Geometrie nieeuklidesowe

1. Geometrie nieeuklidesowe Agata Jagoda-Hacura

2. Geometria euklidesowa Cztery postulaty Euklidesa: • Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną linię prostą. • Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc prostą. • Odległość i punkt wyznaczają okrąg. • Wszystkie kąty proste są równe.

3. Piąty postulat Euklidesa • Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

4. Alternatywna forma piątego postulatu • Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej.

5. Postulaty Euklidesa • Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną linię prostą. • Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc prostą. • Odległość i punkt wyznaczają okrąg. • Wszystkie kąty proste są równe. • Przez każdy punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej.

6. A gdyby tak zaprzeczyć V. postulatowi …? Girolamo Saccheri (1733) Twórcy geometrii nieeuklidesowej Janos Bolyai (1823) Nicolai Łobaczewski (1826) Carl Friedrich Gauss (1792)

7. Trójkąt o wszystkich kątach prostych… Trasa wycieczki podróżnika: Bokote (Zair) biegun południowy Lerida (Kolumbia)

8. Geometrie nieeuklidesowe Jest wiele geometrii nieeuklidesowych. Wyróżniamy wśród nich m.in. : • Geometrię sferyczną (eliptyczną) • Geometrię hiperboliczną • Geometrię Riemanna

9. Geometria sferyczna Podstawowe pojęcia: • Płaszczyzna – sfera (w pojęciu euklidesowym) • Punkt – para dwóch punktów antypodycznych przestrzeni euklidesowej: {A, A’} • Odcinek AB – łuk wielkiego okręgu łączący punkty A i B • Prosta – wielki okrąg sfery

10. Przecięcie dwóch prostych Każde dwie proste eliptyczne przecinają się w dokładnie jednym punkcie! Proste rozłączne nie istnieją ! (Nie ma prostych równoległych !)

11. Inne własności w geometrii sferycznej • Pole trójkąta ABC: • Suma kątów w trójkącie jest większa od 180°

12. Inne własności w geometrii sferycznej • Pole trójkąta ABC: • Suma kątów w trójkącie jest większa od 180° • Górne ograniczenie: • Suma kątów w trójkącie jest mniejsza od 3π = 540°

13. Geometria hiperboliczna Podstawowe pojęcia: • Płaszczyzna – koło bez brzegu • Punkt – punkt płaszczyzny • Prosta – łuk okręgu prostopadłego do brzegu koła. • Odcinek AB – fragment łuku okręgu prostopadłego do brzegu koła zawarty pomiędzy punktami A i B Model Poincarego geometrii hiperbolicznej

14. Proste przecinające się i proste równoległe Przez punkt nie leżący na prostej przechodzi więcej niż jedna prosta do niej równoległa!

15. Inne własności w geometrii hiperbolicznej • Suma kątów w trójkącie jest mniejsza od 180°. • Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do obu jego ramion. • Istnieje trójkąt o kątach równych 0°. W trójkącie tym wszystkie boki są do siebie równoległe.

16. Geometria nieeuklidesowa w sztuce Model Poincarego stał się inspiracją dla M.Eschera

17. Bibliografia • W. Sadowski "FEMME FATALE. Trzy opowieści o królowej nauk" • K.Ciesielski, Z.Pogoda„Bezmiar matematycznej wyobraźni” • S. Kulczyński „Geometria nieeuklidesowa” • www.wikipedia.pl