Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern

Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern Digitale System- und Signalanalyse

Gliederung • 5.1 Einführung • 5.2 Abtastung • 5.3 Differenzengleichung • 5.4 Laplacetransformation • 5.5 Z-Transformation • 5.6 Näherungsweise Z-Transformation • 5.7 Übersicht über die Transformationen • Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung

5.1 Einführung Die Fourier-Transformation erfolgt in der Praxis mit Hilfe von digitaler Signalverarbeitung, d.h. das zu analysierende Signal muss zunächst mit Hilfe eines Analog-Digital-Wandlers abgetastet und in der Amplitude quantisiert werden. durch Abtastung: kontinuierliches Eingangssignal  zeitdiskretes Signal Information über den Zeitverlauf gehen verloren

H D/A A/D Strecke Regler w(t) e(t) e(kT) ê(kT) û(kT) u(kT) u(t) y(t) Digitale Signale und Systeme: Ein Beispiel aus der Regelungstechnik: Der digitale Regelkreis H: Halteglied Moderne A/D oder D/A-Wandler sind sehr hochauflösend. Ihre Quantisierungsfehler sind somit vernachlässigbar. Sie können daher in den weiteren Betrachtungen weg-gelassen werden !

Abtaster: Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten t = T(mit =0,1,...) Vereinfachung: t =  5.2 Abtastung und Aliasing-Effekt Abtastfrequenz: T = 2/T mit T als Abtastzeit Der Abtastvorgang eines analogen Signals entspricht der Modulation einer Impulsreihe von Dirac-Impulsen

Die Bandbreite des Eingangssignals muss begrenzt sein, da andernfalls durch die Abtastung die Eindeutigkeit aufgrund von Aliasing-Effekten verloren geht. Nach dem Abtasttheorem von Shannon muss die Abtastfrequenz fA mindestens doppelt so hoch sein, wie die größte auftretende Frequenz des Eingangssignals.

Aliasing-Effekt Wird das Abtasttheorem von Shannon T > 2maxeingehalten, so kann kein Aliasing auftreten. Da wichtige Signale in der Mess- und Regeltechnik nicht band-begrenzt sind (Sprung, Impuls), ist dies jedoch problematisch ! In der Folge können - versteckte Schwingungen auftreten oder - hochfrequente Störungen durch das Aliasing in einen tieferen Frequenzbereich transformiert werden. Abhilfe: Antialiasing-Filter filtert Frequenzen > T /2 heraus  Tiefpass

5.3 Differenzengleichungen Lineare dynamische Systeme mit dem Eingangssignal u(t) und dem kontinuierlichen Ausgangssignal y(t) können durch DGL´n beschrieben werden: dny/dtn + ... + a1 dy/dt + a0 y = bm dm u/dtm + ... + b1 du/dt + b0 u Laplace-transformiert: Y(s) (sn + ... + a1 s + a0) = U(s) (bm sm + ... + b1 s + b0) Dann ist G(s) = Y(s) / U(s) die (kontinuierliche) Übertragungsfunktion

y(T) – y(( - 1)T) dy/dt|t= T  y(T) / T = T y(T) – y(( - 1)T) T2 y(T) – 2y(( - 1)T) + y(( - 2)T) d2y/dt2|t= T  T2 Bei zeitdiskreten Signalen liegen diese n bzw. m Ableitungen nicht vor: Man kann die Ableitungen daher näherungsweise durch die Differenzenquotienten ersetzen: (1. Ableitung) Höhere Ableitungen werden als Differenzen der Differenzen gebildet: ( = 0,1,2,...) (2. Ableitung) =

Nach Einsetzen der Differentialquotienten in die DGL entsteht eine Differenzengleichung, die eine Beziehung zwischen n zeitlich zurückliegenden Abtastwerten des Ausgangssignals und n zurückliegenden Werten des Eingangsignals herstellt (Annahme m=n) : Sind die letzten n Werte des Ausgangs und m Werte des Eingangs als Anfangswerte bekannt so lässt sich die Differenzengleichung rekursiv lösen, indem sie nach y(T) aufgelöst wird (T weggelassen) : Anfangswerte (nm) : y(i) = y0i i= -n+1, -n+2,...,0 u(j) = u0j j= -m+1, -m+2,...,0

