1 / 50

FUNGSI

STRUKTUR DISKRIT. K-8. FUNGSI. Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia. DEFINISI FUNGSI. Relasi biner f dari himp A ke himp B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B .

velma
Download Presentation

FUNGSI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. STRUKTUR DISKRIT K-8 FUNGSI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia Struktur Diskrit

  2. DEFINISI FUNGSI RelasibinerfdarihimpAkehimpBmerupakansuatufungsijikasetiapelemendidalamAdihubungkandengantepatsatuelemendidalamB. Notasi : JikafadalahfungsidariAkeBkitamenuliskanf : AB yang artinyafmemetakanAkeB. Struktur Diskrit

  3. DEFINISI FUNGSI • Adisebutdaerahasal (domain) darifdanBdisebutdaerahhasil(codomain) darif. • Nama lain untukfungsiadalahpemetaanatautransformasi. • Kita menuliskanf(a) = bjikaelemenadidalamAdihubungkandenganelemenbdidalamB. Struktur Diskrit

  4. DEFINISI • Jikaf(a) = b, makabdinamakanbayangan (image) dariadanadinamakanpra-bayangan (pre-image) darib. • Himpunanyang berisisemuanilaipemetaanfdisebutjelajah (range) darif. Perhatikanbahwajelajahdarifadalahhimpunanbagian (mungkinproper subset) dariB. Struktur Diskrit

  5. DEFINISI • Fungsiadalahrelasi yang khusus: • TiapelemendidalamhimpunanAharusdigunakanolehprosedurataukaidah yang mendefinisikanf. • Frasa “dihubungkandengantepatsatuelemendidalamB” berartibahwajika (a, b) fdan (a, c) f, makab = c. Struktur Diskrit

  6. PenyajianFungsi • Himpunanpasanganterurut. Sepertipadarelasi. • Formula pengisiannilai (assignment). Contoh: • f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan • f(x) = 1/x. • Kata-kata, Contoh: • “fadalahfungsi yang memetakanjumlah bit 1 didalamsuatustringbiner”. Struktur Diskrit

  7. PenyajianFungsi • Kode program (source code) Contoh: Fungsimenghitung |x| • function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; Struktur Diskrit

  8. Contoh 1: • Relasif = {(1, u), (2, v), (3, w)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah • fungsidariAkeB. • Di sinif(1) = u, f(2) = v, danf(3) = w. • Daerah asaldarifadalahAdandaerahhasiladalahB. • Jelajahdarifadalah {u, v, w}, yang dalamhalinisamadenganhimpunan B. Struktur Diskrit

  9. Contoh 2: • Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsidariAkeB, • meskipunumerupakanbayangandariduaelemenA. • Daerah asalfungsiadalahA, daerahhasilnyaadalahB, dan • jelajahfungsiadalah {u, v}. Struktur Diskrit

  10. Contoh 3: • Relasif = {(1, u), (2, v), (3, w)} dariA = {1, 2, 3, 4} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsi, • karenatidaksemuaelemenAdipetakankeB. Struktur Diskrit

  11. Contoh 4: • Relasif = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsi, • karena1 dipetakankeduabuahelemenB, yaituudanv. Struktur Diskrit

  12. Contoh 5: Misalkanf : Z Zdidefinisikanolehf(x) = x2. Daerah asaldandaerahhasildarif adalahhimpunanbilanganbulat, danjelajahdarifadalahhimpunanbilanganbulattidak-negatif. Apakahfmerupakanfungsi ? Struktur Diskrit

  13. DEFINISI • Fungsifdikatakansatu-ke-satu (one-to-one) atauinjektif (injective) jikatidakadaduaelemenhimpunanA yang memilikibayangansama. Struktur Diskrit

  14. Contoh 6: • Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w, x} adalah fungsisatu-ke-satu, • Tetapirelasif = {(1, u), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsisatu-ke-satu, • karenaf(1) = f(2) = u. Struktur Diskrit

  15. Contoh 7: Misalkanf : Z Z. Tentukanapakah a. f(x) = x2 + 1 dan b. f(x) = x – 1 merupakanfungsisatu-ke-satu ? Struktur Diskrit

