TEMA 4 LA RECTA Y EL PLANO EN EL ESPACIO

1. TEMA 4LA RECTA Y EL PLANO EN EL ESPACIO

2. OBJETIVO El alumno aplicará el álgebra vectorial para obte-ner las diferentes ecuaciones de la recta y del plano, así como para determinar las relaciones entre ellos y con puntos en el espacio de tres dimensiones. CONTENIDO 4.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta. Ecuaciones cartesianas en forma simétrica y en forma general de la recta.

3. 4.2 Distancia de un punto a una recta. Ángulo en-tre dos rectas. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre rectas. Distancia entre dos rectas. Intersección entre dos rectas. 4.3 Ecuación vectorial, ecuación paramétrica y ecuación cartesiana del plano. Distancia de un punto a un plano. Ángulo entre dos planos. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre planos. Distancia entre dos planos. Intersección entre planos.

4. 4.4 Relación entre recta y plano: ángulo entre una recta y un plano, condición de paralelismo y condición de perpendicularidad. Intersección de una recta con un plano. Distancia entre una recta y un plano.

5. LA RECTA Y EL PLANO EN EL ESPACIO EL PUNTO Aún cuando el concepto de punto no se suele defi-nir ya que sólo se acepta y comprende por intui-ción, es pertinente definirlo. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA, Se establece con sus coordenadas en cualquiera de los sistemas de referencia: rectangulares, polares, cilíndricas o esféricas. En forma vectorial se representará a un punto por su vector de posición.

6. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Hay una correspondencia biunívoca entre los vec-tores de posición y los puntos en el espacio, ya que las componentes escalares de un vector de posición coinciden numéricamente con las coorde-nadas del punto que representan al vector. La distancia entre los puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), es igual al módulo del segmento dirigido AB, como se puede observar en la figura siguiente, es igual a:

7. Z B b - a A b ā Y 0 X d = |AB | = | b – a |

8. EJERCICIO: Calcule la distancia entre los puntos A(-1, 4, 2) y B(-1, 0, 6). EJERCICIO: Sea el punto P(5, 7, -3). Determinar las coor-denadas cartesianas de un punto R que se encuentre en la dirección del punto Q(7, 6, -1) y que diste de P dos terceras partes de la distancia entre P y Q.

9. LA RECTA Tenemos un concepto intuitivo de la recta, por lo cual sólo vamos a enlistar las formas en que se fija su posición en el espacio. - Un punto de la recta y su dirección definida con un vector. - Dos puntos de la recta. - Dos planos no paralelos que la contengan.

10. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Una ecuación vectorial de la recta “L” es la descrip-ción matemática de como se mueve un vector de posición para que con el desplazamiento de su punto extremo barra todos los puntos de la recta “L”. Para determinar la ecuación vectorial de una recta se necesitan las coordenadas de un punto de ella, o el vector de posición de dicho punto, y un vector que indique la dirección de la recta, que se conoce como vector director.

11. Sea el punto P0(x0, y0, z0), con vector de posición p0 = (x0. y0, z0), un punto de la recta “L“ y sea el vector u = (a, b, c) un vector director de “L”. Cualquier punto R que pertenezca a “L” puede obtenerse como la suma del vector p0 más un vector con la dirección u y con la magnitud ne-cesaria para alcanzar al punto R. Es decir: r = p0 + λu; λЄR

12. Z λu R u r = po + λu P Y p0 0 L X

13. El escalar λ es un parámetro que permite aumen-tar o disminuir el módulo del vector y hasta invertir su sentido, con lo que se recorre toda la recta. Entonces, la ecuación vectorial de “L” se puede representar analíticamente de dos formas: r = (x0, y0, z0) + λ(a, b, c); λЄR; r = (x0 + λa, y0 + λb, z0 + λc); λЄR

14. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA De la última expresión vectorial y siendo r la repre-sentación vectorial de un punto cualquiera de “L” es: r = (x, y, z) = (x0 + λa, y0 + λb, z0 + λc), λЄR por lo que las ecuaciones paramétricas son: x = x0 + λa L: y = y0 + λb; λЄR z = z0 + λc

15. OBSERVACIONES • Una recta no tiene una sola ecuación vectorial ya que el punto de apoyo P0 tiene que pertenecer a “L”, al igual que cualquier otro punto con el que resultaría otra ecuación. • Por otra parte, el vector u debe indicar la dirección de la recta y, entonces, también hay una infinidad de vectores directores. • Por lo tanto, la representación paramétrica de una recta tampoco es única.

