Sistemi e Tecnologie Informatiche

1. Sistemi e Tecnologie Informatiche Ricorsione Umberto Ferraro Petrillo

2. Nella lezione precedente … • … abbiamo imparato che: • E’ possibile adoperare l’algoritmo di ricerca sequenziale per individuarele occorrenze di un elemento all’interno di una lista • Tale algoritmo può rivelarsi estremamente inefficiente poichè richiede sino ad n confronti (dove n è pari alla taglia della lista) per individuare un elemento • L’algoritmo di ricerca binaria migliora le prestazioni dell’algoritmo di ricercasequenziale a patto che l’elenco di input sia stato precedentemente ordinato • L’algoritmo di ricerca binaria impiega sino a log(n) confronti per individuareun elemento

3. In questa lezione … • … impareremo che: • L’algoritmo di ricerca binaria adotta una strategia risolutiva che può essere applicata anche ad altri problemi e che va sotto il nome di ricorsione • Esistono differenti tipi di ricorsione • Non sempre l’approccio ricorsivo è quello migliore

4. Mistero … Cerca elem nel vettore Voti[0 … n-1] Sia Voti l’elenco di input, n la taglia dello stesso ed eleml’elemento cercato Sia i l’indice dell’elemento attualmente considerato, inizialmente i = 0 Ripeti per n-1 volte o fino a che Voti[i] è uguale ad elem Considera il prossimo elemento (i=i+1) Se Voti[i] è uguale ad elem restituisci i altrimenti restituisci -1 Dove si trovano i log(n)confronti dell’algoritmodi ricerca binaria??? Cerca elem nel vettore ordinato Voti[inf … sup] Se l’array è vuoto (inf>sup) la ricerca termina (ritorna -1) Considera l’elemento nella posizione centrale (med=(inf+sup)/2) Se elem è uguale a Voti[med] la ricerca termina (ritorna med) Altrimenti, se elem è minore di Voti[med] cerca elem nel vettore Voti[inf … med -1] Altrimenti, cerca elem nel vettore Voti[med+1 … sup]

5. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 21 24 25 25 26 27 28 28 29 Ricerca binaria Problema 1: Ricercare l’elemento 26 all’interno del vettore A[0…9] Risposta problema 1: L’elemento si trova alla posizione 5! Problema 2: Ricercare l’elemento 26 all’interno del vettore A[5…9] 5 6 7 8 9 26 27 28 28 29 Risposta problema 2: L’elemento si trova alla posizione 5! Problema 3: Ricercare l’elemento 26 all’interno del vettore A[5…6] 5 6 26 27 Risposta problema 3: L’elemento si trova alla posizione 5!

6. Procedure ricorsive • L’algoritmo di ricerca binaria è un tipico esempio di procedura ricorsiva • Una procedura si dice ricorsiva quando all’interno della sua definizione compare un riferimento alla procedura stessa (e.g. La funzione PosizioneElemento(0,9,Voti,22) esegue al suo interno la funzione PosizioneElemento(0,4,Voti,22)) • Affinchè l’esecuzione di una procedura ricorsiva finisca è prevista l’esistenza di una condizione di terminazione (e.g. La ricerca binaria di un elemento si arresta quando l’array è vuoto) • La ricorsione ci consente la risoluzione di problemi complessi a parte da problemi più elementari

7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 int PosizioneElemento(int inf, int sup, int Voti[], int elem) { /* Effettua la ricerca binaria di elem tra i primi n elementi di Voti. Il valore di ritorno e` -1 se elem non e` presente in Voti, altrimenti e` l'indice della posizione di elem. */ if ( inf>sup) // Verifichiamo se esistono elementi da considerare return -1; else{ int med = (int) (inf + sup) / 2; if (Voti[med] == elem) return med; // L’elemento è stato individuato else if (elem < Voti[med]) { sup = med -1; // Cerchiamo nella porzione di sinistra return PosizioneElemento(inf, sup, Voti, elem); } else{ inf = med + 1; // Cerchiamo nella porzione di destra return PosizioneElemento(inf, sup, Voti, elem); } } } /* PosizioneElemento */ • E’ possibile implementareuna procedura ricorsivain C/C++ attraverso lechiamate a funzione • PosizioneElemento invocase stessa quando la tagliadell’elenco in input èdiversa da zero(condizione di ricorsione) • PosizioneElementotermina quando la tagliadell’elenco in input èzero(condizione di terminazione)