  16. JawabContoh 7: • a. f(x) = x2 + 1 adalah bukanfungsisatu-ke-satu, • karenauntukduax yang bernilaimutlaksamatetapitandanyaberbedanilaifungsinyasama, misalnyaf(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. • b. f(x) = x – 1 adalah fungsisatu-ke-satu • karenauntukab, makaa – 1 b – 1. • Misaluntukx = 2, f(2) = 1 dan untukx = -2, f(-2) = -3. Struktur Diskrit

  17. DEFINISI • Fungsifdikatakandipetakanpada (onto) atausurjektif (surjective) jikasetiapelemenhimpunanBmerupakanbayangandarisatuataulebihelemenhimpunanA. • Dpl, seluruhelemenB merupakanjelajahdarif. FungsifdisebutfungsipadahimpunanB. Struktur Diskrit

  18. Contoh 8: • Relasif = {(1, u), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah bukanfungsipada • karenawtidaktermasukjelajahdarif. • Relasif = {(1, w), (2, u), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsipada • karenasemuaanggotaBmerupakanjelajahdarif. Struktur Diskrit

  19. Contoh 9: Misalkanf : Z Z. Tentukanapakah a. f(x) = x2 + 1 dan b. f(x) = x – 1 merupakanfungsipada ? Struktur Diskrit

  20. JawabContoh 9: • a. f(x) = x2 + 1 adalah bukanfungsipada, • karenatidaksemuanilaibilanganbulatmerupakanjelajahdarif. • b. f(x) = x – 1 adalah fungsipada • karenauntuksetiapbilanganbulaty, selaluadanilaix yang memenuhi, yaituy = x – 1 akandipenuhiuntukx = y + 1. Struktur Diskrit

  21. FUNGSI BIJEKTIF • Fungsifdikatakanbijektif(bijection) jikaf: • fungsisatu-ke-satudanjuga • fungsipada. • Contoh 10 : • Relasif = {(1, v), (2, w), (3, u)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsi yang bijektif, • karenafadalahfungsisatu-ke-satumaupunfungsipada. Struktur Diskrit

  22. Contoh 11: f : Z Z. Fungsididefinisikanf(x) = x – 1 apakahf merupakanfungsibijektif ? Jawab : f merupakanfungsibijektif karenafadalahfungsisatu-ke-satumaupunfungsipada. Struktur Diskrit

  23. FUNGSI INVERS • JikafadalahfungsibijektifdariAkeB, makakitadapatmenemukanfungsiinversdarif. • Inversdarifungsidilambangkandenganf –1. MisalkanaadalahanggotahimpunanAdanbadalahanggotahimpunanB, maka f -1(b) = ajikaf(a) = b. Struktur Diskrit

  24. FUNGSI INVERS • Fungsi yang bijektifseringdinamakanjugafungsi yang invertible (dapatdibalikkan), karenakitadapatmendefinisikanfungsiinvers-nya. • Sebuahfungsidikatakannot invertible (tidakdapatdibalikkan) jikaiabukanfungsi yang bijektif, karenafungsiinversnyatidakada. Struktur Diskrit

  25. Contoh 12: Relasif = {(1, u), (2, w), (3, v)} dariA = {1, 2, 3} keB = {u, v, w} adalah fungsiyang bijektif. Inversfungsif adalah f -1= {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} merupakanfungsi. Jadi, fadalahfungsiinvertible. Struktur Diskrit

  26. Contoh 13: Tentukanfungsiinversdarif(x) = x+ 1. Jawab : Fungsif(x) = x+1 adalahfungsi yang bijektif, jadifungsiinversnyatersebutada. Misalkanf(x) = y, sehinggay = x+ 1, makax = y– 1 f-1(y) = y– 1. Jadi, fungsiinversnyaadalahf-1(x) = x– 1. Struktur Diskrit

  27. FungsiKomposisi Komposisidariduabuahfungsi. MisalkangadalahfungsidarihimpunanAkehimpunanB, danfadalahfungsidarihimpunanBkehimpunanC. Komposisifdang, dinotasikandenganfg, adalahfungsidariAkeC yang didefinisikanoleh (fg)(a) = f(g(a)) Struktur Diskrit

  28. Contoh 14 : Diberikanfungsig : A Bdengan g = {(1, u), (2, v), (3, v)}, A= {1, 2, 3} dan B= {u, v, w}, sertafungsi f : B C dengan f = {(u, y), (v, x), (w, z)}, B = {u, v, w} dan C= {x, y, z}. MakaFungsikomposisidariAkeCadalah fg = {(1, y), (2, x), (3, x) } Struktur Diskrit

  29. Contoh 15 : Diberikansuatufungsif(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukanfg dangf . Penyelesaian: (i) (fg)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2+ 1 – 1 = x2. (ii) (gf)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 –2x + 2. Struktur Diskrit

  30. BeberapaFungsiKhusus 1. FungsiFloordanCeiling Misalkanx adalahbilanganriil, berartixberadadiantaraduabilanganbulat. Fungsifloordari x: x menyatakannilaibilanganbulatterbesar yang lebihkecilatausamadenganx. Struktur Diskrit

  31. BeberapaFungsiKhusus Fungsiceilingdarix: x menyatakannilaibilanganbulatterkecil yang lebihbesaratausamadenganx. Dpl, fungsifloormembulatkanxkebawah, sedangkanfungsiceilingmembulatkanxkeatas. Struktur Diskrit

  32. Contoh 16 : Beberapacontohnilaifungsifloordanceiling: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = …. 4.8 = …. – 0.5 = …. – 0.5 = …. –3.5 = …. –3.5 = …. Struktur Diskrit

  33. Contoh 17 : 132/8 = 17 byte. Padakomputer, data dikodekandalamuntaianbyte, satubyteterdiriatas 8 bit. Jikapanjang data 132 bit, makajumlahbyte yang diperlukanuntukmerepresentasikan data adalah : Bahwa 17  8 = 136 bit, sehinggauntukbyte yang terakhirperluditambahkan 4 bit ekstra agar satubytetetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkanuntukmenggenapi 8 bit disebutpadding bits). StrukturDiskrit

  34. BeberapaFungsiKhusus 2. Fungsi modulo Misalkanaadalahsembarangbilanganbulatdanmadalahbilanganbulatpositif. a mod mmemberikansisapembagianbilanganbulatbilaadibagidenganm a mod m = rsedemikiansehinggaa = mq + r, dengan 0 r < m. StrukturDiskrit

  35. Contoh 18 : Beberapacontohfungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 10 = … 0 mod 5 = …. –25 mod 7 = …. (sebab –25 = 7  (–4) + 3 ) StrukturDiskrit

  36. BeberapaFungsiKhusus 3. FungsiFaktorial StrukturDiskrit

  37. BeberapaFungsiKhusus 4. FungsiEksponensial Untukkasusperpangkatannegatif,  StrukturDiskrit

  38. BeberapaFungsiKhusus 5. FungsiLogaritmik berbentuk StrukturDiskrit

  39. FungsiRekursif • Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. • Contoh: n! = 1  2  …  (n – 1) n = (n – 1)! n. StrukturDiskrit

  40. FungsiRekursif Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis • Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. (b) Rekurens • Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus menuju ke nilai awal (basis). StrukturDiskrit

  41. Contoh 19 Basis : n! = 1 Jikan = 0 Rekurens: n! = n x (n-1)! Jikan > 0 StrukturDiskrit

  42. AlgoritmaFaktorialdarin Fakt (n) IF n < 1 THEN Fakt 1 ELSE Fakt  n * Fakt (n -1) END IF; Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  43. 4 3 2 1 4 3 2 SimulasiKasus 1 : 4!....? 24 * 6 * 2 * 1 Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  44. AlgoritmaIteratifnya • Faktorialdarin INPUT n fak 1 FOR j = 1 TO n fak  fak + j NEXT J OUTPUT fak Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  45. Contoh 20 : • JumlahnsukupertamabilanganAsli sum (n) IF n < 2 THEN sum 1 ELSE sum  n + sum (n -1) END IF; Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  46. AlgoritmaIteratifnya INPUT n s 0 FOR i = 1 TO n s  s + i NEXT i OUTPUT s Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  47. AlgoritmaIteratifnya • Denganpwngulangan WHILE-DO INPUT n s 0 i  1 WHILE i≤n DO s  s + i i  i + 1 END WHILE OUTPUT s Struktur Data & Algoritma - Rekursif

  48. Contoh 21 : Contoh lain fungsirekursif Struktur Diskrit

  49. Contoh 22 : Fungsi Fibonacci : f(6) = ? f(40) = ? Berapa kali pemanggilanfungsirekursifnya ? Struktur Diskrit

  50. Referensi : • Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science5th Edition, Mc Graw-Hill, 2003. • Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, 2009. • RinaldiMunir, MatematikaDiskritPenerbitInformatika, Bandung. Struktur Diskrit

More Related