16. Cualquier ecuación vectorial de una recta y, por lo tanto, sus correspondientes ecuaciones paramé-tricas contienen un sólo parámetro. • La determinación de la representación paramé-trica de una recta cuando se conoce una de sus representaciones vectoriales o viceversa, es muy sencilla con el concepto de igualdad entre vectores. -

17. EJERCICIO: Determinar una ecuación vectorial y su correspon-diente paramétrica de la recta “R” que contiene al punto A(-1, 0, 5) y que es paralela al vector v = (3, -2, 0). EJERCICIO: Determinar una ecuación vectorial de la recta “L” que pasa por los puntos P(3, -2, -1) y Q(2, 3, -6)

18. REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA Existen dos formas de representación cartesiana de una recta: la forma simétrica y la general. • Forma simétrica de las ecuaciones de la recta. A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta. x = x0 + λa L: y = y0 + λb; λЄR z = z0 + λc

19. Si las tres componentes del vector director son dife-rentes de cero, puede despejarse al parámetro de cada una de las ecuaciones paramétricas e igualar, obteniéndose: L: x - x0 = y - y0 = z - z0 a b c Forma simétrica de la recta “L” En la forma simétrica se tienen dos signos de igual, lo que implica que sólo se necesitan dos ecuacio-nes características para representar una curva

20. cualquiera, ya que cada una de las ecuaciones re-presenta un plano y su intersección es una recta, por lo cual sólo dos de las ecuaciones son independientes. EJERCICIO: Sea la recta “L” de ecuaciones paramétricas: x = -3t L: y = 4 - 2t ; tЄR z = 1 + 5t Determine unas ecua-ciones cartesianas en forma simétrica.

21. Si cualquier vector director de una recta una de sus componentes es nula, esto significa que dicho vector es paralelo a un plano coordenado, preci-samente al que cuyas variables componentes son diferentes de cero. EJERCICIO: Determinar las ecuaciones cartesianas en forma simétrica de la recta que contiene a los puntos M(1, -3, 7) y N(1, 2, 9).

22. Si cualquier vector director de una recta tiene dos componentes nulas, la recta es paralela al eje co-ordenado de la variable para la cual el vector direc-tor tiene componente no nulo. Un vector director no puede tener sus tres compo-nentes nulos. EJERCICIO: Determinar unas ecuaciones paramétricas y las cartesianas en forma simétrica de la recta P que pasa por el punto Q(-4, -1, 0) y que es paralela al eje Z.

23. b) Forma General de las Ecuaciones de la Recta. Las ecuaciones cartesianas de una recta pueden simbolizarse así: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Por el momento considérese esta representación como una definición, a reserva de que cuando se estudie el plano, se verá que cada una de las ecuaciones cartesianas de una recta repre-senta un plano, por lo que los puntos que satis-fagan a los dos planos constituyen la recta de intersección de dichos planos. Lo que implica que hay una infinidad de planos que la contengan. L:

24. EJERCICIO: Sea la recta W de ecuaciones: 2x – y + 5 = 0 x + y + 3z – 14 = 0 Determinar de W unas ecuaciones cartesianas en forma simétrica. W:

25. RELACIONES ENTRE RECTA Y PUNTO • DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA. • DEFINICIÓN: • Se llama distancia entre un punto y una recta a la distancia mínima entre los dos, es decir; la que se mide perpendicularmente a la recta.

26. Para calcular la distancia entre un punto “Q” y la recta “L” considérese el triángulo QMP, en el que los vértices son los puntos: • - El punto “Q” (del cual se desea conocer su distancia a la recta “L”), • El punto “M” (que es el punto que se encuentra en la recta “L” y a la mínima distancia de “Q”) y, • El punto “P” ( que es un punto cualquiera de la recta “L”).

