OLASILIK ve İSTATİSTİK II

1. OLASILIK ve İSTATİSTİK II DERS 4: Varyans Analizi 2 Öğr. Gör. Dr. Berk AYVAZ

2. OLASILIK ve İSTATİSTİK II FARKLI GRUPLARIN TESPİTİ • Varyans analizi örnek ortalamaları arasında herhangi bir farklılık bulunup bulunmadığını ortaya koymakla beraber bu farklılığa hangi örnek ortalamasının (veya ortalamalarının) sebep olduğu hususunda bir fikir vermez. • Farklılık göste­ren grupların tespiti için, ayrı metotlar geliştirilmiştir. • Bu kısımda farklılığın kaynağını tespite yarayan iki metot tanıtılacaktır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

3. OLASILIK ve İSTATİSTİK II 1-TUKEY TESTİ • Farklı grupların tespitinde kullanabileceğimiz metotlardan biri Tukey’in gerçekten önemli fark metodudur. • Bu metotta öncelikli olarak k adet örnek varyansından hareketle ortak varyansın bulunması gerekir. Ortak varyansı spile gösterirsek, bu değerden hareketle; • değeri elde edilir. • Bu değer, verilen önem seviyesi, k örnek sayısı ve N - k serbestlik derecesine göre tablodan bulunan değerle çarpılarak gerçekten önemli sayılabilecek fark (GÖF) elde edilir. • Örnek ortalamalarını ikişerli olarak karşılaştırdığımızda, örnek ortalamala­rı arasındaki fark, gerçekten önemli olan farktan büyükse bu örneklerin farklı anakütlelerden geldiklerine karar verilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

4. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 1 Tek yönlü varyans analizi konusunun birinci örneğinde, = 11, = 10, = 15, = 12 olarak elde edilmiş ve örnek ortalamaları arasın­daki fark anlamlı bulunmuştu. Bartlettprosedürü tanıtılırken aynı verilere ilişkin varyanslar, ,,olarak hesaplanmış ve ortak varyans, = 1.375 olarak tespit edilmişti. Şimdi farklılığın kaynağını %5 önem seviyesinde Tukey testi ile araştıralım. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

5. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm • = 0.05 önem seviyesi, k = 4 örnek, N-k = 20-4 = 16 serbestlik dere­cesine göre Tablodan bulunan değer 4.05’dir. Buna göre, • bulunur. • Örnek ortalamalarını ikişerli olarak eşleştirip fark değerleri elde ettiği­mizde, birinci, ikinci ve dördüncü örneklerin birbiriyle olan farklarının 2.12’yi geçmemesi yüzünden bu örneklerin aynı anakütleye ait olabileceğini, üçüncü örneğin ise diğerlerinden farklı olduğunu görürüz. • Varyans analizi sonucu bulu­nan fark, büyük ölçüde üçüncü örnekten kaynaklanmaktadır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

6. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 2 • Piyasada bulunan dört marka diş macununun diş çürümelerine karşı etkisini araştırmak isteyen bir araştırmacı 20 gönüllüyü tesadüfi olarak 5’erli dört gruba ayırmış ve her gruba farklı bir diş macunu kullandırmıştır. Bu diş macunlarını 5 yıl süreyle kullanan gönüllülerin dişlerindeki çürüme durumu tespit edilerek her grubun ortalama ve varyansı aşağıdaki gibi bulunmuştur. =21.4, =4.2, =17.1, =3.3, = 25.4, 5.2, =22.3, =3.4 • Diş çürüklerine karşı etkili olmaları bakımından diş macunları arasındakifarkın önemli olduğu tespit edildiğine göre, %5 önem seviyesinde Tukey testi ile farklılığın kaynağını test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

7. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm • olarak bulunur. • Örnek ortalamalarını ikişerli olarak eşleştirip fark değerleri elde ettiğimizde, birinci ve dördüncü örnek ortalamaları arasındaki fark 3.634’ü geç­mediği için bu örneklerin aynı anakütleye ait olabileceğini söyleriz. • Aynı şekilde üçüncü ve dördüncü örnek ortalamaları arasındaki fark gerçekten önemli olan farkı geçmediği için bu örneklerin de aynı anakütleye ait olabileceğini söyleriz. • Diğer eşleştirmelerde örnek ortalamaları arasındaki fark anlamlı bulunmuştur. • Varyans analizi sonucu bulunan fark büyük ölçüde üçüncü örnekten kaynaklan­maktadır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

8. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 3 • Beş farklı marka futbol topundan 7’şer adet tesadüfi olarak seçilmiş ve otomatik fırlatma makinesi ile belirli bir yöne doğru fırlatılmıştır. Makine ile topların duruş noktası arasında mesafe ölçülerek bu verilere varyans analizi pro­sedürü uygulanmış ve markalar itibariyle topların duruş mesafeleri arasındaki fark anlamlı bulunmuştur. Örnek ortalamaları ve varyansları şu şekildedir: A =55.40, =17.2, B =40.25, =13.3, c =50.20, =15.2, D =54.35, =13.4, E =41.85, =14.2 • Buna göre farklılığın kaynağını %1 önem seviyesinde Tukey testi ile test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

9. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 3 • olarak bulunur. Örnek ortalamalarını ikişerli olarak eşleştirip fark değerleri elde ettiğimizde, A ve C, A ve D, B ve E, C ve D örnek ortalamaları arasındaki fark 7.308’i geçmediği için bu örneklerin aynı anakütleye ait olabileceğini söyleriz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

10. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ödev Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

11. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Vaka Analizi Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

12. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Vaka Analizi Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

13. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Vaka Analizi Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

14. OLASILIK ve İSTATİSTİK II 2- DUNCAN TESTİ • Örnek ortalamaları arasındaki farkı tespit etmeyi sağlayan ikinci prosedür Duncan’ın çoklu fark testidir. • Bu testte, kendisine en yakın olandan başlanarak k adet örnek ortalaması birbiriyle eşleştirildiğinde bulunacak fark değerleri asgari önemli sayılacak fark (AÖF) değerleriyle mukayese edilir. • Bir örnek ortalaması­nın kendisine en yakın ortalamadan farkı incelendiğinde, m = 2 olur. • Bir örnek ortalamasının kendisine en yakın ikinci ortalamadan farkı incelendiğinde, m = 3 olur. • Bu şekilde k adet ortalamadan birbirine en uzak olanlarının farkı incelen­diğinde, m = k olur. • Tablo 9, verilen önem seviyesi, m yakınlık katsayısı, N - k serbestlik derecesine göre standart rm değerlerini verir. • Tablodan bulunan rm değerlerine göre AÖF değerleri, Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

15. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 4 • Her biri 5 ölçümden oluşan dört örneğin ortalaması, = 11, = 10, = 15, = 12 olarak elde edilmiş ve örneklere ilişkin varyanslar ise, , , olarak hesaplanmış ve ortak varyans, =1.375 olarak tespit edilmiştir. • Yapılan test sonucu en az iki örnek ortala­masının birbirine eşit olmadığına karar verilmiştir. • Farklılığın kaynağım, %5 önem seviyesinde Duncan testi ile araştıralım. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

16. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 4 • Öncelikle örnek ortalamalarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım. • = 10, = 11, = 12, = 15 • Tablo 9, = 0.05 önem seviyesi, N-k = 20-4 = 16 serbestlik derecesi ve m = 2’den m = k = 4’e kadar m değerleri için standart rm değerlerini okuya­rak aşağıdaki tabloya kaydederiz. Tablodan bulunan standart rm değerleri, değeri ile çarpılarak AÖF değerleri elde edilmiş ve aynı tabloda gösterilmiştir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

17. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 4 = 10, = 11, = 12, = 15 • İkinci ve birinci, birinci ve dördüncü, dördüncü ve üçüncü örnekler ara­sındaki fark, m = 2 için hesaplanan R2 = 1.559 değeri ile mukayese edildiğinde dördüncü ve üçüncü örnek ortalamaları arasındaki fark anlamlı bulunur. • İkinci ve dördüncü, birinci ve üçüncü örnekler arasındaki fark, m = 3 için hesaplanan R3 = 1.635 değeri ile mukayese edilir. Her iki fark da anlamlıdır. (Tukey testi, ikinci ve dördüncü örnek ortalaması arasındaki farkı ortaya çıkara­mamıştı.) • Son olarak ikinci ve üçüncü örnekler arasındaki fark, m = 4 için hesapla­nan R4 = 1.682 değeri ile mukayese edilir. Fark anlamlıdır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

18. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 5 • Piyasada bulunan dört marka diş macununun diş çürümelerine karşı etkisini araştırmak isteyen bir araştırmacı 20 gönüllüyü tesadüfi olarak 5’erli dört gruba ayırmış ve her gruba farklı bir diş macunu kullandırtmıştır. Bu diş macunlarını 5 yıl süreyle kullanan gönüllülerin dişlerindeki çürüme durumu tespit edilerek her grubun ortalama ve varyansı aşağıdaki gibi bulunmuştur. • =21.4, =4.2, • =17.1, =3.3, • = 25.4, 5.2, • =22.3, =3.4 • Diş çürüklerine karşı etkili olmaları bakımından diş macunları arasındakifarkın önemli olduğu tespit edildiğine göre, %5 önem seviyesinde Duncan testi ile farklılığın kaynağını test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

19. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 5 • İkinci ve birinci, birinci ve dördüncü, dördüncü ve üçüncü örnekler ara­sındaki fark, m = 2 için hesaplanan R2 = 2.689 asgari önemli farkı (AÖF) ile mukayese edilir. Yalnızca birinci ve dördüncü örnekler arasındaki fark anlamlı delildir. Diğer iki fark anlamlıdır. (Tukey testi, üçüncü ve dördüncü örnek orta­laması arasındaki farkı ortaya çıkaramamıştı.) • İkinci ve dördüncü, birinci ve üçüncü örnekler arasındaki fark, m = 3 için hesaplanan R3 = 2.820 değeriyle mukayese edilir. Her iki fark da anlamlıdır. • Son olarak ikinci ve üçüncü örnekler arasındaki fark, m = 4 olması duru­munda hesaplanan R4 = 2.902 AÖF ile mukayese edilir. Fark anlamlıdır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

20. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 6 • Beş farklı marka futbol topundan 7’şer adet tesadüfi olarak seçilmiş ve otomatik fırlatma makinesi ile belirli bir yöne doğru fırlatılmıştır. Makine ile topların duruş noktası arasında mesafe ölçülerek bu verilere varyans analizi pro­sedürü uygulanmış ve markalar itibariyle topların duruş mesafeleri arasındaki fark anlamlı bulunmuştur. Örnek ortalamaları ve varyansları şu şekildedir: • A =55.40, =17.2, • B =40.25, =13.3, • c =50.20, =15.2, • D =54.35, =13.4, • E =41.85, =14.2 • Buna göre farklılığın kaynağını %1 önem seviyesinde Duncan testi ile test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

21. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 6 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

22. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 6 • B ve E, E ve C, C ve D, D ve A arasındaki fark, m = 2 için hesaplanan R2 = 5.627 değeriyle mukayese edilir. Yalnızca E ve C örnekleri arasındaki fark anlamlı bulunmuştur. Bununla birlikte, B ve E, C ve D, D ve A örnekleri arasın­daki fark anlamlı değildir. • B ve C, E ve D, C ve A örnekleri arasındaki fark, m = 3 için hesaplanan R3 = 5.869 değeriyle mukayese edilir. B ve C, E ve D örnekleri arasındaki fark anlamlı bulunmuştur. C ve A örnekleri arasındaki fark anlamlı değildir. • B ve D, E ve A örnekleri arasındaki fark, m = 4 için hesaplanan R4 = 6.031 değeriyle mukayese edilir. Her iki fark da anlamlı bulunmuştur. • B ve A örnekleri arasındaki fark, m = 5 için hesaplanan R5 = 6.150 değe­riyle mukayese edilir. Fark anlamlı bulunmuştur. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