Damit wird deutlich: • Ein dynamisches System bildet den Verlauf der Eingangsgröße in den Verlauf der Ausgangsgröße ab. • Die Differenzengleichung beschreibt das Systemverhalten „lokal“ in dem Sinne, dass die Werte der Eingangs- und Ausgangsgrößen zu n Abtastzeitpunkten ausreichen, um den nächsten Wert der Ausgangsgröße zu bestimmen. • Das zeitdiskrete System ist kausal, denn in die Bestimmung von y() gehen nur Werte von u und y ein, die zum selben Zeitpunkt  oder früher aufgetreten sind.

u() b2 b1 b0 y() T T a1 a2 Analog zum Kontinuierlichen lässt sich beispielsweise für ein System 2.Ordnung folgendes Blockschaltbild (in BNF) zeichnen: Die Nummerierung der Koeffizienten ist hier jedoch entgegengesetzt !

y(T) – y(( - 1)T) T1 + y(T) = u(T) T (T1/T + 1) y(T) – T1/T y(( - 1)T) = u(T) Beispiel Aufstellen einer Differenzengleichung aus einer DGL DGL eines PT1 : T1 dy/dt + y = u Einsetzen des Differenzenoperators liefert: Aufgelöst nach dem neusten Ausgangselement entsteht eine Differenzengleichung:

Übersicht Transformationen Fouriertransformation DFT FFT Laplace Transformation Z-Transformation kontinuierlich diskret

Von der Fourier- zur Laplacetransformation Fouriertransformation Fourierrücktransformation Probleme • technische Signale beginnen zu einem bestimmten Zeitpunkt • viele Signale sind nicht fouriertransformierbar, weil das Integral nicht existiert

Laplace-Integral mit Lösung: • Beginn zum Nullzeitpunkt: • rechtsseitige Laplacetransformation f(x)=0, für x < 0 • Konvergenz für viele Funktionen durch „Dämpfung“ erzwingen • Einfügen eines Faktors exp(-t)

5.4 Definition Laplace - Transformation Es werden bei der System- und Signalanalyse mit der Laplace-Transformation nur Zeitfunktionen f(t) betrachtet, deren Funktionswerte für t < 0 verschwinden. Zeitfunktionen mit der Eigenschaft heißen kausale Zeitfunktionen. Betrachtet man also nur kausale Zeitfunktionen, dann läßt sich folgende Definition der einseitigen Laplace-Transformation geben, bei der die untere Integrationsgrenze über den Zeitbereich bei t = 0 beginnt:

Unter der Laplace-Transformierten L{f(t)} der Zeitfunktion f(t) versteht man die durch die Funktionaltransformation definierte Funktion F(s). Dabei ist s = s + j w eine komplexe Variable, durch die Konvergenz für alle praktisch vorkommen-den Zeitfunktionen erreicht werden kann.

n t 1T 2T 3T nT (n+1)T Laplace-Transformation einer Stufenfunktion f Das Laplace-Integral für die abschnittsweise konstante Funktion ergibt:

A/D D/A H Das Halteglied GH (s) tritt bei jeder Laplacetransformation einer Stufenfunktion auf Halteglied • Es ist das mathematische Modell des A/D-Umsetzers Geht man vom analogen Ursprungssignal y1(t) aus erhält man nach Abtastung, A/D und D/A –Wandlung als Ausgangsignal des Haltegliedes y2(t) : • Da es immer auftritt, kann es zur Vereinfachung weggelassen werden

j j A  j /2 A Die komplexe s-Ebene • Durch die Abtastung ist die Laplace- Transformierte periodisch • Um zu einer nichtperiodischen Darstellung zu kommen wird die komplexe Variable z eingeführt • gesucht ist also eine konforme Abbildung, die die periodischen Wiederholungen der s-Ebene auf sich selbst abbilden:

mit  5.5 Die z-Transformation Aus der Laplace-Transformierten einer Impulsreihe folgt die Definition der z-Transformation • z-n trennt die Funktionswerte voneinander • z-n entspricht einer Zeitverzögerung von n mal T von t=0 aus gesehen

