Realizat de prof. TIT CUPRIAN
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 68

GEOMETRIE PowerPoint PPT Presentation


  • 129 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Realizat de prof. TIT CUPRIAN. GEOMETRIE. CLASA a VI-a. Semestrul I + II. Capitole:. 1. Figuri si corpuri geometrice. 2. Dreapta. 3. Unghiuri. 4. Congruenta triunghiurilor. 5. Perpendicularitate. 6. Paralelism. 7. Proprietati ale triunghiurilor. 8. Patrulatere.

Download Presentation

GEOMETRIE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Geometrie

Realizat de prof. TIT CUPRIAN

GEOMETRIE

CLASA a VI-a

Semestrul I + II

Capitole:

1. Figuri si corpuri geometrice

2. Dreapta

3. Unghiuri

4. Congruenta triunghiurilor

5. Perpendicularitate

6. Paralelism

7. Proprietati ale triunghiurilor

8. Patrulatere

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

FIGURI SI CORPURI GEOMETRICE

.


Geometrie

INSTRUMENTE GEOMETRICE

1. Rigla gradata = se utilizeaza pentru constructia de drepte si segmente de dreapta de lungimi date si pentru masurarea lungimilor segmentelor de dreapta.

2. Compas = se utilizeaza pentru constructia de cercuri si de arcuri de cerc; de asemenea este folosit la constructia triunghiurilor si a unor linii importante in triunghi.

3. Echerul = este folosit pentru verificarea masurilor unor unghiuri date dar si pentru constructia unghiurilor de 30, 45, 60, 90 de grade.

4. Raportorul = este folosit pentru constructia si verificarea masurii unui unghi dat.

.


Geometrie

FIGURI GEOMETRICE

Prezentare prin descriere si desen

Linia franta = este formata din reuniunea a mai multor segmente de dreapta.

Linia curba = este formata din reuniunea de arce de cerc si de segmente de dreapta.

Triunghiul = este figura geometrica formata din trei laturi.

Cercul

Patrulaterul = este figura geometrica formata din patru laturi.

Unghiul

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

CORPURI GEOMETRICE

CONUL

Varf

Varf

CUBUL

Muchie

Suprafaţa conică

Faţă

Varf

PARALELIPIPEDUL DREPTUNGHIC

PIRAMIDA

Muchie

Faţă

CILINDRUL

SFERA

Suprafaţa cilindrică

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

DESFĂŞURAREA PARALELIPIPEDULUI DREPTUNGHIC

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

IDENTIFICAREA UNOR FIGURI GEOMETRICE PLANE PE FEŢELE CORPURILOR GEOMETRICE

Triunghi

Patrat

Dreptunghi

Cerc

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

DREAPTA

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

PUNCT, DREAPTĂ, PLAN

1. Punctul este figura geometrică ce se aseamănă cu o urmă lăsată de varful unui creion. Punctul nu are dimensiune.

Se reprezintă in desen astfel:

A

Se notează cu litere mari de tipar:

2. Dreapta este figura geometrică ce se aseamănă cu un fir perfect intins si fără margini. Dreapta are o singură dimensiune: lungimea.

Se reprezintă in desen astfel:

d

A

B

Se notează cu litere mici de mană

sau dacă există pe dreaptă două puncte, de ex. AB:

Se reprezintă in desen astfel:

3. Planul este figura geometrică ce se aseamănă cu o panză perfect intinsă si fără margini. Planul are două dimensiuni: lungimea si lăţimea.

A

C

Se notează cu litere mici de mană, greceşti:

B

Sau daca există trei puncte in plan, de ex. (ABC):

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

SEMIDREAPTĂ, SEGMENT, SEMIPLAN

A

B

A

O

Semidreapta este dreapta mărginită laun capăt.

Segmentul de dreaptă este dreapta mărginită la ambele capete.

O = originea semidreptei.

Segmentul de dreaptă se notează cu [AB] dacă punctele A si B aparţin segmentului sau (AB) dacă punctele A şi B nu aparţin segmentului.

Semidreapta se notează: [OA dacă punctul O aparţine semidreptei sau (OA dacă punctul O nu aparţine semidreptei.

O dreaptă imparte un plan in două semiplane:

A

d

Un punct nu poate fi decat intr-un singur semiplan.