27. Q L u d q - p M Ө Z P q p Y O X

28. Por definición de la distancia de un punto a una recta, sea cual sea el punto P que se elija so- bre la recta “L” se forma un triangulo rectángu- lo con el cateto QM. En dicho triánguloel ángulo Ө es el formado por q-p y el vector u que indica la dirección de “L”. La distancia “d” es igual a: d = |q – p|senӨ Si se multiplica y se divide entre el módulo de u d = |q - p| |u|senӨ |u|

29. Pero |q – p| |u|senӨ = |(q - p) x u| se tiene: d = |(q - p) x u| |u |

30. EJERCICIO: Calcular la distancia del punto A(2, 3, 6) a la recta “L” de ecuaciones: L: x + 2 = 7 – y = 2z + 2 8 EJERCICIO: Para la recta “L” del ejercicio ante-rior, determinar las coordenadas del punto “M”, perteneciente a “L”, localizado a la menor distancia del punto A.

31. RELACIONES ENTRERECTA Y RECTA A) ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS DEFINICIÓN: Es el ángulo que forman sus vectores directores, es decir: Ө = áng cos u • v |u| |v| Donde u es un vector director de una de las rec- tas y v es un vector director de la otra recta.

32. EJERCICIO: Calcular el ángulo agudo que forman las rectas “L” y “M” expresadas por: 2x - 3 = 5 – z 4 2 L: M: m = (2 - 3t, 4, -t) y = -3 tєR

33. B) CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD, PARALELISMO Y COINCIDENCIA TEOREMA. Sean las rectas “L” y “M” con vectores directores u y v respectivamente; entonces: • L y M son perpendiculares sí y sólo sí u • v = 0 ii) L y M son paralelas sí y sólo sí u = λv con λЄR; λ ≠0, o si u x v = 0

34. iii) Las rectas “L” y “M” son coincidentes si cum-plen las condiciones de paralelismo y un punto cualquiera de “M” pertenece también a “L” (aun-que realmente se trata de la misma recta.) EJERCICIO: Determinar si las rectas “T” y “R” son paralelas, perpendiculares o coincidentes, si: x = 3 + m R: r = (2 - 2h, 1 + 4h, 5 + 2h) T: y = -1 - 2m; mЄR, hЄR z = 4 - m

35. C) INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS DEFINICIÓN: Cuando dos rectas en el espacio se intersectan, se dice que se cortan, si no tienen intersección, entonces se cruzan. Para determinar las coordenadas del punto de in-tersección de dos rectas que se cortan, debe trabajarse simultáneamente con sus expresio-nes analíticas.

36. Es recomendable usar las expresioones paramét-ricas de ambas rectas, con lo que se reduce el número de incógnitas. EJERCICIO: Si las rectas “L” y “M” se cortan, deter-minar las coordenadas de su punto de intersec-ción, donde: L: x – 4 = 1 – y = z – 3 2 M: r = (5 – m, 6 - 2m, - 3 + 2m); mЄR

37. D) DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS DEFINICIÓN. Se llama distancia entre dos rectas a la mínima distancia entre las dos. Obviamente, si las rec-tas se cortan su distancia mínima es cero, poro si son paralelas o se cruzan, su distancia míni-ma es la que se mide perpendicularmente a ambas. Sean las rectas “L” y “M” en las cuales están rep-resentados los vectores u y v, que son vectores directores de “L” y “M” respectivamente.

38. La distancia “d” entre “L” y “M” se mide en la dirección perpendicular a ambas rectas que se calcula con u x v. Si se elige un punto “P” de la recta “L”, como se muestra en la figura, con un punto “Q” de la recta “M”, escogidos al azar. La distancia “d” es igual al módulo de la proyección del vector q - p, en la dirección del vector u xv, es decir, es igual al valor absoluto de la componente escalar del vector q - p en la dirección u xv, es decir:

39. d= |(q - p)•(u xv)| |(u xv)| L P u q - p p M d Z Q v q Si u y v son paralelos u x v = 0 y se tiene una operación no definida. Y 0 X

40. Ya que si |u x v| = 0, tanto numerador como deno-minador son cero. En este caso la distancia en-tre las dos rectas paralelas se puede obtener a partir de la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta. Por otra parte, no es recomendable calcular el pro-ducto mixto del numerador como un determinan-te, ya que el valor del producto vectorial entre los dos vectores debe usarse también en el denominador.

