SKIEROWANE
Download
1 / 46

SKIEROWANE - PowerPoint PPT Presentation


  • 108 Views
  • Uploaded on

SKIEROWANE. Marek Bil Krzysztof Fitrzyk Krzysztof Godek. 2. 3. 1. 5. 4. DEFINICJA:. Grafem skierowanym nazywamy strukturę G = (V, E) złożoną z niepustego zbioru wierzchołków V, zwanych także węzłami, oraz zbioru skierowanych krawędzi E, zwanych inaczej łukami.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' SKIEROWANE' - washi


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

SKIEROWANE

Marek Bil

Krzysztof Fitrzyk

Krzysztof Godek


2

3

1

5

4


DEFINICJA:

Grafem skierowanym nazywamy strukturę G = (V, E) złożoną z niepustego zbioru wierzchołków V,

zwanych także węzłami,

oraz zbioru skierowanych krawędzi E,

zwanych inaczej łukami.

Graf skierowany nazywany jest DIGRAFEM


Dwa wierzchołki grafu nazywamy wierzchołkami sąsiednimi, jeśli istnieje łącząca je krawędź. Mówimy wówczas, że wierzchołki te są incydentne z tą krawędzią, krawędź z tymi wierzchołkami.

2

2

3

1

1

Podobnie dwie krawędzie grafu są sąsiednie, jeśli mają przynajmniej jeden wspólny wierzchołek.




2

3

1

5

4


2

3

1

5

4


2

3

1

5

4


Ścieżka to taka droga w której wierzchołki są różne

1-2-3-4-5

2

3

1

Droga to ciąg krawędzi wzajemnie incydentnych

1-2-3-4-5-1-4

5

4


Digraf symetryczny.

2

2

1

1

Digraf asymetryczny


2

3

Cykl to taka droga w której wierzchołek „startowy” i „końcowy” to ten sam wierzchołek

1-2-3-4-5-1

1

5

4


2

3

Graf acykliczny

1

5

4


CYKL EULERA

R

2

3

1

5

4

1 – 2 – 3 – 1 – 4 – 5 – 1


CYKL HAMILTONA

R

2

3

1

5

4

1 – 3 – 2 – 4 – 5 – 1


Co można powiedzieć o tym grafie?

2

1) Jest acykliczny

1

2) Posiada dwa wierzchołki i jedną krawędź skierowaną, wierzchołki są incydentne (sąsiadujące)

3) Wierzchołek 1 to źródło wierzchołek 2 to ujście

Każdy skończony graf acykliczny posiada co najmniej jedno źródło i jedno ujście


Co można powiedzieć o tym grafie?

3

1

4

5

2

1) Jest acykliczny

2) Posiada pięć wierzchołków i pięć krawędzi skierowanych

3) Wierzchołki 3 i 5 to źródła wierzchołki 4 i 1 to ujścia


Co można powiedzieć o tym grafie?

1

1) Jest cykliczny, „eulerowski” i „hamiltonowski”

2) Posiada jeden wierzchołek i jedną krawędź skierowaną

3) Źródło jest jednocześnie ujściem

Graf z jedną krawędzią skierowaną na jeden i ten sam wierzchołek nazywamy pętlą


Macierz sąsiedztw


1

4

5

2

3

6


3

1

4

1

5

3

4

6

1

2

3

1

2

3

6



http://optlab-server.sce.carleton.ca/POAnimations2007/DijkstrasAlgo.htmlhttp://optlab-server.sce.carleton.ca/POAnimations2007/DijkstrasAlgo.html


Dla każdego wierzchołka v ustawiamy d(v) ← ¥. Dla wybranego wierzchołka vo ustawiamy d(vo)← 0. Ustawiamy również p(v) ← 0.


W zbiorze Q szukamy wierzchołka o najmniejszym d. Jest to wierzchołek 1 (czyli nasze vo). Wierzchołek ten przenosimy do zbioru S. Następnie sprawdzamy wartość d wszystkich sąsiadów przeniesionego wierzchołka (2 i 4). Jeśli ich d jest większe od kosztu d(1) + waga krawędzi do sprawdzanego wierzchołka, to modyfikujemy odpowiednio d i p dla tych wierzchołków.


W zbiorze Q szukamy wierzchołka o najmniejszym d. Są dwa takie wierzchołki: 2 i 4 o d=3. Wybieramy arbitralnie wierzchołek nr 2 i przenosimy go do zbioru S. Wierzchołek 2 posiada tylko jednego sąsiada - 3. Modyfikujemy odpowiednio d[3] i p[3].


W zbiorze Q szukamy wierzchołka o najmniejszym d. Teraz jest to wierzchołek 4 o d[4] = 3. Przenosimy go do zbioru S. Wierzchołek 4 posiada tylko jednego sąsiada - 5. Modyfikujemy odpowiednio d[5] i p[5].


W zbiorze Q szukamy wierzchołka o najmniejszym d. Jest to wierzchołek 5 o d[5] = 4. Przenosimy go do zbioru S. Wierzchołek 5 posiada dwóch sąsiadów: 3 i 6. Ponieważ d[3]=5 jest takie samo jak d[5] + waga(5-3) = 4+1=5, nie modyfikujemy parametrów d i p dla wierzchołka 3. Do modyfikacji jest tylko wierzchołek 6.


W zbiorze Q szukamy wierzchołka o najmniejszym d. Jest to wierzchołek 3 o d[3] = 5. Przenosimy go do zbioru S. Wierzchołek 3 posiada dwóch sąsiadów: 1 i 6. Ponieważ wierzchołek 1 jest już w zbiorze S, to nie bierzemy go pod uwagę. Drugi wierzchołek posiada d[6]=6, czyli takie samo jak d[3]+waga(3-6)=5+1=6. Nie modyfikujemy zatem wierzchołka 6.


Do zbioru S przenosimy ostatni wierzchołek z Q. Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.


Zastosowanie algorytmów grafów skierowanych Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.

  • Programy do nawigacji samochodowych

  • W systemach kartograficznych

  • W systemach hydrologicznych

  • Analizowanie DNA


Graf de bruijna g n rz du n
Graf de Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.BruijnaGn rzędu n

  • 2n-1 wierzchołków – słowa binarne (n-1)-literowe

  • krawędzie:a1a2…an-1 →a2…an-10 (etykieta: 0) i a1a2…an-1→a2…an-11(etykieta: 1)

  • cykle Eulera w grafach de Bruijna odpowiadają ciągom de Bruijna!


Zastosowania grafu de bruijna
Zastosowania grafu Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.de Bruijna

  • W elektronice,

  • W sieciach komputerowych,

  • W biologii obliczeniowej,

  • W kryptografii


Algorytm Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.Bellmana-Forda

Algorytm służy do rozwiązywania problemu najkrótszych ścieżek z jednego źródła w ogólnym przypadku, gdzie wagi mogą być ujemne (w(u,v) ). Algorytm zwraca wartość FALSE, jeśli w grafie istnieje cykl o ujemnej wadze osiągalny ze źródła. W przeciwnym wypadku oblicza najkrótsze ścieżki i ich wagi.


Algorytm Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.Bellmana-Forda

Algorytm znajduje najkrótsze ścieżki między wszystkimi parami wierzchołków skierowanych w grafie skierowanym G = (V,E). Zakłada się, że wagi mogą być ujemne, ale brak jest cykli z wagami ujemnymi. Algorytm wylicza rekurencyjnie macierz najkrótszych ścieżek .


Algorytm Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.Floyda-Warshalla służy do znajdowania najkrótszych ścieżek pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków w grafie ważonym.

Pseudokod algorytmu Floyda-Warshalla


Kolorowanie grafu Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.

Kolorowanie grafu to przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych w taki sposób, aby końce żadnej krawędzi nie miały przypisanej tej samej liczby (koloru).

Optymalnym pokolorowaniem grafu nazywamy pokolorowanie zawierające najmniejszą możliwą liczbę kolorów. Liczbą chromatyczną grafu G nazywamy liczbę χ(G) równą minimalnej liczbie kolorów wystarczającej do prawidłowego pokolorowania wierzchołków grafu G.

Problem znalezienia optymalnego pokolorowania a także znalezienia liczby chromatycznej jest NP zupełny.


  • Do kolorowania grafu służą następujące algorytmy: Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.

  • Algorytm zachłanny

  • Algorytm DSATUR

  • Algorytm MAXIS

Algorytm zachłanny - przechodząc kolejno wszystkie wierzchołki grafu, kolorujemy każdy z nich najmniejszym możliwym kolorem, tzn. takim, który dotychczas nie został użyty dla żadnego z sąsiadów rozważanego wierzchołka.


Algorytm Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.DSATURdziała podobnie jak algorytm zachłanny ale kolejność rozpatrywania wierzchołków grafu wyznaczana jest dynamicznie w zależności od liczby kolorów, które mogą być użyte do pomalowania poszczególnych wierzchołków. Najpierw kolorowane są

te wierzchołki, dla których jest najmniej możliwości.

Algorytm MAXISopiera się na algorytmie znajdującym największy zbiór niezależny wśród wierzchołków danego grafu (żadne dwa wierzchołki takiego zbioru nie sąsiadują ze sobą).


  • Kolorowanie grafów ma wiele odmian, m.in.: Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.

  • Kolorowanie krawędzi – jest to przyporządkowywanie krawędziom liczb naturalnych symbolizujących kolory

  • Listowe kolorowanie – kolorowanie wierzchołków, przy czym każdy wierzchołek posiada odpowiadającą mu listę kolorów

  • Całkowite kolorowanie – kolorowanie wierzchołków oraz krawędzi

  • Harmoniczne kolorowanie – kolorowanie wierzchołków, gdzie każda para kolorów użyta jest co najwyżej raz w stosunku do sąsiadującej pary wierzchołków

  • Kompletne kolorowanie - kolorowanie wierzchołków, gdzie każda para kolorów użyta jest co najmniej raz w stosunku do sąsiadującej pary wierzchołków

  • Dokładne kolorowanie - kolorowanie wierzchołków, gdzie każda para kolorów użyta jest dokładnie raz w stosunku do sąsiadującej pary wierzchołków


Dziękujemy za uwagę Wierzchołek ten nie posiada sąsiadów w Q połączonych z nim krawędzią, dlatego nic nie modyfikujemy. Ponieważ zbiór Q stał się pusty, algorytm kończymy.