Die Z-Transformation geht aus der Laplace-Transformation hervor und weist daher auch ähnliche Rechenregeln auf. Eigenschaften der Z-Transformation Überlagerungssatz: Die Z-Transformation ist eine lineare Transformation d.h., es gilt Z{a f1() + b f2()} = a Z{ f1()} + b Z{f2()} Verschiebungssatz: Verschiebung um ganze kT (k  0): Z{f( - k)} = Z{f()} z –k z auch als Verschiebeoperator bezeichnet. Da Systeme i.A. verzögernden Charakter haben, wird meist mit negativen Potenzen von z gerechnet. Die Multiplikation von F(z) mit z –1 bedeutet, dass die Folge f(k) um einen Abtastschritt nach rechts verschoben wird. z–1 ist also ein Verzögerungsoperator!

Faltungssatz: Für die Faltung zweier Folgen f1(k)f2(k) gilt: Eigenschaften der Z-Transformation Grenzwertsätze: Satz vom Anfangswert:f(0) kann aus Z{f()} für z  bestimmt werden, vorrausgesetzt dieser Grenzwert existiert: Satz vom Endwert:Falls dieser Grenzwert existiert gilt:

Summensatz: Es wird die aus der Folge f(k) durch Summenbildung erhaltene Folge betrachtet:

Übertragungsfunktion Die bekannte Differenzengleichung Führt man für die Wertefolgen y() und u() die Z-Transformierten ein, so lässt sich der Verschiebungssatz der Z-Transformation anwenden: Yz(z)(1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + anz -n ) = Uz(z)(b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bnz -n )

Yz(z) b0 + b1 z -1 + b2 z -2 + ... + bnz -n Gz(z) = = Uz(z) 1 + a1 z -1 + a2 z -2 + ... + anz -n b0 z n + b1 z n-1 + b2 z n-2 + ... + bn = z n + a1 z n-1 + a2 z n-2 + ... + an Als Quotient der Signale entseht eine Übertragungsfunktion, die Impulsübertragungsfunktion:

j Im{z}  Re{z} Die komplexe z-Ebene s z =j/2  S= 0,25 j S=0 Z=1 S= 0,5 j =- 0,5 j • Die (stabile) linke Halbebene wird auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. • Die j-Achse wird auf den Einheitskreises abgebildet. • s=0 wird auf z=1 abgebildet.

PBZ und Korrrespondenztabelle Die Z-Transformierte wird mit einer Partialbruchzerlegung in Summanden zerlegt und in Tabellen rücktransformiert. Polynomdivision Die Z-Transformierte wird mit z -n erweitert und der Zähler abdividiert. Es entsteht eine Potenzreihe in z -k, die direkt der Folge entspricht. Rücktransformation Die Zuordnung einer Z-Transformierten zu einer Folge ist umkehrbar eindeutig. Direkte Rücktransformation Der Integrationsweg des Ringintegrals ist so zu wählen, dass er alle Singularitäten des Integranden umschließt.

Zeitdiskret vs. kontinuierlich! Eine Impulsübertragungsfunktion ist als Anregung für kontinuierliche Systeme technisch nicht realisierbar. In der Praxis werden statt Impulsen, Stufenfunktionen verwendet, die durch ein Halteglied modelliert werden können.

Die Dynamik des Haltegliedes wird im zeitdiskreten mit dem Term: berücksichtigt. Um aus einer Impulsübertragungsfunktion die Stufenübertragungsfunktion zu berechnen muss demzufolge die Übertragungsfunktion des Haltegliedes mit der Impulsübertragungsfunktion multipliziert werden.

t = T u() exakte Z-Transformation  z = eTs Umkehrfunktion für s = 1/T ln z nicht zu einer gebrochen rationalen Funktion auflösbar einfachere Beziehungen gesucht, die auf gebrochen rationalen Zuordnungen beruhen. 5.6 Näherungsweise Z-Transformation Integration nach der Rechteckregel: Dazu betrachtet man die Sprungantwort eines einzelnen Integrators:

Obersumme : y = y() - y(-1) y =  u dt  dy/dt = u()  y = t u()  y() - y(+1) = T u() In z geschrieben lautet der Zusammenhang: Mit G(s) = Y(s) / U(s) = 1/s (Integrator !) folgt:

Untersumme: Entsprechend erhält man für die Untersumme, indem man der Fläche y u(-1)T statt u()T zuordnet: y() - y(+1) = T u(-1) und damit schließlich: t = T u()

Hier erhält man: y() - y(+1) = T (u() + u( - 1)) / 2 Dies ergibt transformiert: Trapezregel und damit: Das selbe Ergebnis erhält man, wenn man in s = 1/T ln z (exakte Z-Trafo) den Logarithmus durch eine Reihenentwicklung annähert: Abbruch nach dem ersten Glied führt wieder auf die Tustinformel

Graphische Gegenüberstellung Exakte Transformation Die exakte Z – Transformation bildet Geraden parallel zur imaginären Achse auf Kreise um den Ursprung in z ab. Die imaginäre Achse selbst wird auf den Einheitskreis in z abgebildet. Parallelen zur reellen Achse werden auf Geraden durch den Ursprung in z abgebildet.

Transformation nach der Rechteckregel - Untersumme Die Abbildung nach der Untersumme liefert optisch die schlechteste Anpassung.

Transformation nach der Rechteckregel - Obersumme Die Abbildung nach der Obersumme wirkt optisch etwas besser, weist aber noch erhebliche Verzerrungen auf.

Transformation nach der Trapezregel Für kleine Abtastzeiten in Relation zur Lage der Pole liefert die Tustinformel (Trapezregel) relativ gute Abbildungseigenschaften.

e jdTa - 1 s = j a = 2/Ta e jdTa + 1 Ist eine bilineare Abbildung. Sie lässt sich immer als näherungsweise Z-Transformation verwenden, weil sich jede lineare DGL n-ter Ordnung in ein System linearer DGL´n erster Ordnung umschreiben lässt. Wird für z wieder die komplexe Variable s eingeführt, erhält man den Zusammenhang zwischen der Frequenz a des kontinuierlichen analogen Systems und der Frequenz d des durch die bilineare Transformation genäherten zeitdiskreten digitalen Übertragungssystems, wenn man z = eTa s = e jdTasetzt :

(1/2j) (e jdTa /2 - e -jdTa /2 ) sin (dTa /2) a= 2/Ta cos (dTa /2) (1/2) (e jdTa /2 + e -jdTa /2 ) e jdTa - 1 s = j a = 2/Ta e jdTa + 1 * e -jdTa/2 = 2/Ta tan (dTa /2) umgeformt: fa = 1/Ta tan (fdTa ) nach fd aufgelöst: fd = 1/Ta arctan (faTa ) Ist das Verhältnis s/ a zu berechnen, entfällt aus Normierungsgründen bei der Tustin-Formel der Faktor 2/Ta. In diesem Fall ist

Z Abgetastete Impulsantwort Impuls-Übertragungsfunktion -1 Z exakt (nicht praktikabel !) kontinuierlich Abtastung Rekonstruktionen diskret Näherung L Impulsantwort g(t) Übertragungsfunktion G(s) L-1 5.7 Übersicht Transformationen G(s)  G(z) (exakt) : Die Abhängigkeit von s und z entsteht durch das Abtast-Halteglied

Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung 1. Übertragungsfunktion in s aufstellen 2. Bilineare Transformation nach z 3. Umformen, so dass sich eine Gleichung in z-1 ergibt 4. Nach Y(z) auflösen 5. In den Zeitbereich zurücktransformieren 6. Filterkoeffizienten ermitteln 7. Filter testen

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