FILTRAREA IMAGINILOR

1. FILTRAREA IMAGINILOR

2. Cuprins Filtrarea in domeniul frecventa Filtrarea in domeniul spatial Modelul imaginii Operatii de netezire

3. FILTRAREA IN DOMENIUL FRECVENTA Filtrarea imaginilor este necesara pentru a micsora efectele nedorite cauzate deun sistem de achizitie de rezolutie prea scazuta sau de un sistem de transmisie de imagini de banda mica. Scopul operatiilor de filtrare este de a micsora efectele zgomotelor introduse de camera, valori accidentale ale unor pixeli, valori lipsa ale unor pixeli, etc. In continuare vor fi discutate tehnici de filtrare atat in domeniul spatial cat si cel de frecventa

4. Filtrare trece‑jos Tranzitiile abrupte de niveluri de gri, cum sunt zgomotele in anumite imagini, contribuie la cresterea ponderii frecventelor inalte din cadrul transformatei Fourier. Rezulta ca inlaturarea acestui efect se poate face prin atenuarea unor componente de inalta frecventa din transformata unei imagini date. Exista relatia: G(u,v) = H(u,v) F(u,v) unde F(u,v) este transformata imaginii care se doreste sa fie filtrata. Problema consta in a selecta o functie H(u,v) care furnizeaza G(u,v) atenuand componentele de frecventa inalta din F(u,v). Transformata inversa a lui G(u,v) va furniza imaginea filtrata g(x,y). Functia H(u,v) este functia de transfer a filtrului.

5. Filtrul ideal trece‑jos este reprezentat prin relatia: ┌ │ 1 daca D(u,v) D0 H(u,v) =│ │ 0 daca D(u,v)>D0 └ unde D0 este o valoare specificata pozitiva, iar D(u,v) este distanta de la punctul (u,v) la originea planului de frecventa: D(u,v) = (u2 + v2)1/2 Filtrul este ideal: toate frecventele din interiorul unui cerc de raza D0 sunt trecute fara atenuare, in timp ce toate frecventele in afara acestui cerc sunt complet atenuate. Punctul de tranzitie dintre H(u,v)=1 si H(u,v)=0 se numeste frecventa de taiere(D0). Acest concept este important pentru specificarea caracteristicilor filtrelor si de asemenea serveste la compararea comportarilor diferitelor filtre.

6. Filtrul butterworth (cu valori netezite) tip trece jos de ordinul n si cu frecventa de taiere la distanta D0 de origine este definita de functia de transfer: H(u,v) = 1/[1+(D(u,v)/D0)2n] unde D(u,v) este dat de relatia Fata de filtrul ideal, filtrul butterworth are o functie de transfer ce nu produce o discontinuitate abrupta intre frecventele ce trec si cele care sunt oprite.

7. Filtrul exponential tip trece‑jos cu frecventa de taiere la distanta D0 de origine are o functie de transfer data de relatia: H(u,v) = exp[‑(D(u,v)/D0)n] unde D(u,v) = (u2 + v2)1/2, iar n controleaza rata de descrestere a functiei exponentiale.

8. Pentru D(u,v)=D0, se obtine H(u,v)=1/e. O modificare simpla data de relatia:

9. Filtrul trapezoidal trece‑jos reprezinta un compromis intre filtrul trece‑jos ideal si un filtru total netezit, fiind dat de relatia: ┌ │ 1 daca D(u,v)<D0 H(u,v) =│ [D(u,v)‑D1]/[D0‑D1] daca D0 D(u,v) D1 │ 0 daca D(u,v)>D1 └ unde D(u,v) = (u2 + v2)1/2 , iar D0 si D1 sunt valori specificate, astfel incat D0<D1. Exista conventia ca frecventa de taiere sa se gaseasca la primul punct D0 al functiei de transfer.

