1 / 42

GEOMETRIA EN L’ESPAI

GEOMETRIA EN L’ESPAI. PUNTS, RECTES I PLANS DE L’ESPAI. Sistema de Referència. O: origen de coordenades B: base de l’espai V 3. Vector de posició i coordenades d’un punt. Vectors: notació matricial.

uriah
Download Presentation

GEOMETRIA EN L’ESPAI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. GEOMETRIA EN L’ESPAI PUNTS, RECTES I PLANS DE L’ESPAI

  2. Sistema de Referència O: origen de coordenades B: base de l’espai V3

  3. Vector de posició i coordenades d’un punt

  4. Vectors: notació matricial • Notació matricial d’un vector: donat un vector podem expressar les seves components en una determinada base com una matriu fila o una matriu columna:

  5. Vectors: notació matricial • Suma de vectors: • Producte per un escalar: • Producte escalar: • Producte vectorial

  6. Vectors: notació matricial • Tres vectors de l’espai V3 formen base de l’espai si i només si són linealment independents, és a dir, si no són coplanaris • Per comprovar que tres vectors són linealment independents és suficient comprovar que el determinant de les seves components és diferent de zero:

  7. Vectors: notació matricial • Donats 3 vectors que formen base de V3 qualsevol vector es pot expressar com a combinació lineal d’ells. • Sigui volem expressar en aquesta base: Matricialment:

  8. Vectors: notació matricial • La matriu del canvi de base és la matriu inversa: Exemple

  9. Rectes • Una recta queda completament determinada si en coneixem: • Un punt P i un vector. En aquest cas el vector s’anomena vector director • Dos punts P i Q Q

  10. Equacions de la recta • Equació vectorial: • Equacions paramètriques: • Equació contínua:

  11. Equacions de la recta • Equacions implícites: si en l’equació contínua prenem dues de les igualtats i les multipliquem en creu, obtenim dues equacions lineals amb incògnites x, y i z Agrupant i reanomenant:

  12. Exemple tipus: equacions de la recta • Sigui la recta r que passa pel punt A(1,3,0) i té vector director determina les equacions vectorial, paramètriques i contínua. • Equació vectorial: • Equacions paramètriques: • Equació contínua: • Equació implícita: ordenant i agrupant

  13. Equació de la recta que passa per 2 punts • Expressa les equacions paramètriques i l’equació contínua de la recta que passa per A(4,-1,-6) i B(-5,3,0) Vector director: Equacions paramètriques: Equació contínua:

  14. Punts alineats • Determina si els punts A(4,-1,-6), B(-5,3,0) i C(2,-1,2) estan alineats A,B i C estan alineats si pertanyen a la mateixa recta: Si C pertany a la recta que determinen A i B ha de complir la seva equació: No estan alineats

  15. Equació del pla • Un pla queda completament determinat si en coneixem: • Un punt P i dos vectors linealment independents. Els vectors s’anomenen vectors directors • Tres punts P, Q i R no alineats: Equació vectorial:

  16. Equació del pla • Equació vectorial: • Equacions paramètriques:

  17. Equació del pla • Equació general o cartesiana: • partim de l’equació vectorial • Per tant el vector és combinació lineal dels altres dos Equació general

  18. Equació del pla Equació canònica: partint de la general Anomenem:

  19. Equació del pla que passa per 3 punts Siguin A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3) i C(c1,c2,c3) tres punts no alineats de l’espai, llavors les equacions paramètriques es poden escriure: On P(x,y,z) és un punt qualsevol del pla. I com que AP, AB i AC són linialment dependendents: Desenvolupant aquest determinant s’obté l’equació general del pla.

  20. Punts coplanaris Siguin A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3), C(c1,c2,c3) i D(d1,d2,d3) quatre punts no alineats de l’espai, direm que són coplanaris si pertanyen al mateix pla:

  21. Vector normal a un pla El vector                és un vector normal al pla, és a dir, perpendicular al pla. Si P(x0, y0, z0) és un punt del pla, el vector                                és perpendicular al vector  , i per tant el producte escalar és zero.

