Funktionen

1. Funktionen Wanka Adrian 02.06.2005 Didaktik Seminar SS-05

2. Gliederung 1. Historisches 2. Einführung in Funktionen 3. Lineare Funktionen 4. Quadratische Funktionen

3. 1. Historisches A) Koordinatensystem Bereits 150 v. Chr. führte Hipparch eine Art Koordinatensystem ein zur Mittel der Ortsfestlegung. Eigentliche Begründer einer Mathematik mit Koordinaten sind Pierre de Fermat (1601 – 1665) sowie Rene Descartes (Cartesius, 1596 – 1650). Vollständiges Achsenkreuz findet sich erst bei Isaac Newton (1642 – 1727) wieder, die von Gottfried WilhelmLeibniz (1646 – 1716) verfeinert wurden und bis heute Gültigkeit besitzen.

4. B) Funktion Der Begriff der Funktion ist ein relativ junger, der erst mit der Einführung des Kartesischen Koordinatensystems aufkam. Die Notwendigkeit lag im wachsenden Interesse (verändernde Größen, gegenseitige Abhängigkeiten, etc.) an den Naturwissenschaften des 17. Jh. Leibniz gebrauchte den Begriff wohl zum ersten male 1673 in einer Handschrift, während dieser 1706 von Johann I Bernoulli (1667 – 1748) gedruckt wurde. Letzterer verstand unter einer Funktion bereits einen Term. Sein Schüler Leonhard Euler (1707 – 1783) führte 1735 die bis heute gültige Schreibweise f(x) ein.

5. 2. Einführung in Funktionen Problem eines Schülers ist die Fehlinterpretation eines Funktionsgraphen. Dies geschieht dadurch, dass Graphen als realistische Abbildung gesehen werden. Bsp.:

6. Diese Fehlinterpretationen sind sehr weit verbreitet (vor allem unter 12 -15 jährigen Schülern).Der Schüler muss erkennen und verstehen, dass sich der Funktionsgraph aus den gegebenen Konstanten und Variablen ergibt und eine realitätsnahe Ähnlichkeit eher zufälliger Natur ist. Dem kann bzw. muss man als Lehrer sofort entgegenwirken. Zahlreiche Beispiele sollten gezeigt und besprochen werden.

7. 3. Lineare Funktionen (8. Klasse) Am Ende der 8. Klasse müssen die Schülerinnen und Schüler den Funktionsbegriff verstanden haben und in der Lage sein, Lineare Funktionen erkennen und bestimmen zu können.

8. Möglicher Vorgang • Definition der Funktion • Funktionsgraphen erkennen und verstehen • Einführung der Funktionsgleichung y=mx+t • Arbeiten mit der Funktionsgleichung

9. Definition von Funktionen Gegeben seien zwei Mengen D und W. Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem Element der ersten Menge (der Definitionsmenge D) in eindeutiger Weise ein Element der zweiten Menge (der Wertemenge W) zuordnet. Das heißt, dass jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.

11. Sind auf den Bildern Funktionsgraphen dargestellt?

12. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Abhängigkeit der Größen x und y verstehen. Lt. Definition ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung. Je nach Art der Funktion gibt es verschiedene Möglichkeiten diese Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Größen festzulegen.

13. Erste Erfahrungen mit proportionalen Funktionen Auf dem Bauernmarkt verkauft ein Bauer Kartoffeln. Für einen 10 kg Sack verlangt er 2,50€. Schüler bekommt eine Wertetabelle vorgegeben, die mit dem Lehrer gemeinsam ausgefüllt wird:

14. Anstelle mit einer Tabelle kann man Zuordnungen und Funktionen auch mit Hilfe von Pfeilen darstellen. 

15. Einige knifflige Aufgaben: Handelt es sich bei den Zuordnungen um ein Funktion? (Begründung!) • Natürliche Zahl --> größter Teiler einer Zahl. • Geschwindigkeit --> Benzinverbrauch Benzinverbrauch --> Geschwindigkeit • Name --> Telefonnummer Telefonnummer --> Name

16. Von der proportionalen zur linearen Funktion Ziel ist die Geradengleichung: y=mx+t Dabei ist der Einsatz von PC-Programmen sehr hilfreich. (z.B. Geonext)

17. Aufgaben - Es ist zu berechnen welche Punkte auf der Geraden g=4x-5 liegen. A(1/-1); B(2/4); C(20/75) - Welche Steigung hat die Gerade h die durch die Punkte A und B geht? • A(2/1) B(-5/-13) • A(0/2) B(20/52) - Von einer Geraden sind zwei Punkte bekannt. Gesucht ist die Geradengleichung. • P(2/2) Q(3/3) • U(-1/-7) T(2/-4)

18. - Liegt der Punkt P(1/2) auf der geraden g(A/B)? Rechnung! • A(9/17) B(17/5) • A(-3/-2) B(-4/-3) • Berechne die Nullstellen der Gerade. • A(1/2) B(-7/2) • A(5/4) B(5/-3) • A(-2/3) B(4/2) • Welcher Term legt jene Gerade fest die durch den Punkt P(5/1) und parallel zur Geraden y = 2x + 1 ist? - Zeichne durch P(1/2) eine zu g(P/Q), mit P(3/4) und Q(-3/-4), parallele Gerade und berechne ihre Funktionsgleichung.

19. 4. Quadratische Funktionen Auch hier empfiehlt es sich den Schüler an einem Mathematikprogramm „rumprobieren“ zu lassen um somit den Grundaufbau und die Grundstrukturen besser, leichter und verständlicher verstehen zu können. Eine Einführung in Funktionen ist nicht nötig, da diese in der 8. Klasse bereits ordentlich von statten ging und diese Art der Funktionen erst in der 9. Klasse behandelt werden. Eine Festigung in der „mathematischen Semantik“ wäre allerdings von Vorteil. Dass die „Zeit“ oder ein „Weg“ zunehmen ist Schülern klar. Allerdings die Frage: „Was passiert, wenn x steigt?“ bereitet noch Schwierigkeiten. Dies ist also das Ziel der 9. Klasse, dass Schülerinnen und Schüler Funktionen in dieser neuen Sprache und Symbolik unter Zuhilfenahme übertragener Vorstellungen beschreiben können. Praktisch dafür sind die quadratischen Funktionen.

20. Aufgaben Gegeben sind zwei Funktionen. Welche der beiden ist steiler? Schneiden sie sich? Falls ja, wo? Falls nein, woran erkennt man das?

21. Gleiche Aufgabe wie vorher. Zeichne beide Funktionen nach den Rechnungen in ein Koordinatensystem ein.

23. Literaturverzeichnis • http://www.math.uni-siegen.de/geschmath/Vohns.pdf • Algebra Bayern 8, Klett Verlag, Stuttgart 1993, • Basis Mathematik 10, Ausgabe B, Bayerischer Schulbuch-Verlag, München 1996 • http://de.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes • http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler • www.adac.de • ML 103 • http://www.isb.bayern.de/isb/index.asp?MNav=5&QNav=4&TNav=1&INav=0&Fach=30&Fach2=&LpSta=6&STyp=5&Lp=396