Aplikasi Inklusi-Eksklusi

1. Aplikasi Inklusi-Eksklusi

2. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi • Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif • Banyaknya fungsi pada dari suatu himpunan hingga ke himpunan hingga lainnya. • Masalah derangement: penitipan topi (“the hatcheck problem”)

3. Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N. Ai: subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat Pi. banyaknya anggota dengan semua sifat maka banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat maka Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

4. Contoh 1 Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x1 + x2 + x3 = 11 dengan x1, x2, x3 bilangan bulat tak negatif dan x1  3, x2  4, dan x3  6. Solusi. Misalkan P1: sifat x1 > 3, P2: sifat x2 > 4, dan P3: sifat x3 > 6. Maka banyaknya solusi adalah:

5. Contoh 1… • N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78 • N(P1): jumlah solusi dengan x1  4 = C(3+7-1,7) = 36 • N(P2): jumlah solusi dengan x2  5 = C(3+6-1,6) = 28 • N(P3): jumlah solusi dengan x3  6 = C(3+5-1,5) = 15 • N(P1 P2): jumlah solusi dengan x1  4 dan x2  5 = C(3+2-1,2) = 6 • N(P1 P3): jumlah solusi dengan x1  4 dan x3  7 = C(3+0-1,0) = 1 • N(P2 P3): jumlah solusi dengan x2  5 dan x3  7 = 0 • N(P1P2P3): jumlah solusi dengan x1  4, x2  5 dan x3  7 = 0 Jadi, N(P1’P2’P3’) =78 - 36 - 28 - 15 + 6 + 1 + 0 - 0 =6

6. The Sieve of Erotosthenes • Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu. • Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut. Contoh 2. Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100. Solusi. Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan melebihi 10. Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.

7. The Sieve of Erotosthenes… Misalkan P1: sifat bilangan habis dibagi 2, P2: sifat bilangan habis dibagi 3, P3: sifat bilangan habis dibagi 5, dan P4: sifat bilangan habis dibagi 7. Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak melebihi 100 adalah: 4 + N(P1’ P2’ P3’ P4’) Jadi, menurut inklusi-eksklusi:

8. The Sieve of Erotosthenes…

9. Banyaknya fungsi pada Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota? Solusi. Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b1, b2, dan b3. Misalkan P1, P2, dan P3 adalah sifat bahwa b1, b2, dan b3 tidak berada dalam range fungsi. Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki semua sifat P1, P2, atau P3, maka banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

10. Banyaknya fungsi pada… • N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota = 36. • N(Pi): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dalam range = 26. • N(Pi Pj): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dan bj dalam range = 16 = 1. • N(P1 P2 P3): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b1, b2, dan b3 dalam range = 0. Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah 36 - C(3,1) 26 + C(3,2) 1 – 0 = 540

11. Banyaknya fungsi pada & aplikasinya Teorema 1 Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m  n. Maka, terdapat nm - C(n,1) (n-1)m + C(n,2) (n-2)m – … + (-1)n-1 C(n,2) 1m fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota. Soal 1. Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan? Soal 2. Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal satu mainan?

12. Derangements Derangement adalah permutasi obyek-obyek, di mana tidak ada obyek yang menempati tempat aslinya. Contoh 3. Permutasi 654123 adalah derangement dari 123456. Permutasi 653124 bukanlah derangement dari 123456. Misalkan Dn menyatakan banyaknya derangement dari n obyek. Contoh 4. D3 = 2

13. Banyaknya derangement dari n obyek Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat Pi jika permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya. Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi yang tidak memiliki sifat Pi, i=1,2,…,n. Jadi, • N: banyaknya permutasi dengan n anggota = n! • N(Pi): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota = (n-1)! • N(Pi Pj): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota = (n-2)! • N(Pi1 Pj2 …Pjm): banyaknya permutasi yang menetapkan m anggota = (n-m)!

14. Banyaknya derangement dari n obyek … Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n anggota, maka •  N(Pi) = C(n,1) (n-1)! •  N(Pi Pj) = C(n,2) (n-2)! • Dan secara umum,  N(Pi1 Pj2 …Pjm) = C(n,m) (n-m)! Sehingga, Teorema 2. Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah

15. The Hatcheck Problem Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi suatu rumah makan menerima titipan topi dari n pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topi-topi tersebut. Ketika para pengunjung hendak mengambil kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali.

16. The Hatcheck Problem… Solusi. Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali adalah Jika n membesar tanpa batas.