Se poate nota astfel: [dA sau (dA.

Semiplan

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

POZIŢIILE RELATIVE ALE UNUI PUNCT FAŢĂ DE O DREAPTĂ

A

d

B

In figura de mai sus, punctul A se află pe dreapta d;

Scriem Ad si citim: punctul A apartine dreptei d.

In figura de mai sus, punctul B nu se află pe dreapta d;

Scriem Bd si citim: punctul B nu apartine dreptei d.

Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una.

Mai multe puncte ce se afla pe o dreapta se numesc puncte coliniare.

B

A

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE

1. Drepte concurente.

A

Doua drepte sunt concurente daca au un punct comun.

d2

d1

d1d2 = {A}

d2

2. Drepte identice.

d1

Doua drepte sunt identice daca au doua puncte distincte comune.

A

B

d1d2 = {A,B}, A  B.

3. Drepte paralele.

Doua drepte se numesc paralele daca nu au nici un punct comun.

d1

d1d2 = 

d2

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

LUNGIMEA UNUI SEGMENT. SEGMENTE CONGRUENTE. MIJLOCUL UNUI SEGMENT

A

B

Distanta de la punctul A la punctul B este lungimea segmentului [AB].

Lungimea segmentului [AB] se noteaza cu AB.

Tot cu AB se noteaza si lungimea segmentului (AB).

Doua segmente de lungimi egale se numesc segmente congruente.

B

Mijlocul unui segment este punctul ce imparte segmentul dat in doua segmente congruente.

Daca AB = CD = 1,5 cm

1,5 cm

A

Atunci segmentele AB si CD sunt congruente.

A

B

M

C

1,5 cm

Daca AM = MB, atunci:

[AB]  [CD]

M este mijlocul lui [AB].

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

D

.


Geometrie

UNGHIURI

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

UNGHIURI

DEFINIŢIE. NOTAŢII. ELEMENTE

D e f i n i t i e . Figura geometrica formata din doua semidrepte care au aceeasi origine se numeste u n g h i .

Unghiurile se noteaza:

A

AOB

Laturile unghiului

O

Interiorul unghiului

sau

AOB

B

Exteriorul unghiului

Varful unghiului

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

MĂSURAREA UNGHIURILOR

Si unghiurile se masoara! Ceea ce se masoara este ,,deschiderea” dintre laturile unghiului. (in nici un caz lungimile laturilor).

Unitatea de masura a unghiului este gradul sexagesimal.

Instrumentul de masura se numeste raportorul.

Submultiplii gradului sunt: 10 = 60` (60 de minute). 1` = 60`` (60 de secunde).

Definitie. Doua unghiuri cu masurile egale se numesc unghiuri congruente.

O`

Daca m(<AOB) = m(<A`O`B`)

A

atunci unghiurile sunt congruente:

400

400

O

AOB  A`O`B`

B

B`

A`

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

CLASIFICAREA UNGHIURILOR

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

1. Unghi nul

2. Unghi ascutit

A

O

A

B

m(<AOB) = 00

00 < m(<AOB) < 900

O

3. Unghi drept

B

4. Unghi obtuz

B

m(<AOB) = 900

B

900 < m(<AOB) < 1800

O

A

5. Unghi plin (sau cu laturile in prelungire)

O

A

m(<AOB) = 1800

B

O

A

.


Geometrie

UNGHIURI ADIACENTE. BISECTOAREA

A

Definitie. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul unghiului si formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri congruente.

O

B

A

M

O

C

Doua unghiuri se numesc adiacente daca au varful comun, o latura comuna iar celelalte doua laturi sunt respectiv de o parte si de cealalta a laturii comune.

B

AOM  MOB

OM = bisectoarea unghiului AOB

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

UNGHIURI COMPLEMENTARE SI SUPLEMENTARE

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

B

C

B

A

C

O

O

A

Unghiurile AOB si BOC sunt complementare daca suma masurilor lor este egala cu 900.

Unghiurile AOB si BOC sunt suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 1800.

.


Geometrie

UNGHIURI OPUSE LA VARF

B

Definitie. Doua unghiuri cu acelasi varf se numesc opuse la varf daca laturile unuia sunt in prelungirea laturilor celuilalt.

C

O

Unghiurile AOC si BOD sunt opuse la varf si sunt congruente.

A

D

Unghiul BOC este suplementul unghiului AOC sau a unghiului BOD.

Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este de 3600.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI

INMULTIREA

SCADEREA

ADUNAREA

12015`35`` 8

70012`20``– 34035`40``

62045`51``+ 43039`48``

69071`80``– 34035`40``

960120`280``=9804`40``

105084`99``=

Pentru ca:

106025`39``

280``=4`40``; 120`=20.

35036`40``

IMPARTIREA

120

61012`5``:5 =

14`

25``

610:5=120 si rest 10=60`

(12`+60`):5=72`:5=14` si rest 2`=120``

(5``+120``):5=125``:5=25``

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

CONGRUENŢA TRIUNGHIURILOR

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

TRIUNGHI. DEFINIŢIE. ELEMENTE

Definitie.Se numeste triunghi o figura geometrica ce rezulta dintr-o reuniune ca [AB][BC][CA], unde A, B, C sunt puncte necolineare.

C

Varf

Latura

Interior

Unghi

A

B

Triunghiul se noteaza astfel: ABC.

Triunghiul are:

3 varfuri; 3 laturi; 3 unghiuri.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR

Triunghi scalen

Triunghi isoscel

Triunghi echilateral

Are laturile de lungimi diferite.

Are doua laturi de lungimi egale.

Are toate cele trei laturi egale.

Triunghi ascutitunghic

Triunghi dreptunghic

Triunghi obtuzunghic

Are un unghi drept.

Are un unghi obtuz.

Are toate unghiurile ascutite.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

PERIMETRUL TRIUNGHIULUI

Definitie. Suma lungimilor laturilor unui triunghi se numesteperimetrultriunghiului.

A

Conditia de existenta a unui triunghi:

a+b>c; a+c>b; b+c>a

Perimetrul triunghiului ABC:

b

c

PABC = a + b + c

Semiperimetrul triunghiului:

C

B

a

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI

Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura):

A

Unghi exterior

Atunci avem relatiile:

 = 1800– 

 =  + 

 +  +  = 1800.

B

C

D

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR

C a z u l L.U.L.

Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.

Construiti un triunghi cu doua laturi de 5 si respectiv 4 cm si masura unghiului cuprins intre ele de 700.

Etapele de lucru:

1. Construiti cu rigla un segment de 5cm.

4 cm.

2. Construiti un unghi de 700, una din laturi fiind de 5 cm.

3. Luati pe cea de-a doua latura un segment de 4cm.

700

4. Uniti extremitatile celor doua laturi construite.

5 cm.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR

C a z u l U.L.U.

Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.

Construiti un triunghi cu o latura de 5cm si doua unghiuri alaturate laturii cunoscute, de 600 si respectiv 750.

Etapele de lucru:

1. Construiti cu rigla un segment de 5 cm.

2. Construiti un unghi de 600 alaturate laturii de 5cm.

3. Construiti la cealalta extrema a laturii date, un unghi de 750.

4. Identificati punctul de intersectie a dreptelor construite.

750

5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm.

600

5 cm.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILOR

C a z u l L.L.L.

Avem nevoie de o rigla gradata si un compas.

Construiti un triunghi cu lungimile laturilor de 5, 6 si 7 cm.

Etapele de lucru:

1. Construiti cu ajutorul riglei o latura, spre exemplu, de 5 cm.

2. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 6 cm, si cu varful in A trasati un arc de cerc.

6 cm.

7 cm.

3. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 7 cm, si cu varful in B trasati un arc de cerc.

4. Identificati punctul de intersectie al arcelor de cerc.

5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm.

5 cm.

A

B

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

CAZURILE DE CONGRUENŢĂ

CAZUL L.U.L.

CAZUL U.L.U.

CAZUL L.L.L.

Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate doua laturi si unghiul determinat de ele, respectiv congruente

Doua triunghiuri sunt congruente daca au toate laturile, respectiv congruente

Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate ei, respectiv congruente

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

ELEMENTE DE RAŢIONAMENT GEOMETRIC

demonstraţie = vine din limba latina: demonstratio = dovedire.

axiomă = vine din limba greaca: axioma = opinie, teza admisa.

teoremă = vine din limba greaca: theorema = examinare, cercetare.

ipoteză = este compus din doua cuvinte provenite din limba greaca: hypo = sub si thesis = punere.

premisă – vine din limba latina: praemissus = pus inainte, anterior.

concluzie = vine din limba latina: conclusio = incheiere.

O problema de geometrie este compusa din trei parti: ipoteza (datele problemei), concluzia (cerinta problemei) si demonstratia (rezolvarea problemei).

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PERPENDICULARITATE

Semestrul II

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

DREPTE PERPENDICULARE

Definitie. Doua drepte se numesc perpendiculare (ortogonale) daca la intersectia lor formeaza un unghi drept (de 900).

Doua drepte perpendiculare se pot construi cu ajutorul unui echer; urmariti figura din stanga.

Cum se arata pe figura ca dreptele sunt perpendiculare:

d1

Cum se scrie:

d1 d2

d2

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

DISTANŢA DE LA UN PUNCT LA O DREAPTĂ

A

Distanta de la un punct la o dreapta data este lungimea segmentului de dreapta perpendicular dus din punctul dat pe dreapta data.

Urmariti cu atentie cum se construieste ,,distanta” de la un punct la o dreapta cu ajutorul echerului.

O

Oblica fata de dreapta d este dreapta ce trece prin punctul A si un punct de pe dreapta d diferit de cel O.

d

oblica

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

CAZURILE DE CONGRUENŢĂ A TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE

Cazul C.I. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate o cateta si ipotenuza, respectiv congruente.

Cazul C.C. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au catetele respectiv congruente.

Cazul I.U. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate un unghi ascutit si ipotenuzele, respectiv congruente.

Cazul C.U. Doua triunghiuri dreptunghice sunt congruente daca au cate o cateta si un unghi ascutit, respectiv congruente.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

MEDIATOAREA UNUI SEGMENT

C O N S T R U C T I A M E D I A T O A R E I

Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a echerului

Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a compasului

Faza 1. Se masoara lungimea segmentului si se afla mijlocul acestuia;

Faza 1. Se construieste segmentul AB;

Faza 2. Cu ajutorul compasului, cu varful din A si din B, de o parte si de alta a segmentului se traseaza arce de cerc, fara a modifica raza compasului;

Faza 2. cu ajutorul echerului se construieste perpendiculara pe mijlocul segmentului;

Faza 3. Prin punctele de intersectie al arcelor de cerc se construieste o dreapta ce va fi mediatoarea segmentului dat.

B

A

A

M

B

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

PROPRIETATEA MEDIATOAREI

Teorema. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de extremitatile segmentului dat.

P

DEMONSTRATIE:

[PA][PB]

A

M

B

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

MEDIATOAREA INTR-UN TRIUNGHI

A

Punctul de intersectie al celor trei mediatoare se numeste centrul cercului circumscris triunghiului.

Daca OB = R (raza cercului circumscris), atunci avem:

O

R

B

C

Unde: a, b, c sunt lungimile celor trei laturi iar A este aria triunghiului.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

BISECTOAREA UNUI UNGHI

Constructia bisectoarei cu ajutorul raportorului

bisectoarea

1. Se construieste unghiul dat.

2.Cu ajutorul raportorului se masoara unghiul, masura se imparte la doi si se pune semnul in dreptul masurii injumatatite.

3. Cu ajutorul riglei se construieste semidreapta din varful unghiului ce va trece prin semnul masurii injumatatite.

Constructia bisectoarei cu ajutorul compasului

1. Se construieste unghiul dat.

2. Cu varful compasului in O se construieste un arc de cerc ce taie laturile unghiului in A si B.

A

M

3. Cu varful compasului in A si respectiv in B se construiesc doua arce de cerc, de raze egale, ce se vor intersecta in punctul M.

4. Cu rigla se construieste semidreapta ce pleaca din O si trece prim punctul M.

O

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

B

.


Geometrie

PROPRIETATEA BISECTOAREI

Teorema. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal departat de laturile unghiului dat.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, se afla in interiorul acestuia si il imparte in doua unghiuri adiacente congruente.

A

M

<AOM  <BOM

Bisectoarea este locul geometric al tuturor punctelor egal departate de laturile unghiului.

O

B

Daca: MA  OA

MB  OB atunci:

[MA]  [MB]

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

BISECTOAREA INTR-UN TRIUNGHI

Cele trei bisectoare intr-un triunghi se intersecteaza intr-un singur punct, O, numit centru cercului inscris in triunghi.

A

Daca AA` si BB` sunt bisectoare si se intersecteaza in punctul O, atunci si CO este bisectoarea unghiului BCA.

Daca r este raza cercului inscris in triunghiul ABC, atunci avem:

B`

C`

O

r

Unde A este aria triunghiului iar p este semiperimetrul triunghiului

C

B

A`

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PERPENDICULARE

Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare, sunt congruente.

Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare, sunt suplementare.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PARALELISM

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

DREPTE PARALELE

Definitie. Doua drepte diferite continute in acelasi plan, care nu au nici un punct

comun se numesc drepte paralele.

a

Scriem aceasta astfel: ab.

b

Si intelegem ca ab=

Daca acsibc, atunci:

c

a

b

ab

Axioma paralelelor.Printr-un punct dat, exterior unei drepte date, exista o singura paralela la dreapta data.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

CRITERII DE PARALELISM

a

Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiuri alterne interne congruente. Urmariti figura.

b

Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza patru perechi de unghiuri corespondente congruente. Urmariti figura(animatie morisca).

c

Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiurialterne externe congruente. Urmariti figura.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PARALELE

Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt congruente.

Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt suplementare.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIURILOR

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

SUMA MĂSURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI

A

d

TEOREMA. Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800.

1

2

Demonstratie:

  • Dreapta d este paralela cu dreapta BC;

  • Se formeaza unghiuri alterne interne congruente.

m(<B) = m(<A1)

m(<C) = m(<A2)

m(<A)+m(<B)+m(<C)= =m(<A)+m(<A1)+m(<A2)= =1800.

B

C

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI

Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura):

A

Unghi exterior

Atunci avem relatiile:

 = 1800– 

 =  + 

 +  +  = 1800.

B

C

D

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

INĂLŢIMEA INTR-UN TRIUNGHI

A

Inaltimea unui triunghi este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura opusa.

Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste ortocentrul triunghiului.

Intr-un triunghi dreptunghic, ortocentrul se afla in varful unghiului drept.

B`

C`

H

H

C

B

A`

Daca se cunoaste lungimea unei laturi, a, si inaltimea corespunzatoare acestei laturi, ha, atunci:

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

INĂLŢIMEA IN DIFERITE TRIUNGHIURI

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

ARIA UNUI TRIUNGHI

1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi (baza) si inaltimea , h, corespunzatoare lui b, atunci:

A

ha

b

hb

c

2. Daca intr-un triunghi ha, hb, hc sunt cele trei inaltimi corespunzatoare laturilor de lungimi a, b si c, atunci avem:

hc

C

a

B

D

aha = bhb = chc

Perimetrul: P = a + b + c

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

MEDIANA INTR-UN TRIUNGHI

A

Segmentul de dreapta care uneste varful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

B`

Intr-un triunghi, mediana il imparte in doua triunghiuri echivalente (de arii egale).

C`

G

Punctul de intersectie al medianelor se numeste centrul de greutate al triunghiului.

B

C

A`

Intr-un triunghi, medianele se intersecteaza intr-un punct ce se afla pe mediana la o treime fata de latura sau la doua treimi fata de varf, din lungimea medianei.

Exemplu:

Daca AA` = 12cm, atunci AG = 2/3 din 12 = 8cm.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂ

Daca avem un punct O si un punct A, atunci simetricul lui A fata de O este punctul A`, astfel incat punctele A, O, A` sa fie colineare si AO = OA`

Daca avem un punct A si dreapta d, atunci simetricul lui A fata de dreapta d este punctul A`, astfel incat AA`d, AA`d = {O}, AO = OA`.

A

A

O

O

d

A`

A`

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ISOSCEL

A

Are o singura axa de simetrie

  • Are doua laturi congruente: [AB]=[AC].

  • Unghiurile de la baza sunt congruente: <B<C

  • Bisectoarea unghiului de la varf este si mediana, si inaltime si mediatoare.

  • Bisectoarele unghiurilor de la baza, medianele si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente, sunt respectiv congruente.

C`

B`

  • De exemplu, inaltimile BB` si CC` sunt congruente.

  • Unghiurile de la baza sunt intotdeauna ascutite!

B

C

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ECHILATERAL

A

  • Are toate laturile congruente.

  • Are toate unghiurile congruente si egale cu 600.

600

  • Toate cele trei bisectoare (sau mediane, inaltimi) sunt congruente. Orice bisectoare este si mediana, si mediatoare, si inaltime.

600

600

  • Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie: cele trei bisectoare.

C

B

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

TRIUNGHIUL DREPTUNGHICPROPRIETATI

A

In orice triunghi dreptunghic, mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din lungimea acesteia.

300

B

C

M

Intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este jumatate din lungimea ipotenuzei.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHI

A

Segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi se numeste linia mijlocie.

TEOREMA: Linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia latura si jumatate din lungimea acesteia.

N

M

MN  BC

B

P

C

Daca M, N, P sunt mijloacele celor trei laturi ale ABC, atunci:

Perimetrul MNP este jumatate din perimetrul ABC

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PATRULATERE

Conform programei actuale (revizuite), acest capitol se va face in clasa a VII-a, sem. I

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PATRULATER CONVEX

Un patrulater se numeste convex daca, oricare ar fi o latura a sa, cele doua varfuri, nesituate pe latura considerata, se afla de aceeasi parte a dreptei in care este inclusa latura respectiva.

Definitia unui elev: Patrulaterul convex este acel patrulater in care diagonalele (ca segmente) nu se intersecteaza.

D

A

Exemplu de patrulater concav:

diagonalele

C

diagonala

B

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

PARALELOGRAMUL

Definitie. Se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse paralele, doua cate doua.

Laturile opuse

C

D

Unghiurile alaturate

A

B

Diagonalele

SUMA MASURILOR UNGHIURILOR UNUI PATRULATER CONVEX ESTE DE 3600.

Unghiurile opuse

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PARALELOGRAMUL - PROPRIETATI

D

C

Teorema. Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua.

O

Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua.

A

B

Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile alaturate sunt suplementare doua cate doua.

Teorema. Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza injumatatindu-se.

AO = OC si BO = OD

Orice paralelogram are un centru de simetrie: punctul de intersectie al diagonalelor – vezi animatia.

.

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009


Geometrie

DREPTUNGHIUL

D

C

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept (de fapt toate unghiurile sunt de 900).

O

A

B

PROPRIETATILE PARTICULARE DREPTUNGHIULUI:

1. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si deci toate sunt de 900.

2. Dreptunghiul are diagonalele congruente.

3. Dreptunghiul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

ROMBUL

D

Rombul este paralelogramul cu toate laturile congruente.

In afara de proprietatile generale ale unui paralelogram, rombul mai are in plus, urmatoarele proprietati:

A

O

C

Teorema. Toate laturile rombului sunt congruente.

Teorema. Intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare intre ele si sunt bisectoarele unghiurilor lui.

Rombul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).

B

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

PĂTRATUL

C

D

Patratul este dreptunghiul cu laturile consecutive congruente.

O

  • Intr-un patrat toate laturile sunt congruente.

A

B

  • Intr-un patrat toate unghiurile sunt congruente (de 900).

  • Intr-un patrat diagonalele au acelasi mijloc.

  • Intr-un patrat diagonalele sunt congruente.

  • Intr-un patrat diagonalele sunt perpendiculare untre ele.

  • Intr-un patrat diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui.

Rombul are patru axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

TRAPEZUL

C

D

Trapezul este patrulaterul convex care are numai doua laturi (opuse) paralele.

Baza mica.

Baza mare.

Diagonalele trapezului.

B

A

Unghiurile alaturate laturii neparalele sunt suplementare (suma lor este egala cu 1800).

Tit Cuprian – Sarichioi - 2009

.


Geometrie

TRANSFORMARILE PARALELOGRAMELOR

DREPTUNGHI

ROMB

PARALELOGRAM

PĂTRAT

.

.


Geometrie

VREAU SĂ MĂ MAI UIT INCĂ ODATĂ!

Sfarsit


  • Login