RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

1. RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES SESION Nº 03

2. ECUACIONES NO LINEALES • En la práctica de la ingeniería y ciencias, es muy frecuente él tener que resolver ecuaciones del tipo f(x)=0. En estas ecuaciones se requiere conocer el valor ó valores que hacen cero la ecuación. El procedimiento común a seguir es intentar despejar la variable x. Desafortunadamente, en la mayoría de los casos prácticos esto es virtualmente imposible. • Los valores que hacen que una función y=f(x) sea 0, se conocen con el nombre de raíces ó ceros de la ecuación. • Existen tres tipos de métodos para resolver este tipo de ecuaciones. • Método analítico._ Consiste en despejar la variable x en función de y. • Método gráfico._ Busca trazar la gráfica de y=f(x) • Método numérico._ Genera una sucesión de valores, que se aproxima a la solución, en este caso a la raíz.

3. TEOREMA DEL CAMBIO DE SIGNO • Si en un intervalo cerrado [a,b], la función f(x) es continua y además f(a) tiene signo opuesto al de f(b), es decir, existe un cambio de signo (CS), entonces por lo menos existe una raíz en [a,b]. • Ejemplo: Grafique y encuentre los valores que cumplan el Teorema del Cambio de Signo.

4. MÉTODO DE LA BISECCIÓN • Este método es de los más antiguos. También se le denomina método de Bolzano, quien fue el primero en proponerlo. Para poder aplicarlo se requieren las siguientes condiciones: • Conocer un intervalo [x0,x1] que cumpla el TCS. • La raíz debe de ser única. Proceso.- • Desarrollamos y0=f(x0) y y1=f(x1). • Hallamos el punto medio: • Evaluamos y2=f(x2). Entonces se tendrá los intervalos [x0,x2] y [x2,x1], para seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x0,x2]) • Luego, buscaremos el siguiente punto medio x3 y así repetiremos el mismo procedimiento hasta que f(xn)=0 o hasta llegar a un punto de tolerancia según el criterio de convergencia.

5. Aplicación del Método de la Bisección • Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16 • Punto Medio (1+2)/2=1.5, luego f(1.5)=2.875 • Por la TCS el nuevo intervalo es: [1,1.5] • cc1 = no existe en la primera iteración. • Para el intervalo [1,1.5]: f(1)= -7 y f(1.5)= 2.875 • Punto Medio (1+1.5)/2=1.25, luego f(1.25)=-2.421875 • Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.5] • cc2 = no cumple con la tolerancia. • Para el intervalo [1.25,1.5]: f(1.25)= -2.421875 y f(1.5)= 2.875 • Punto Medio (1.25+1.5)/2=1.375, luego f(1.375)=0.130859375 • Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.375] • cc3 = no cumple con la tolerancia.

6. RESULTADOS DE LA APLICACION

7. MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Requiere un intervalo que cumpla los mismos supuestos que el método de Bisección. En lugar de obtener el punto medio en cada iteración, el método busca reemplazar la función original por otra a la cual sea más simple localizar su raíz. Proceso.- • Desarrollamos y0=f(x0) y y1=f(x1). • Hallamos siguiente punto convergente: • Evaluamos y2=f(x2). Entonces se tendrá los intervalos [x0,x2] y [x2,x1], para seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x0,x2]). • Luego, buscaremos el siguiente punto convergente x3 y así repetiremos el mismo procedimiento hasta que f(xn)=0 o hasta llegar a un punto de tolerancia según el criterio de convergencia.

8. Aplicación del Método de la Regla Falsa • Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16 • Nuevo x = luego f(1.304347826) = -1.3347579518 • Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.304347826,2] • cc1 = no existe en la primera iteración. • Para el intervalo [1.304347826,2] : f(1.304347826)= -1.3347579518 y f(2)= 16 • Nuevo x = , luego f(1.35791)= -2.22913 • Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.35791230465787,2] • cc2 = no cumple. • Luego repetimos (iteraciones) el mismo procedimiento hasta que f(x) = 0 ó hasta que cumpla con la tolerancia solicitada. El siguiente cuadro nos muestra los resultados de tales iteraciones.

9. RESULTADOS DE LA APLICACION

10. MÉTODO DE LA SECANTE • La idea de este método es similar a la del método de Regula Falsi. Este método emplea también una línea recta para aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que cumpla el TCS. • Para esto evaluamos la función en x2 obtendremos y2=f(x2). En vez de considerar intervalos, simplemente despreciamos el punto (x0,y0) y utilizamos el intervalo [x1,x2].

11. Aplicación del Método de la Secante • Nuevamente usaremos la ecuación de Leonardo. Consideremos como puntos iniciales, el intervalo [1,2]. Iniciando con los puntos (1,-7), (2,16) • Obtenemos 1.30434782608696 con y=-1.33475795183693. Como no se cumple el criterio de convergencia realizamos otra iteración. • Se emplean los puntos (2,16) y (1.30434782608696,-1.33475795183693) y se obtiene 1.35791230466 con y= -.22913572958733. Como no se cumple el criterio de convergencia realizamos otra iteración. • Se emplean los puntos (1.30434782608696,-1.33475795183693) y (1.35791230466, ) y se obtiene 1.36901332599257 con y = 4.32956831210518E-3. • El procedimiento se repite hasta alcanzar la convergencia

12. RESULTADOS DE LA APLICACION