23. OLASILIK ve İSTATİSTİK II 3-FISHER’İN LSD TESTİ • Farklı grupların tespitinde kullanabileceğimiz metotlardan biri de Fisher'in LSD (Least Significant Difference = Asgari önemli Fark) metodudur. • Uygulama kolaylığı ve ortalamalar arasındaki farkın nispeten küçük olması du­rumunda etkili sonuçlar sağlamasından dolayı birçok araştırmacı tarafından ter­cih edilen bir testtir. • Ancak ortalama sayısının çok fazla olması ve tüm ortalama­ların ikişerli olarak birbirleriyle karşılaştırılması gerektiğinde I. tip hata seviyesi çok büyüyeceğinden kullanılması tavsiye edilmez. • Bu teste ait LSD veya asgari önemli fark değerleri, formüllerinden biriyle elde edilebilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

24. OLASILIK ve İSTATİSTİK II 3-FISHER’İN LSD TESTİ • Birinci formüldeki kritik değeri; önem seviyesi ve v= n.k- k serbestlik derecesine göre t tablosundan bulunan de­ğerdir. • İkinci formüldeki kritik değeri ise; önem seviyesi, ve =(n.k) - k serbestlik derecesine göre F tablosundan bulunan değerdir. • Örnek ortalama­larını ikişerli olarak karşılaştırdığımızda, örnek ortalamaları arasındaki fark LSD değerinden büyükse bu örneklerin farklı anakütlelerden geldiklerine karar verilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

25. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 7 Tek yönlü varyans analizi konusunun birinci örneğinde, = 11, = 10, = 15, = 12 olarak elde edilmiş ve örnek ortalamaları arasın­daki fark anlamlı bulunmuştu. Bartlett prosedürü tanıtılırken aynı verilere ilişkin varyanslar, ,, hesaplanmış ve ortak varyans, =1.375 olarak tespit edilmişti. Şimdi farklılığın kaynağını %5 önem seviyesinde LSD testi ile araştıralım. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

26. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 7 • Birinci formüldeki kritik değeri; 0.05/2 = 0.025 önem seviyesi ve v = 5(4) -4=16 serbestlik derecesine göre t tablosundan 2.120olarak okunur. • İkinci formüldekikritik değeri ise; 0.05 önem seviyesi, v1 = 1 ve v2= 5(4)-4 =16 serbestlik derecesine göre F tablosundan 4.49 olarak okunur. • Bulunan bu kritik değerler ilgili formüllerde yerine konulduğunda her iki formüle göre de Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

27. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 7 • Birinci örnek ile ikinci örnek arasındaki fark 1 ’dir. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için bu iki örnek arasındaki fark önemli değildir. • Birinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark 4’tür. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için birinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark önemlidir. • Birinci örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark 1 ’dir. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için bu iki örnek arasındaki fark önemli değildir. • İkinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark 5’tir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için ikinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark önemlidir. • İkinci örnek ile dördün­cü örnek arasındaki fark 2’dir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için ikinci örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark önemlidir. • Nihayet üçüncü örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark 3’tür. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için üçüncü örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark önemlidir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

28. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 8 • Piyasada bulunan dört marka diş macununun diş çürümelerine karşı etkisini araştırmak isteyen bir araştırmacı 20 gönüllüyü tesadüfi olarak 5’erli dört gruba ayırmış ve her gruba farklı bir diş macunu kullandırtmıştır. Bu diş macunlarını 5 yıl süreyle kullanan gönüllülerin dişlerindeki çürüme durumu tespit edilerek her grubun ortalama ve varyansı aşağıdaki gibi bulunmuştur. • =21.4, =4.2, • =17.1, =3.3, • = 25.4, 5.2, • =22.3, =3.4 • Diş çürüklerine karşı etkili olmaları bakımından diş macunları arasındakifarkın önemli olduğu tespit edildiğine göre, %5 önem seviyesinde LSD testi ile farklılığın kaynağını test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

29. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 8 • /2 = 0.025 önem seviyesi, v = n(k)- k = 20 - 4 = 16 serbestlik derecesi­ne göre Tablo 3’ten bulunan kritik t değeri 2.120’dir. Buna göre LSD değeri; • şeklinde elde edilir. • Birinci örnek ile ikinci örnek arasındaki fark 4.3’tür. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için bu iki örnek arasındaki fark önemlidir. • Bi­rinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark 5.2’dir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için birinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark önemlidir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

30. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 8 • 1. örnek ile 4. örnek arasındaki fark 8.3’tür. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için bu iki örnek arasındaki fark önemlidir. • İkinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark 0.9’dur. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için ikinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark önemli değildir. • İkinci örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark 4’tür. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için ikinci örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark önemlidir. • Nihayet üçüncü örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark 3.1’dir. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için üçüncü örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark önemli değildir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

31. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 9 • Beş farklı marka futbol topundan 7’şer adet tesadüfi olarak seçilmiş ve otomatik fırlatma makinesi ile belirli bir yöne doğru fırlatılmıştır. Makine ile topların duruş noktası arasında mesafe ölçülerek bu verilere varyans analizi pro­sedürü uygulanmış ve markalar itibariyle topların duruş mesafeleri arasındaki fark anlamlı bulunmuştur. Örnek ortalamaları ve varyansları şu şekildedir: • A =55.40, =17.2, • B =40.25, =13.3, • c =50.20, =15.2, • D =54.35, =13.4, • E =41.85, =14.2 • Buna göre farklılığın kaynağını %1 önem seviyesinde LSD testi ile test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

32. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 8 • /2 = 0.005 önem seviyesi, v = n(k)- k = 7(5) - 5 = 30 serbestlik derecesi­ne göre Tablo 3’ten bulunan kritik t değeri 2.750’dir. Buna göre LSD değeri; • şeklinde elde edilir. • Birinci örnek ile ikinci örnek arasındaki fark 15.15’tir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için bu iki örnek arasındaki fark önemlidir. • Birinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark 5.2’dir. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için birinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark önemli değildir. • Birinci örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark 1.05’tir. Bu fark LSD değerin­den küçük olduğu için bu iki örnek arasındaki fark önemli değildir. • Birinci örnek ile beşinci örnek arasındaki fark 13.55’tir. Bu fark LSD değerinden büyük oldu­ğu için bu iki örnek arasındaki fark önemlidir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

33. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 8 • İkinci örnek ile üçüncü örnek ara­sındaki fark 9.95’tir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için ikinci örnek ile üçüncü örnek arasındaki fark önemlidir. • İkinci örnek ile dördüncü örnek arasın­daki fark 14.1’dir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için ikinci örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark önemlidir. • İkinci örnek ile beşinci örnek arasın­daki fark 1.6’dır. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için ikinci örnek ile be­şinci örnek arasındaki fark önemli değildir. • Üçüncü örnek ile dördüncü örnek arasındaki fark 4.15’tir. Bu fark LSD değerinden küçük olduğu için üçüncü ör­nek ile dördüncü örnek arasındaki fark önemli değildir. • Üçüncü örnek ile beşinci örnek arasındaki fark 8.35’tir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için üçün­cü örnek ile beşinci örnek arasındaki fark önemlidir. • Nihayet dördüncü örnek ile beşinci örnek arasındaki fark 12.5’tir. Bu fark LSD değerinden büyük olduğu için dördüncü örnek ile beşinci örnek arasındaki fark önemlidir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

34. OLASILIK ve İSTATİSTİK II ÖDEV (2 hafta sonra teslim) 1-TUKEY 2-DUNCAN 3-FISHER Testlerini uygulayınız. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

35. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 9 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

36. OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 9 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi