Przegl d teorii elektromagnetyzmu ci g dalszy
Download
1 / 40

Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy - PowerPoint PPT Presentation


  • 108 Views
  • Uploaded on

Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy. Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2. Pole prądów zmiennych. W tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne występują jednocześnie. Prawo Faraday’a. Gęstość prądu przewodzenia przesunięcia.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy' - verna


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Przegl d teorii elektromagnetyzmu ci g dalszy

Przegląd teorii elektromagnetyzmuciąg dalszy

Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2


Pole pr d w zmiennych
Pole prądów zmiennych

W tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne występują jednocześnie

Prawo Faraday’a

Gęstość prądu

przewodzenia przesunięcia

Jm = *M– gęstość prądu „magnetycznego” (V/m2Wb/m2/s Vs/m2/s)

* - rezystywność magnetyczna(/m),

M - wektor magnetyzacji (A/m).



Relacje konstytutywne
Relacje konstytutywne

Relacje konstytutywne, określające zależność pól od środowiska

Środowisko jest liniowe jeżeli σ, i μ są niezależne od E i H.

Jest jednorodne jeśli σ, i μ nie są funkcjami zmiennych przestrzennych.

Jest izotropowe jeśli σ, i μ są niezależne od kierunku.

  • W regionach opisanych równaniami Maxwell’a zakłada się, że pola są:

  • jednoznaczne

  • ograniczone

  • ciągłe względem przestrzeni i czasu wraz ze swymi pochodnymi


Si a lorentz a
Siła Lorentz’a

Równania Maxwell’a uzupełniają dwa inne, podstawowe równania:

równanie siły Lorentz’a

gdzie F jest siłą działającą na cząsteczkę z ładunkiem Q

poruszającą się z prędkością u w polu elektromagnetycznym,

i równanie ciągłości

które wyraża zachowawczość (niezniszczalność) ładunku elektrycznego. Równanie ciągłości daje się wywnioskować z równań Maxwella, ale nie jest osobliwością EM. W mechanice płynów gdzie J odpowiada prędkości a rmasie, równanie ciągłości wyraża zachowanie masy.


Warunki graniczne
Warunki graniczne

Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ1, e1, μ1) and (σ2,e2,μ2) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwell’a.

Oznaczmy:

an12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2,

indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a

indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.


Na granicy
Na granicy

Oto te równania:

Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy.

Składowa styczna H jest nieciągłai równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy.

Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku rS na powierzchni granicznej.


R wnanie falowe e

Równania Maxwell’a to sprzężone równania różniczkowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Równanie falowe E

Środowisko liniowe, izotropowe, nieruchome, wolne od źródeł (J = 0, rv = 0).

ponieważ J = 0,

ponieważρv= 0, E= 0


R wnanie falowe h
Równanie falowe H rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Są to równania ruchu fal EM w środowisku nieprzewodzącym. Prędkość propagacji fal:

W próżni u  3108 m/s

Każdy z wektorów polama trzy skalarne składowe: Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz.

Każda składowa spełnia

skalarne równanie falowe


Og lne r wnanie falowe
Ogólne równanie falowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Ogólne równanie falowe

Jeżeli g = 0, to równanie falowe w dielektryku:

Jeżeli pominiemy prądy przesunięcia (małe w stosunku do prądu przewodzenia) otrzymamy równanie falowe w przewodniku:


Potencja y skalarne
Potencjały skalarne rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Potencjały skalarne

Pola bezwirowe i potencjalne

Równanie powierzchni ekwipotencjalnej

Równania linii sił (  do pow. ekwipot.)

Spełnia równanie Laplace’a


Potencja y elektrodynamiczne
Potencjały elektrodynamiczne rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Potencjały elektrodynamiczne A i V są funkcjami współrzędnych i czasu.


Warunek lorentz a
warunek Lorentz’a rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

By uniknąć wieloznaczności A należy dobrać divA

Dla pól elektromagnetycznych – warunek Lorentz’a:


R wnanie d alamberta
Równanie d’Alamberta rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Równanie d’Alamberta


R wnanie skalarne d alamberta
Równanie skalarne d’Alamberta rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Dla przewodników (pominięte ładunki i prąd przesunięcia):

Równanie skalarne d’Alamberta

warunek Lorentz’a


W dielektrykach rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

W polach magnetostatycznych i wolnozmiennych warunek:


Potencja y op nione

Rozwiązanie całkowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Potencjały „opóźnione”

Potencjały „opóźnione”

Gdzie R jest odległością punktu źródłowego od punktu pola, nawiasy kwadratowe oznaczają że rv i J są określone w czasie R()1/2 wcześniejszym niż dla którego A i V są zdeterminowane.

sqr()= 3,333·10-9 s


Rozwi zanie r wnania poissona

Ogólne rozwiązanie równania Poissona ma postać : rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Rozwiązanie równania Poissona

Energię można obliczyć korzystając z potencjału wektorowego.


Energia i potencja
Energia i potencjał rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Jeżeli powierzchnia S rozciągnięta do , to całkowanie po S daje w wyniku 0, bo A w ¥ jest równe 0.

Ostatecznie


Strumie magnetyczny
Strumień magnetyczny rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

B

B = rotA

ds

S

L

dl

A

Strumień magnetyczny można obliczyć z zależności:


Elektryczny potencja wektorowy
Elektryczny potencjał wektorowy rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Z I-szego prawa Kirchoffa i tożsamości różniczkowej

wynika

Jednocześnie


Przy rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu. m = const divH = 0

bo divB = 0, więc

Metoda wprowadzona w roku 1977 przez Carpentera znana jest pod nazwą „T – W” (W  V).

Odznacza się dobrą dokładnością w obliczeniach 3D.


Wektor hertza p
Wektor Hertza rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu. P

Wektor Hertza P

Służy do opisu przebiegów falowych wielkiej częstotliwości.

Wyznacza się go z równania falowego:


Tensor napr e maxwella
Tensor naprężeń Maxwella rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Sprowadza objętościowe siły Lorentza do sił powierzchniowych

Siła Lorentza

Gęstość obj. siły

Tn – wektor siły powierzchniowej, rzut tensora Maxwella

na normalną do powierzchni ciała.

Ogólnie


Elementy tensora Maxwella rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu.

Składowa dFi siły dF przekazywanej przez element powierzchni dSi wektora dS


Z ogólnego wzoru wynika, że moduł gęstości siły powierzchniowej pola magnetycznego (m = const)

  • Całkowita magnetyczna siła działająca na ciało o objętości V i powierzchni S

  • Całkowity moment sił magnetycznych działający na ciało o objętości V i powierzchni S

n – wektor normalny do S skierowany na zewnątrz.


Wyrażenie jest słuszne dla pól magnetostatycznych, nieustalonych i harmonicznych, z tym że dla pól harmonicznych (prądów sinusoidalnych) znaczenie siły i momentu jest inne.

W tym ostatnim przypadku siła składa się z części średniej w czasie i części oscylacyjnej, natomiast moment z części średniej w czasie i wartości szczytowej.

Podobnie wyrażone są siły i momenty pola elektrostatycznego:


Pola harmoniczne
Pola harmoniczne nieustalonych i harmonicznych, z tym że dla pól harmonicznych (prądów sinusoidalnych) znaczenie siły i momentu jest inne.

Pola harmoniczne

Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadek ogólny dowolnej zmienności pola EM w czasie. W wielu praktycznych sytuacjach, szczególnie dla niskich częstotliwości, potrzebne jest rozwiązanie stanu ustalonego pola EM wytwarzanego przez prądy sinusoidalne. Takie pole zwane sinusoidalnym lub harmonicznym zmienia się z pulsacją ω.

Dowolnie zależne od czasu pola F(x, y, z, t)lub F(r, t) mogą być wyrażone jako:

Gdzie: Fm(r)= Fm(x, y, z)jest fazorową (zespoloną, wykładniczą) postacią F(r, t) – amplitudą zespoloną.

ω jest prędkością kątową (rad/s) sinusoidalnego wzbudzenia


Wielkości pola EM w postaci fazorowej mogą być wyrażone jako:

Użycie fazorowej postaci pozwala zastąpić różniczkowanie mnożeniem przez jw

Równania Maxwell’a dla sinusoidalnego stanu ustalonego:

bo ejtupraszcza się


Założenie sinusoidalności skutkuje eliminacją z równań Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy w jako jeden z elementów pełnego spektrum z wszystkimi składnikami szeregu Fouriera. Innymi słowy pola niesinusoidalne mogą być wyrażone jako:

Zastępując różniczkowanie po czasie, mnożeniem jw, uzyskuje się wektorowe równanie falowe dla amplitud zespolonych lub skalarne równanie falowe dla składowych pola.

Np. dla dielektryka (v = 0 = J)

gdzie k (stała propagacji)


Jeżeli Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy ρV 0 J, równanie falowe przyjmuje ogólniejszą formę

i przechodzi w równanie Poisson’a

kiedy k = 0 (tzn.  = 0 – pole statyczne),

lub w równanie Laplace’a

gdy k = 0 = g.


Harmoniczne pole magnetyczne
harmoniczne pole magnetyczne Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy

Dla harmonicznego pola magnetycznego

Ogólne równanie falowe


Harmoniczne pole w dielektryku
harmoniczne pole w dielektryku Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy

Dla harmonicznego pola magnetycznego w dielektryku


Harmoniczne pole w przewodniku
harmoniczne pole w przewodniku Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy

Dla harmonicznego pola magnetycznego w przewodniku


G boko wnikania
Głębokość wnikania Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy

Głębokość wnikania - odległość liczona w głąb przewodnika na jakiej amplituda pola zmniejszy się e razy w stosunku do wartości na powierzchni.

Długość fali


Dla miedzi: Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy

więc

Identyczne równania można wyprowadzić dla Em i Jm


Twierdzenie poyntinga
Twierdzenie Poyntinga Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy

Twierdzenie Poyntinga

Moc elektromagnetyczna P wpływająca do zamkniętej przestrzeni o powierzchni A równa jest całce składowej normalnej wektora Poyntinga Sn po całej powierzchni A.

Wektor Poyntinga S określa moc i kierunek strumienia mocy EM przechodzącej przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu energii.

Twierdzenie Poyntinga jest stosowane do obliczania mocy czynnej, biernej i pozornej dopływającej do badanego obszaru.


Moc może być czynna bierna i pozorna, więc również wektor T może być czynny, bierny i pozorny.

Przy sinusoidalnej zmienności składowych pola E i H zespolony wektor S

Dla f 50 Hz We 0


Z równań Maxwell’a wektor

Z twierdzenia Greena


Moc dostarczona na zwiększenie energii magnetycznej i elektrycznej

Straty mocy od prądów wirowych

Moc związana z pracą mechaniczną dostarczoną ładunkom swobodnym.


ad