Os problemas do Canguru na sala de aula

1. Os problemas do Canguru na sala de aula Élio Mega

2. O que é o Canguru • Jogo-concurso de Matemática • Aplicado em um único dia • 24 ou 30 questões na forma de testes • Questões lúdicas, criativas e interessantes • Questões envolvendo os grandes eixos da Matemática tradicional • Questões que são mais problemas que exercícios • Concurso sem caráter competitivo em sua concepção original • Não há um ranking nacional

3. Breve histórico • 1991 – Criação do concurso Canguru de Matemática, em Paris, inspirado pelos concursos matemáticos australianos • 1994 – Criação do Canguru Sem Fronteiras, com a participação de 10 países • 1996 – Aprovação dos estatutos e criação do atual formato do concurso Canguru Sem Fronteiras • 2009 – Primeira participação oficial do Brasil • 2011 – 46 países participantes, com mais de 5 milhões de estudantes

4. Dados Canguru Brasil • 2009 – primeira participação oficial do Brasil, com 3 000 estudantes • 2010 – cerca de 15 000 estudantes • 2011 – 15 558 estudantes:

5. Para saber mais • www.mathkang.org • www.math-ksf.org • mega.elio@gmail.com (solicitação do regulamento 2011)

6. Participação no Concurso Canguru • convite enviado no início das aulas às escolas já cadastradas para fazer a inscrição via e-mail • escola não cadastrada: responsável faz a inscrição no site www.opm.mat.br durante o mês de fevereiro • inscrições bem sucedidas recebem e-mail de confirmação • por volta de 20 de março, as escolas inscritas recebem os arquivos em pdf para imprimir as provas e folhas de respostas • a prova de 2012 deverá ser aplicada no dia 24 de março • (continua)

7. Participação no Concurso Canguru • uma planilha eletrônica ficará à disposição das escolas até o final de abril para entrada dos dados dos alunos • a organização decide as notas de corte para as medalhas de ouro, prata, bronze e menção honrosa • os certificados de medalhistas são digitais – as escolas com alunos premiados os recebem via e-mail e os imprimem • não há uma classificação nacional: cada escola decide o que fazer com seus premiados (solenidades locais)

8. Organização e conteúdo das provas • múltipla escolha • assuntos explorados: aritmética, álgebra, geometria, lógica, contagem, algoritmos e estratégias variadas • dificuldades adequadas às faixas escolares, com adaptação para o Brasil • gradação da dificuldade (do mais fácil para o mais difícil) • maioria das questões são problemas e não simples exercícios

9. Fontes de problemas As Olimpíadas de Matemática oferecem bons problemas para estudantes em nível mais avançado. As provas podem ser obtidas nos sites www.obm.org.br e www.opm.mat.br O Canguru oferece problemas de nível mais elementar, mais acessíveis a todos os alunos e podem ser encontradas no site da OBM acima. A seguir, exemplos de problemas do Canguru e sua relação com os itens do conteúdo programático do currículo brasileiro.

10. Problema x exercício: um exemplo

11. Aritmética – Operações Básicas • Qual dos números a seguir é par? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 – 9 (D) 200 × 9 (E) 200 + 9 Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

12. Aritmética – Sistemas de Numeração 19. Um agente secreto precisa decifrar um código de 6 dígitos. Ele sabe que a soma dos dígitos nas posições pares é igual à soma dos dígitos nas posições ímpares. Os números a seguir têm 6 dígitos, alguns dos quais substituídos pelo símbolo *. Qual desses números poderia ser o código? (A) 81**61 (B) 7*727* (C) 4*4141 (D) 12*9*8 (E) 181*2* Canguru 2009 – Ecolier – Ensino Fundamental I

13. Números Racionais - Ordem 3. Quantos números inteiros existem entre 19,03 e 2,009? (A) 16 (B) 17 (C) 14 (D) 15 (E) mais de 17 Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental I

14. Números Racionais - Representações Canguru 2009 – Cadet – Ensino Fundamental II

15. Aritmética – Proporções 3. Quatro palitos têm 8 pontas. Quantas pontas têm seis palitos e meio? • (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 13 (E) 14 Canguru 2009 – Ecolier – Ensino Fundamental I

16. Aritmética – Proporções • 21. Dois corredores A e B correm ao redor de um estádio, mantendo sempre suas velocidades. O corredor A é mais rápido, levando apenas 3 minutos por volta. Os dois partiram juntos do mesmo lugar e 8 minutos depois, A alcançou B pela primeira vez. Quanto tempo leva o corredor B para dar uma volta completa? • (A) 6 min(B) 8 min(C) 4 min 30 s (D) 4 min 48 s (E) 4 min 20 s Canguru 2009 – Student – Ensino Médio (3ª série)

17. Aritmética - Divisão Euclidiana 7. Sofia lançou um dado quatro vezes e obteve um total de 23 pontos. Quantas vezes ela obteve 6 pontos? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Canguru 2009 – Ecolier– Ensino Fundamental I

18. Aritmética - Divisão Euclidiana 18. Hoje é domingo. Francisco começa a ler um livro de 290 páginas. Ele lê 4 páginas por dia, exceto nos domingos, quando ele sempre lê 25 páginas. Lendo todos os dias, sem pular nenhum, quantos dias ele levará para ler o livro? (A) 5 (B) 46 (C) 40 (D) 35 (E) 41 Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