  22. Exemples • Veure exemples 2 i 3 pàgs 264 i 266 Exemple a la xarxa

  23. Posicions relatives de 2 plans

  24. Posicions relatives de 2 plans Les seves equacions són proporcionals: 3 incògnites – 1 equació = 2 graus de llibertat Les seves equacions són incompatibles:

  25. Posicions relatives de 2 plans Les seves equacions són linealment independents: 3 incògnites – 2 equacions = 1 grau de llibertat

  26. Posició relativa de 3 plans Considerem 3 plans donats per les seves equacions generals: De manera que la matriu dels coeficients i la matriu ampliada:

  27. Posició relativa de 3 plans: es tallen en un punt Les seves equacions són linealment independents 3 incògnites – 3 equacions = 0 graus de llibertat És un sistema compatible determinat i la solució és el punt de tall

  28. Posició relativa de 3 plans: es tallen 2 a 2 segons 2 rectes paral·leles La matriu de coeficients té dues files proporcionals i l’altra no: És un sistema incompatible

  29. Posició relativa de 3 plans: es tallen 2 a 2 segons rectes paral·leles La matriu de coeficients no té files proporcionals, hem d’estudiar-los 2 a 2. És un sistema incompatible

  30. Posició relativa de 3 plans: es tallen en una recta La matriu de coeficients no té files proporcionals sistema compatible indeterminat 3 incògnites – 2 equacions = 1 grau de llibertat

  31. Posició relativa de 3 plans: no es tallen La matriu ampliada té 2 files proporcionals i l’altre és paral·lel La matriu ampliada no té 2 files proporcionals És un sistema incompatible

  32. Posició relativa de 3 plans: coincidents sistema compatible indeterminat 3 incògnites – 1 equacions = 2 graus de llibertat

  33. Posicions relatives de dues rectes Considerem 2 rectes determinades per les seves equacions generals: De manera que la matriu dels coeficients i la matriu ampliada:

  34. Posicions relatives de dues rectes

  35. Posicions relatives d’una recta i un pla Considerem 1 recta i un pla determinats per les seves equacions generals: De manera que la matriu dels coeficients i la matriu ampliada:

  36. Posicions relatives d’una recta i un pla

  37. Feixos i radiacions de rectes Radiació de rectes que passen pel punt P(p1,p2,p3): Exemple P(1,2,-1) Feix de rectes paral·leles a un vector V=(vx,vy,vz): Exemple V=(1,2,-1)

  38. Feixos i radiacions de plans Radiació de plans que passen pel punt P(p1,p2,p3): en l’equació general del pla substituint (x,y,x) per les coordenades del punt trobarem el valor de D que han de complir tots els plans que passen per aquest punt: Exemple P(2,3,-1) Donant valors a A,B i C trobarem els diferents plans que passen per P

  39. Feixos i radiacions de plans Feix de plans paral·lels: si coneixem les coordenades d’un vector normal n, substituint les coordenades en l’equació general obtindrem tots els plans amb la mateixa orientació Exemple n=(2,3,-1) Feix de plans secants: conjunt de plans que passen per una recta. Si dos plans es tallen en una recta r, qualsevol altre pla que contingui aquesta recta ha de ser combinació lineal de les seves equacions

  40. Exemples: 1. Donada la recta • Esbrina si el punt P(4,9,-5) pertany a r • Troba l’equació d’una recta s que passi per Q(3,2,-7) i sigui paral·lela a r. direcció

  41. Exemples: 2. Donades les rectes I el punt P(0,1,0) • Troba el pla que passa per P i conté r. • Troba l’equació d’una recta t que passa per P i talla a r i s. El feix de plans secants que contenen r s’escriu com: Les coordenades del punt P han de complir l’equació:

  42. Exemples: 2. Donades les rectes I el punt P(0,1,0) • Troba el pla que passa per P i conté r. • Troba l’equació d’una recta t que passa per P i talla a r i s. El feix de plans secants que contenen r s’escriu com: Les coordenades del punt P han de complir l’equació:

More Related