8. Ricerca binaria Sia dato in input il vettore Voti[0…9] e l’elemento 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 int PosizioneElemento(int inf, int sup, int Voti[], int elem) { if ( inf>sup) // Verifichiamo se esistono ancora elementi return -1; else{ int med = (int) (inf + sup) / 2; if (Voti[med] == elem) return med; // L’elemento è stato individuato else if (elem < Voti[med]) { sup = med -1; // Cerchiamo nella porzione di sinistra return PosizioneElemento(inf,sup,Voti, elem); } else{ inf = med + 1; // Cerchiamo nella porzione di destra return PosizioneElemento(inf, sup, Voti, elem); } } } /* PosizioneElemento */ PosizioneElemento(0,9,Voti,26) L’elemento centrale (Voti[4]) è minoredell’elemento cercato, proseguiamola ricerca in Voti[5…9] PosizioneElemento(5,9,Voti,26) L’elemento centrale (Voti[7]) è maggiore dell’elemento cercato, proseguiamo la ricerca in Voti[5…6] PosizioneElemento(5,9,Voti,26) L’elemento centrale (Voti[5]) è uguale all’elemento cercato, restituiamo il suo indice 5

9. Ricorsione • Esistono due tipi di ricorsione: • Ricorsione diretta: All’interno della procedura A compare esplicitamente la chiamata a se stessa • Ricorsione indiretta • All’interno della procedura A viene invocata una seconda procedura B che a sua volta invoca A

10. Ricorsione diretta • Immaginiamo di disporre di un computer capace di sommare solo due valori per volta • Problema: Scrivere una funzione ricorsiva Somma capace di addizionare un numero arbitrario di valori • Osservazione: Somma(x,y,z,w) = Somma(x,y,z) + w • Algoritmo risolutivo: Somma(x1,…,xn-1,xn)if (n > 2) return Somma(x1,…,xn-1) + xnelse if (n == 2) return x1 + x2else return x1

11. Ricorsione diretta • La funzione Somma sa addizionare esclusivamente due numeri • Se i valori da sommare sono n, con n maggiore di 2, si sommano “a parte” i primi n-1 numeri, il totale viene sommato al numero n-simo Somma(7,3,9,6,2) = Somma(7,3,9,6) + 2 = 25 +2 Somma(7,3,9,6) = Somma(7,3,9) + 6 = 19 + 6 = 25 Somma(7,3,9) = Somma(7,3) + 9 = 10 + 9 = 19 10 Somma(7,3) = 7 + 3 =

12. Ricorsione indiretta • Immaginiamo di disporre di un calcolatore incapace di operare divisioni • Problema: Ideare una funzione ricorsiva Pari capace di dirci se un numero è pari o meno • Osservazione: x è pari se e solo se x-1 è dispari • Algoritmo risolutivo: Pari(x)if x == 0 return true else return Dispari(x-1) Dispari(y)if y == 0 return false else return Pari(x-1)

13. Ricorsione indiretta • Dato x in input, la funzione Pari restituisce vero se e soltanto se la funzione Dispari(x-1) restituisce vero • Dato y in input, la funzione Dispari restituisce vero se e soltanto se la funzione Pari(y-1) restituisce vero • Pari(0) restituisce vero • Dispari(0) restituisce falso Pari(5) è vero se e solo se Dispari(4) è vero Dispari(4) è vero se e solo se Pari(3) è vero Pari(3) è vero se e solo se Dispari(2) è vero Dispari(2) è vero se e solo se Pari(1) è vero Pari(1) è vero se e solo se Dispari(0) è vero Dispari(0) è falso

14. Numeri Fibonacci • I numeri di Fibonacci provengono da una successione numerica definita dalla seguente relazione: • Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) • Fib(0) = 1 • Fib(1) = 1 E.g., Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 1 + 1 = 2 Fib(6) = Fib(5) + Fib(4) = Fib(4) + Fib (3) + Fib(4) = … = 13

15. Numeri Fibonacci Calcolare il numero di Fibonacci associato a 5 Fib(5) Fib(4) Fib(3) Fib(1) Fib(2) Fib(2) Fib(3) Fib(0) Fib(1) Fib(0) Fib(1) Fib(1) Fib(2) Fib(0) Fib(1)

16. Numeri Fibonacci • La strategia ricorsiva non sempre è quella migliore • Nel caso dei numeri di Fibonacci essa si rivela inefficace poichècostringe a ricalcolare numerose volte gli stessi risultati • Il numero di esecuzioni della procedura Fibonacci calcolata sul valore n è circa 2n

17. Numeri Fibonacci –strategia iterativa • Introduciamo un array Fib di taglia n per memorizzare ilvalore dei numeri di Fibonacci già calcolati • Sia dato un numero x in input (e.g., 5) • Calcoleremo il numero di Fibonacci associato ad x apartire dagli elementi più piccoli, memorizzando eriutlizzando i valori già calcolati Fib(5) Fib(4) Fib(3) Fib(2) Fib(1) Fib(0)

18. Esercizio • Immaginiamo di disporre di un calcolatore capace esclusivamente di sommare o sottrarre 1 ad un qualsiasi valore numerico • Problema: Come è possibile implementare la somma di una coppia di numeri qualsiasi? • E.g., • 22 + 49?