Funcion lineal
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FUNCION LINEAL. Problema de aplicación.

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FUNCION LINEAL

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Presentation Transcript


Funcion lineal

FUNCION LINEAL


Problema de aplicaci n

Problema de aplicación

El número de calorías que se queman en una hora de ejercicio en una máquina de ejercicios, es una función de la velocidad que se emplea. Si una persona que se ejercita a una velocidad de 2,5 kilómetros por hora, quema 210 calorías y a 6 kilómetros por hora, esta persona quemará 370 calorías. Sea C las calorías quemadas en una hora y V la velocidad de la maquina de ejercicios.

a) Determine la función lineal

b) ¿Cuántas calorías se queman si la persona se ejercita a una velocidad de 5 kilómetros por hora?

c) Interprete la pendiente


Aprendizajes esperados

APRENDIZAJES ESPERADOS

  • Calcular distancia y el punto medio entre dos puntos del plano.

  • Identificar la pendiente y coeficiente de posición en una ecuación de recta dada.

  • Representar gráficamente ecuaciones de recta.

  • Determinar la pendiente de una recta, dados dos puntos de ella.

  • Determinar la ecuación principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente.

  • Determinar si dos rectas son paralelas.

  • Determinar si dos rectas son coincidentes.

  • Determinar si dos rectas son perpendiculares.


Funcion lineal

Contenidos

1. Distancia entre dos puntos

1.1Punto medio

2. La recta

3. Ecuación de la recta

3.1 Ecuación General de la recta

3.2Ecuación Principal de la recta

3.3Pendiente de la recta dados dos puntos de ella

3.4Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente

3.5Ecuación de la recta dados dos puntos de ella


Funcion lineal

4. Rectas paralelas, rectas coincidentes y rectas perpendiculares


Funcion lineal

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

1. Distancia entre dos puntos

La “distancia” entre dos puntos del plano

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:


Funcion lineal

1.1 Punto Medio

x1 + x2 y1 + y2

M =

,

2

2

El “punto medio” entre dos puntos del plano

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:


Funcion lineal

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

-3 + 9 , 4 + -1

x1 + x2 y1 + y2

M =

M =

,

2

2

2

2

Ejemplos:

x1

y1

x2

y2

a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2

d2 = (9 + 3)2 + (-5)2

d2 = 144 + 25

d2 = 169

d = 13

x1

y1

x2

y2

b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

M = (3, 1,5)


Funcion lineal

Definición

-2

1

2. La recta

La gráfica de la figura, es una línea recta y su representación algebraica está dada por F(x)= ax + b

Ejemplo:

Representación gráfica de:

y = 2x + 3

Si un punto (x,y) pertenece a

esta recta, entonces se debe

cumplir la igualdad al reemplazarlo

en la ecuación.

Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3


Funcion lineal

3.1 Ecuación General de la recta

3. Ecuación de la recta

Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 0

2. 2x - 4y + 7 = 0

3. -x + 12y - 9 = 0


Funcion lineal

3.2 Ecuación Principal de la recta

Es de la forma:

y = mx + n

m

: pendiente

n

: coeficiente de posición

El coeficiente de posición (n), es el punto donde la recta intersecta al eje Y (0,n).


Funcion lineal

-2

1

Ejemplos:

1. En la ecuación y = 2x + 3, m = 2 y n = 3

n = 3

m = 2

Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (n) es 3 (punto donde la recta intersecta al eje Y).


Funcion lineal

2. En la ecuación:

a)y = x – 8

m = 1 y n = -8

b)y = 4x

m = 4 y n = 0

c)6x – y+ 13 = 8

Para determinar m y n, primero despejaremos y:

– y = 8 – 13 - 6x

– y = – 5 - 6x

y = 6x + 5

Luego, m = 6 y n = 5.

3. ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?


Funcion lineal

Tipos de pendiente

y

y

x

x

y

y

x

x

m > 0

m < 0

m = 0

NO existe m

(Indefinida)


Funcion lineal

3.3 Pendiente de la recta

y2 – y1

m =

x2 – x1

7 – (-2)

m =

1 – (-4)

9

m =

5

La pendiente de la recta que pasa por los puntos:

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se obtiene a través de la siguiente fórmula:

Ejemplo:

1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos

x1

y1

x2

y2

(-4, -2) y (1, 7) es:


Funcion lineal

5

m =

0

10 – 5

m =

8 – 8

Ejemplo:

2. La pendiente de la recta que pasa por los puntos

x1

y1

x2

y2

(8, 5) y (8, 10) es:

Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.

Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.


Funcion lineal

y – y1= m(x – x1)

3.4 Ecuación de la recta,

dado un punto de ella y la pendiente

La Ecuación de la recta que pasa por el punto

P1 (x1, y1) y tiene pendiente “m”,

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:

Ejemplo:

La ecuación de la recta de pendiente m = -6, que pasa por el punto (3,-2) es:

y – (-2)= -6(x – 3)

y + 2= -6x + 18

y = -6x + 16


Funcion lineal

3.5 Ecuación de la recta, dados dos puntos

y2 – y1

x2 – x1

y – y1= (x – x1)

La Ecuación de la recta que pasa por los puntos:

P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

se puede obtener a través de la siguiente fórmula:


Funcion lineal

6 – (-3)

y – (-3)= (x – 2)

5 – 2

y2 – y1

x2 – x1

9

y + 3 = (x – 2)

3

y – y1 = (x – x1)

Ejemplo:

La ecuación de la recta que pasa por los puntos

x1

y1

x2

y2

( 2,-3 ) y ( 5 , 6 ) es:

y + 3 = 3 (x – 2)

y + 3 = 3x – 6

y = 3x – 6 - 3

y = 3x – 9


Funcion lineal

Rectas paralelas:

4. Rectas paralelas y perpendiculares

Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición.

Ejemplo:

L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x - 10

(m = 5)

(m = 5)


Funcion lineal

Rectas coincidentes:

L1: y = 5x + 4 y L2: y = 5x + 4

3

3

Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición.

Ejemplo:

Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.


Funcion lineal

Rectas perpendiculares:

L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x - 10

5

2

(m = 2 )

(m = -5 )

5

2

Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo:


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