19. Números Inteiros – Divisibilidade/lógica 21. Há quatro afirmações sobre o inteiro positivo A: A é divisível por 5 A é divisível por 11 A é divisível por 55 A é menor do que 10 Sabe-se que duas dessas afirmações são verdadeiras e as outras duas são falsas. Então A é igual a (A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 11 (E) 55 Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

20. Álgebra– Equações Lineares 12. 2009 cangurus, alguns de cor clara e outros de cor escura, comparam suas alturas. Sabe-se que um canguru claro é mais alto do que exatamente 8 cangurus escuros, outro canguru claro é mais alto do que exatamente 9 cangurus, outro claro é mais alto do que exatamente 10 cangurus, e assim por diante, até o canguru claro que é mais alto do que todos os cangurus escuros. Qual é o número de cangurus claros? (A) 1000 (B) 1001 (C) 1002 (D) 1003 (E) a situação apresentada é impossível Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

21. Álgebra– Sistemas de Equações 20. Na tabela 3 × 3 foram escritos números reais tais que a soma em cada linha, cada coluna e cada diagonal é a mesma. Dois desses números são mostrados na figura. Qual é o número escrito na casa com a letra a? (A) 16 (B) 51 C) 54 (D) 55 (E) 110 Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

22. Álgebra– Funções - Gráficos Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

23. Álgebra– Sequências Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

24. Lógica – Conjunção/Disjunção 05. Temos três caixas: uma branca, uma vermelha e uma azul. Uma delas contém uma barra de chocolate, outra contém uma maçã e outra está vazia. O chocolate está na caixa branca ou na vermelha e a maçã não está na caixa branca nem na azul. Qual é a caixa em que está o chocolate? (A) branca (B) vermelha (C) verde (D) vermelha ou verde (E) impossível determinar Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

25. Lógica - Condicional 15. Na ilha dos verazes e mentirosos, 25 pessoas esperam numa fila. Todo mundo, exceto a primeira pessoa da fila, diz que a pessoa da frente é um mentiroso. O primeiro da fila disse que todos atrás dele são mentirosos. Quantos mentirosos há na fila? (os verazes sempre dizem a verdade, ao passo que os mentirosos sempre falam mentira) (A) 0 (B) 12 (C) 13 (D) 24 (E) impossível determinar Canguru 2009 – Cadet – Ensino Fundamental II

26. Conjuntos – Inclusão/Exclusão 18. Quatro problemas foram propostos a cada um dos 100 participantes de uma olimpíada de Matemática. 90 deles resolveram o primeiro problema, 85 resolveram o segundo problema, 80 resolveram o terceiro problema e 70 resolveram o quarto problema. Pelo menos quantos participantes resolveram todos os quatro problemas? (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (E) 30 Canguru 2009 – Student– Ensino Médio

27. Geometria Sintética no Plano 28. Seja AD uma mediana do triângulo ABC. O ângulo mede 30º e o ângulo mede 45º. Qual é a medida do ângulo ? (A) 45º (B) 30º (C) 25º (D) 20º (E) 15º Canguru 2009 – Junior – Ensino Médio (1ª /2ª séries)

28. Geometria no Espaço/Métrica • 14. Tomás construiu uma mesa usando pequenos cubos iguais, como na figura. Quantos cubos ele usou? • (A) 24 (B) 26 (C) 28 (D) 32 (E) 36 Canguru 2009 – Ecolier – Ensino Fundamental I

29. Geometria no Espaço/Álgebra • 22. O sólido representado tem 6 faces triangulares, com um número em cada vértice. A soma dos números dos vértices em cada face é igual para todas as faces. Os números 1 e 5, conforme figura, são dois dos cinco números dos vértices. Qual é a soma desses cinco números?  • (A) 9 (B) 12 (C) 17 (D) 18 (E) 24 Canguru 2009 – Benjamin – Ensino Fundamental II

30. Geometria no Espaço/Contagem 21. Uma formiguinha caminha ao longo das arestas de um cubo, começando no ponto p na direção da seta. No fim de cada aresta, a formiguinha tem que escolher entre ir para a direita ou para a esquerda, sempre alternando a escolha. Quantas arestas a formiguinha irá caminhar até retornar ao ponto p pela primeira vez? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 9 (E) 12 Canguru 2009 – Cadet – Ensino Fundamental II

31. Geometria no Espaço/Contagem 22. O jovem Canguru tem 2009 cubos , formando um bloco retangular. Ele possui também 2009 cartões adesivos que irá usar para colorir a superfície externa do bloco, sem superpor cartões. Terminada a tarefa, irão sobrar alguns cartões. Quantos? (A) mais de 1000 (B) 763 (C) 476 (D) 49 (E) faltarão cartões para ele terminar a tarefa Canguru 2009 – Cadet – Ensino Médio (1ª e 2ª )

32. Geometria no Espaço/Visualização 13. Um cubo 2 × 2 × 2 é formado por quatro cubos 1× 1 × 1 brancos transparentes e por quatro cubos 1 × 1 × 1 pretos não transparentes, como na figura. Eles estão colocados de tal forma que o cubo maior é não transparente, no sentido de que não é possível ver através dele nem do topo para a base, nem da frente para o fundo e nem da esquerda para a direita. Pelo menos quantos cubos pretos teríamos que usar para formar um cubo 3 × 3 × 3 não transparente? (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 18 Canguru 2009 – Student – Ensino Médio (3ª )