre.

, et

sont des angles inscrits.

C’est un angle

dont le sommet

est le centre

du cercle.

C’est un angle dont

le sommet est

sur le cercle.


2) (mesure). Propriétés

En mesurant les angles, on constate que :

mesurent 46°

et mesure 92°

Propriété 1

La mesure d’un angle au centre est le double de

celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.

Propriété 2

Deux angles inscrits qui interceptent

le même arc ont la même mesure.


V. (mesure). Polygones réguliers

72°

120°

90°

O

O

O

45°

60°

O

O

Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle

dont tous les côtés ont la même longueur.

Triangle

équilatéral

Carré

Pentagone

régulier

Hexagone

régulier

Octogone

régulier

Remarques : - Il existe toujours une rotation laissant invariant un polygone régulier.

- L’angle au centre d’un polygone régulier se calcule avec la formule suivante

360°

angle au centre =

nb côtés polygone


Exemple: (mesure). Construction d'un décagone régulier inscrit dans un cercle à la règle, au compas et au rapporteur.

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

ABCDEFGHIJ est un décagone

régulier inscrit dans le cercle

de centre O


ad