Dynamika bryły sztywnej

1. Dynamika bryły sztywnej Materiały uzupełniające

2. Dynamika ciała sztywnego Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy Przemieszczenie kątowe θ Prędkość kątowa Przyspieszenie kątowe Moment bezwładności I Moment siły Praca Energia kinetyczna • Przemieszczenie x • Prędkość • Przyspieszenie • Masa M • Siła • Praca • Energia kinetyczna

3. Dynamika ciała sztywnego c.d. Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy Moc Moment pędu • Moc • Pęd

4. Wielkości wymienione w poprzedniej tabeli: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, przemieszczenie kątowe, prędkość i przyspieszenie kątowe, moment siły, moment pędu są - wektorami. Masa, moment bezwładności, energia kinetyczna, praca – są skalarami. Dynamika ruchu obrotowego nie wprowadza nowych pojęć, jej parametry θ, ω, α odpowiadają parametrom x, v i a ruchu postępowego.

5. Odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment 𝛕 siły F, działającej na punkt materialny: 𝛕 r F

6. Odpowiednikiem pędu jest moment L pędu : L p r θ

7. Dynamika ciała sztywnego zajmuje się ruchem układu punktów materialnych tworzących ciało sztywne, które może się obracać wokół osi pod wpływem przyłożonej siły. Położenie punktu P względem osi obrotu, w którym przyłożona jest siła, definiuje wektor r. Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z F y r P x

8. Moment bezwładności I W dynamice ruchu obrotowego (obrót ciała sztywnego) masę ciała zastępujemy układem elementów masy mi rozłożonych w przestrzeni, odległych o ri od wybranej osi obrotu – zastępujemy sumą iloczynów pomnożonych przez kwadrat odległości. Moment bezwładności definiujemy następująco:

9. Przykład 1 Mierząc energie poziomów rotacyjnych cząsteczki fluorowodoru HF stwierdzono, że jej moment bezwładności I względem środka masy 0 wynosi 1.37•10-47 kg•m2. Określić odległość r między dwoma atomami H i F, jeżeli odpowiednie masy wynoszą: mH = 1.67 • 10-27 kg mF = 3.17 • 10-27 kg mF mH rF rH 0

10. Moment bezwładności Położenie środka masy, korzystne jest umieszczenie w punkcie o współrzędnej równej zero. Odległość atomów H i F

11. Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi Rozwiązując otrzymujemy:

12. Przykład 2 Obliczyć energię kinetyczną E ruchu obrotowego pokazanego na rysunku łożyska kulkowego, którego wewnętrzny wałek o promieniu r i długości h obraca się z prędkością kątową ω, a n kulek toczy się bez poślizgu. Wszystkie elementy łożyska wykonane są z materiału o gęstości ρ. Promień każdej kulki wynosi a. r a Chwilowa oś obrotu kulki o promieniu a

13. Energia kinetyczna wewnętrznego wałka o momencie bezwładności I0 Prędkość liniowa kulki i walca są równe w punkcie styku. prędkość kątowa kulki Energię kinetyczną kulki liczymy względem chwilowej osi obrotu, promień obrotu r + 2a

14. Moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu Ik i energia Ek

15. Całkowita energia kinetyczna łożyska Efektywny moment bezwładności łożyska

16. Przykład 3 Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się w polu siły ciężkości wewnątrz walca o promieniu R. znaleźć równanie ruchu walca wychylonego w chwili początkowej z położenia równowagi o kąt φ0. Kiedy to o trzymane równanie można w prosty sposób rozwiązać? O R O’ a φ

17. Środek małego walca porusza się względem osi obrotu O, po torze będącym wycinkiem kołowym o promieniu R – a z chwilową prędkością kątową ω1 i z prędkością liniową v. Mały walec względem osi O’ porusza się z prędkością kątową ω2 .

18. Całkowita energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi O i względem osi O’. I – moment bezwładności względem osi O, I0 – względem osi)’

19. Całkowita energia kinetyczna wynosi: Energia potencjalna:

20. Na tej podstawie można napisać

21. Otrzymujemy równanie ruchu, trudne do rozwiązania jeżeli Otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego