25.8 .1 正多边形和圆

E D A C B 25.8 .1正多边形和圆

五角星的画法

学习新知 正多边形各边相等，各角也相等的多边形.

练一练 下列命题是真命题吗？如果不是，举出一个反例。（1）正多边形的各边相等。（2）各边相等的多边形是正多边形。（3）正多边形的各角相等。（4）各角相等的多边形是正多边形。

E D A C B 正多边形和圆关系：把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；

E D A C B 求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形； • 例1 已知，如图，点A,B,C,D,E在⊙O上，且AB=BC=CD=DE=EA.

A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形。 1 B E 5 ⌒ ⌒ 2 ⌒ ⌒ ⌒ 3 4 ⌒ ⌒ D C 弦相等（边相等）弧相等 —正多边形圆周角相等（角相等）

E D A C B 求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. • 例2 已知，如图，点A,B,C,D,E在⊙O上，且AB=BC=CD=DE=EA,TP,PQ,QR,RS,ST分别是以点A,B,C,D,E为切点的⊙O的切线.

弧相等—弦切角相等—全等三角形 边相等角相等 — —多边形是正多边形证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA A T P E B O Q S ⌒ ⌒ C D 又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。 R

E D A C B 正多边形和圆关系定理1：（正多边形的判定定理）正多边形和圆关系：把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形. ①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC =∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO =30°． A 方法：用量角器作正多边形 120 ° O C B

A · B E O C D 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？ F A D · E · O O A D 90° 72° 60° C B B C

你能尺规作出正四边形、正八边形吗？ 方法：用尺规作图作图法作正多边形只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… D · A O C B

你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……… F E · O A D B C

说说作正多边形的方法有哪些? 归纳（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．

作业： • 课堂作业：课本52页习题25.8第1、3题。 • 家庭作业：预习下一节内容；完成本节课后练习题；完成本节配套资料.

近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式： A=x + y + Z 并解释道：“A代表成功，x代表艰苦的劳动，v代表正确的方法，Z代表少说空话. 再见

25.8 .1 正多边形和圆