Divisi n de polinomios
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS. ESPAD III * TC 11. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. Ejemplos: 6.x 4 : 2.x = (6/2).x 3 = 3.x 3 , que es un monomio. 6.x : 3.x 2 = 2 / x , que no es un monomio.

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DIVISIÓN DE POLINOMIOS

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Presentation Transcript


Divisi n de polinomios

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

ESPAD III * TC 11


Divisi n de polinomios1

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

  • El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio.

  • Ejemplos:

  • 6.x4 : 2.x = (6/2).x3 = 3.x3 , que es un monomio.

  • 6.x : 3.x2 = 2 / x , que no es un monomio.

  • (6.x4 - 2.x) : 2.x = 3.x3- 1, que es un polinomio

  • (4.x - 6.x4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x3, que es un polinomio

  • (6.x4 - 2.x) : x2 = 6.x2- 2/x, que no es un polinomio


Divisi n de polinomios

  • DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS

  • Las reglas operativas son :

  • 1.‑ Reducir dividendo y divisor.

  • 2.‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente.

  • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos.

  • 4.‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir.

  • 5.‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor.

  • 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá:

  • D(x) = d(x).c(x) + r(x).


Divisi n de polinomios

  • ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

  • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente.

  • Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo.

  • Obtenemos así un nuevo dividendo.

  • Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.


Ejemplo 1 divisi n de polinomios

Ejemplo_1 División de polinomios

  • 1.- a)Sea P(x) = 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 y Q(x) = 2.x2

  • Hallemos P(x) : Q(x)

  • 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 6.x4 4.x3 5.x2

  • ------------------------ = ---- + ------ - ------ = 3.x2 + 2.x- 5 / 2

  • 2.x2 2x2 2.x2 2.x2

  • El resultado es un polinomio.

  • 1.- b)Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 y Q(x) = x

  • Hallemos P(x) : Q(x)

  • x3 + 4.x2 - 5 x3 4.x2 5

  • ------------------ = ---- + ------ + ---- = x2 + 4.x– 5/x

  • x x x x

  • El resultado no es ni un monomio ni un polinomio.


Ejemplo 2 de divisi n de polinomios

Ejemplo_2 de división de polinomios

  • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5

  • y Q(x) = x+ 5

  • Hallemos P(x) : Q(x)

  • 1.-Están ya ambos reducidos.

  • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.

  • 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x.

  • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:


Divisi n de polinomios

  • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5

  • x2

  • Pues x3 : x = x2

  • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5

  • - x3 - 5.x2 x2

  • Pues se multiplica x2. (x+5)

  • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.


Divisi n de polinomios

  • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5

  • - x3 - 5. x2 x2

  • - x2 - 5

  • Se repite las operaciones:

  • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5

  • - x3 - 5. x2 x2 – x + 5

  • - x2 - 5

  • x2 + 5.x - 5

  • 5.x - 5

  • - 5.x - 25

  • - 30


Divisi n de polinomios

  • 5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x+ 5) se habrá terminado la división.

  • c(x) = x2 - x + 5

  • r(x) = - 30

  • 6.- Se comprueba que

  • D(x) = d(x).c(x)+r(x)

  • x3 + 4.x2 - 5 = (x+ 5).(x2 - x + 5) + (-30)

  • x3 + 4.x2 - 5 = x3 - x2 + 5.x + 5.x2 - 5.x + 25 -30

  • x3 + 4.x2 - 5 = x3 + 4.x2 - 5


Ejemplo 3 de divisi n de polinomios

Ejemplo 3 de división de polinomios

  • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5

  • y Q(x) = x2 + 5

  • Hallemos P(x) : Q(x)

  • 1.-Están ya ambos reducidos.

  • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente.

  • 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos.

  • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:


Divisi n de polinomios

  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

  • x

  • Pues x3 : x2 = x

  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

  • - x3 - 5.x x

  • Pues se multiplica x. (x2 +5)

  • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.


Divisi n de polinomios

  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

  • - x3 - 5.x x

  • 4.x2 - 7.x + 5

  • Se repite las operaciones:

  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

  • - x3 - 5.x x + 4

  • 4.x2 - 7.x + 5

  • - 4.x2 - 20

  • - 7.x - 15


Divisi n de polinomios

  • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5

  • - x3 - 5.x x + 4

  • 4.x2 - 7.x + 5

  • - 4.x2 - 20

  • - 7.x - 15

  • 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la división.

  • C(x) = x+4

  • R(x) = - 7.x – 15

  • 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)


Divisi n de polinomios

  • REGLA DE RUFFINI

  • Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa:

  • 1.‑ Se reduce el dividendo.

  • 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente.

  • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros.

  • 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros.

  • 5.-Se coloca a la izquierda el valor del número a.

  • 6.-Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini.

  • 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división.

  • 8.- Se puede comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá:

  • D(x) = d(x).c(x) + r(x).


Ejemplo 1 de divisi n por ruffini

Ejemplo_1 de división por Ruffini

  • Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3

  • 1 4 0 - 5

  • +

  • 3 3 21 63

  • 1 7 2158

  • C(x) = 1.x2 + 7.x+ 21

  • R(x) = 58

  • Podemos comprobar la división:

  • (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x+ 21) + 58


Ejemplo 2 de divisi n por ruffini

Ejemplo_2 de división por Ruffini

  • Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5

  • 1 4 0 - 5

  • +

  • - 5 - 5 5 - 25

  • 1 - 1 5- 30

  • C(x) = 1.x2 - 1.x+ 5

  • R(x) = - 30

  • Podemos comprobar la división:

  • (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x+ 5) + (- 30)


Ejemplo 3 de divisi n por ruffini

Ejemplo_3 de división por Ruffini

  • Sea ( 4.x3 + 5.x- 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2

  • 4 0 5 - 3

  • +

  • - 2 - 8 16 - 42

  • 4 - 8 21- 45

  • C(x) = 4.x2 - 8.x+ 21

  • R(x) = - 45

  • Podemos comprobar la división:

  • ( 4.x3 + 5.x- 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x+ 21) + (- 45)


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