Czy wszystko da się obliczyć ?

1. Czy wszystko da się obliczyć ? Marek Kowalski

2. Inteligencja, która w danym momencie znałaby wszystkie siły ożywiające naturę oraz wzajemnie położenia bytów ją tworzących i była przy tym na tyle wielka, aby to poddać analizie, mogłaby jednym wzorem objąć ruch największych ciał wszechświata i najmniejszych atomów; nic nie byłoby dla niej niepewne i miałaby przed oczami zarówno przeszłość, jak i przyszłość. Pierre-Simon de Laplace 1749 - 1827 [ Mechanika niebios ]

3. 1 stycznia 1801 r. Giuseppe Piazzi odkrył planetę karłowatą, którą nazwał Ceres i z obserwatorium astronomicznego w Palermo obserwował ją na łuku 9⁰ nim przesłoniło ją Słońce. Giuseppe Piazzi 1746 - 1826 Zrodziło się zadanie przewidzenia jej położenia w końcu roku1801, które Gauss rozwiązał perfekcyjnie. Johann Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855

4. Niezależnie od tego jak bardzo niedostępne mogą się nam wydawać nierozwiązane problemy i jak bardzo bezradnie przed nimi stajemy, mamy silne przekonanie, że ich rozwiązanie musi się znaleźć w skończonej liczbie czysto logicznych kroków. Czy aksjomat rozwiązywalności każdego matematycznego problemu jest szczególną cechą charakterystyczną samej myśli matematycznej, czy może ogólnym prawem tkwiącym w naturze umysłu jest, że każde postawione pytanie musi mieć swoją odpowiedź? David Hilbert 1862 - 1943

5. Jest problem ? Szukaj jego rozwiązania! Możesz je znaleźć czystą myślą, bo w matematyce nie ma ignorabimus.

6. Wielkie zaskocznia !

7. 12 3 45 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Niech n przejdzie do 2n ! , 0

8. Jest nieskończenie wiele różnych rodzajów nieskończoności.

9. W 1963 r. Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości - czyli możemy do matematyki dołączyć zarówno zdanie mówiące, że hipoteza continuum jest prawdziwa, jak i jego negację, i w żadnym z tych wypadków nie otrzymamy sprzeczności.

10. …ustalić system aksjomatów obejmujący ścisły i pełny opis związków, które występują pomiędzy elementarnymi pojęciami matematyki. 1931 Wszystkie systemy obejmujące arytmetykę liczb naturalnych są istotnie niezupełne, o ile tylko są niesprzeczne. W żadnej teorii formalnej zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie można dowieść jej własnej niesprzeczności. Kurt Gödel 1906 - 1978

11. August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) wyraził w 1840 roku przypuszczenie, że obszary państw na mapie lub globusie można pokolorować za pomocą czterech barw w taki sposób, że każde dwa graniczące ze sobą państwa mają różne barwy. Do takiego przekonania doszedł też niezależnie, ale w trzynaście lat później, Francis Guthrie (1831 - 1899). Francis Guthrie 1831 - 1899

12. Na potwierdzenie tej hipotezy przyszło nam czekać do roku 1976 roku kiedy to Ken Appel i Wolfgang Haken podali jej zadziwiający dowód. Zajął on 130 stron druku, obejmował 400 stron mikrofilmów z tysiącami diagramów i - co najważniejsze - liczne składające się na jego całość przypadki zostały przeanalizowane za pomocą programu komputerowego. W 1997 roku Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas podali nowy 40 stronicowy dowód, nadal - choć znacznie skromniej - odwołujący się do analizy komputerowej. Dowód ten sprawdzono niezależnie wraz z napisaniem od nowa niezbędnych programów komputerowych. Klasycznego dowodu wciąż nie znamy…

13. Problemu niezapętlania się programów komputerowych jest nierozstrzygalny. Nie są rozstrzygalne inne - z pozoru łatwiejsze – problemy, na przykład problem „węża domino” na półpłaszczyźnie. Czy dysponując skończonym zbiorem klocków domino można połączyć dwa dane elementy siatki kwadratowej na półpłaszczyźnie “wężem domino”? Alan MathisonTuring 1912 - 1954

14. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo program komputerowy się zatrzyma ? Jest liczbą niekompresowalną ! Gregory Chaitin ur. 1947

15. Stała Chaitina Ω

16. Chaitin zdefiniował pojęcie "złożoności" liczby jako długość najkrótszego programu komputerowego, który byłby w stanie wygenerować daną liczbę. Nieważne jak długo program musi pracować, aby wykonać wszystkie obliczenia albo ile pamięci trzeba użyć – liczy się tylko długość programu mierzona w bitach.

17. Nie jest możliwe, aby program wykazał, że liczba bardziej złożona od tego programu jest przypadkowym ciągiem cyfr. Umysł ludzki jest rodzajem komputera, więc może istnieć złożoność tak głęboka i subtelna, że nasz intelekt nigdy nie będzie w stanie jej objąć. Jeśli nawet gdzieś głęboko tkwi pewien porządek, możemy nigdy nie mieć do niego dostępu i to co widzimy, będzie nam się wydawało przypadkowe. Jest nieskończenie wiele prawdziwych twierdzeń matematycznych dotyczących, powiedzmy, arytmetyki, których nie można uzyskać z aksjomatów arytmetyki.

18. Podobnie, jak jest niewykonalne przewidzenie dokładnego momentu, w którym pojedynczy atom ulegnie rozpadowi radioaktywnemu, matematyka jest bezsilna wobec pewnych pytań. Jednakże fizycy są w stanie dokonywać wiarygodnych przewidywań wobec dużych zespołów atomów. Być może matematycy w niektórych przypadkach będą zmuszeni do podobnego podejścia.