41. EJERCICIO: Calcular la distancia entre las rectas “R” y “S”, de ecuaciones: x = -1 S: s = (2, - 4 + 3t, - 9 - t); y = -3z + 9 tєR EJERCICIO: Calcular la distancia entre las rectas: L: r = (4 + 3t)i + (-3 - 2t)j + (- 2t)k; tЄR x - 2 = z + 5 3 y = 2 R: M:

42. EL PLANO Aunque se tiene una idea o concepto intuitivo de un plano en el espacio, es preferible establecer las formas en que se puede determinar la posición de éste en el espacio. • Un punto y dos vectores directores no paralelos. • Tres puntos no alineados del plano. • Una recta y un punto que no esté contenido en esta recta (contenidos en el plano). • Dos rectas que se cortan (contenidas en el plano). • Dos rectas paralelas (contenidas en el plano). • Un punto del plano y un vector perpendicular a él.

43. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DEL PLANO Una ecuación vectorial del plano “P” es la descrip-ción matemática del movimiento de un vector de posición r, para que con su punto extremo re-corra todos los puntos del plano “P”. Z mv P A nu R a r Y O r = a + mu + nv; m, n εR X

44. Para establecer una ecuación vectorial del plano “P” es necesario contar, como datos, con las coorde-nadas de un punto “A” que pertenezca al plano y que sirva como apoyo, y con las componentes de dos vectores directores u y v paralelos al plano “P” pero no paralelos entre sí. Como se muestra en la figura, cualquier punto “R” del plano “P” se alcanza por el extremo de un vec-tor de posición r, en donde, de manera similar a la recta, al vector de posición r es igual a la suma del vector de posición a del punto de apoyo “A” con un vector que lleve la dirección de u de tal magni-tud que sumándole otro vector, con la dirección v y con un módulo adecuado toque al punto “R”, es decir: r = a + mu + nv; m, n εR

45. En esta ecuación “m” y “n” son parámetros que permiten asignar la magnitud que se necesite a los vectores u y v. Al igual que con la recta, el número de ecuaciones vectoriales que representan a un plano “P” es infinito, pues sólo con tener otro punto de apoyo o un vector director diferente, proporciona otra ecuación. Los bordes del plano “P” son sólo para ubicarlo, sin embargo, su extensión es infinita. A diferen-cia de la recta que sólo tiene un parámetro, la ecuación vectorial del plano tiene dos paráme-tros.

46. EJERCICIO: Obtener la ecuación vectorial del plano que contiene los puntos A(3, -2, 0); B(4, 0, 1) y C(-2, 5, 1) REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DEL PLANO Para establecer las tres ecuaciones paramétricas del plano “P” basta con usar el concepto de igualdad entre vectores. EJERCICIO: Determinar una ecuación vectorial y sus correspondi-entes ecuaciones paramétricas del plano que contie-ne a la recta “L” y al punto “A” si: L: p = (-3 + t, t, 5 - 2t); tεR, A(1, 4, 5)

47. REPRESENTACIÓN CARTESIANA DEL PLANO Como se mencionó, la localización de un plano queda determinada si se conoce un punto de él y un vector perpendicular al plano, al cual se de-nomina vector normal. Si del plano “P” se conoce el punto “A” o un vector de posición a y un vector normal N al plano. Por ser el vector normal perpendicular al plano “P”, cualquier segmento dirigido que tenga su punto origen en “A” y su extremo en cualquier punto que pertenezca a “P” también será ortogonal al plano P: (r - a) • N = 0

48. A esta ecuación se le llama también, ecuación normal del plano: N 90º r- a R A a Z r P : (r - a) • N = 0 Y 0 X

49. Del desarrollo de esta ecuación puede obtenerse con facilidad la ecuación cartesiana del plano. Así, si el punto “A” tiene por vector de posición a = (x0, y0, z0) y el vector normal es N = (A, B, C); como el punto “R” es un punto cualquiera, su vector de posición es r = (x, y, z) entonces: [(x, y, z) - (x0, y0, z0)] • (A, B, C) = 0 [x - x0, y - y0, z - z0] • (A, B, C) = 0 = A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 = Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = 0 = Ax + By + Cz - Ax0 - By0 - Cz0 = 0 Si se define D = -Ax0 - By0 - Cz0, entonces: Ax + By + Cz + D = 0

50. Ejercicio • Determinar la ecuación cartesiana del plano: π dado por las siguientes ecua-ciones paramétricas: x = 3 + m - 2n y = 1 – m + n; m, n εR z = 2m – n a) Eliminando los parámetros. b) Por medio de la ecuación normal