10. Filtrare trece‑sus Marirea claritatii imaginilor se poate face in domeniul frecventa prin procesul de filtrare trece‑sus, care atenueaza componentele de frecventa mica, fara sa modifice componentele de frecventa mare ale transformatei Fourier. Filtrul ideal trece‑sus are functia de transfer: ┌ │ 0 daca D(u,v) D0 H(u,v) = │ │ 1 daca D(u,v)>D0 └ unde D0 este o valoare specificata pozitiva, iar D(u,v) este distanta de la punctul (u,v) la originea planului de frecventa conform relatiei (D(u,v) = (u2 + v2)1/2 . De remarcat faptul acest filtru este opusul filtrului ideal.

11. Filtrul butterworth trece‑sus de ordinul n avand localizarea frecventei de taiare la distanta D0 de origine, este dat de relatia: H(u,v) = 1/[1+[D0/D(u,v)]2n De obicei se selecteaza localizarea frecventei de taiere in puncte pentru care H(u,v) este mai jos cu 1/2 din valoarea sa maxima. Astfel expresia de mai sus se poate modifica usor in acest sens:

12. Filtrul exponential trece‑sus cu frecventa de taiere la distanta D0 fata de origine are functia de transfer data de relatia: H(u,v) = exp{‑[D0/D(u,v)]n unde parametrul n controleaza rata de crestere a lui H(u,v) ca o functie de distanta crescatoare de la origine. Pentru D(u,v)=D0 rezulta ca H(u,v)=1/e. O modificare simpla data de relatia:

13. Filtrul trapezoidal trece‑sus se poate defini prin relatia: ┌ │ 0 daca D(u,v)<D1 │ H(u,v) = │ [D(u,v)‑D1]/[D0‑D1] daca D1 D(u,v) D0 │ │ 1 daca D(u,v)>D0 └ unde D1 si D0 sunt parametrii specificati cu D0>D1. Frecventa de taiere se presupune ca este la distanta D0de origine.

14. FILTRAREA IMAGINILOR IN DOMENIUL SPATIAL Filtrare liniara Filtrarea liniara: operator de vecinatate (rezultatul este in functie de valoarea punctului curect si de valorile unor pixeli vecini). Este liniara pentru ca se verifica principiul liniaritatii: L(a1f1 + a2f2) = a1L(f1) + a2L(f2) unde L este operatorul liniar, f1 si f2 sunt imagini, iar a1 si a2 sunt constante scalare. In cadrul operatiei de filtrare liniara valoarea unui pixel g(x,y) in imaginea filtrata din pozitia (x,y): => media ponderata a unor pixeli dintr-o fereastra (vecinatate) W a pixelului f(x,y) din imaginea initiala. W se numeste masca sau fereastra de filtrare. Valorile wk,l corespund pozitiilor (k, l) din fereastra de filtrare si sunt coeficientii filtrului. O solutie simpla de filtru liniar este medierea cu pixelii vecini.

15. Medierea cu pixelii vecini Medierea cu pixelii vecini este o metoda puternica in domeniul spatial pentru medierea unei imagini. Fiind data o imagine cu N*N pixeli f(x,y), procedura consta in a genera o imagine filtrata g(x,y) ale carei niveluri de gri in fiecare punct (x,y) sunt obtinute prin medierea valorilor pixelilor lui f continuti intr‑o vecinatate a punctului (x,y). Se utilizeaza relatia: g(x,y) = 1/M Σ f(n,m) (n,m)εS pentru x,y = 0,1,...,N‑1. S este setul coordonatelor punctelor apartinand vecinatatii lui (x,y), iar M este numarul total de puncte definite de coordonatele din S. De exemplu, setul coordonatelor vecinilor lui (x,y) aflati la distanta unitate este: S = { (x,y+1), (x,y‑1), (x+1,y), (x‑1,y) }

16. Pentru o raza data, efectul de neclaritate a imaginii produs de medierea cu pixelii vecini se poate reduce utilizand o procedura de prag. Astfel, in loc sa se utilizeze ecuatia precedenta pentru obtinerea lui g(x,y), se va aplica urmatoarea relatie: ┌ │ 1/M Σ f(m,n) daca f(x,y)‑1/M Σ f(m,n) > T │ (m,n)εS(m,n)εS g(x,y) =│ │ f(x,y) altfel └ unde T este o valoarea de prag pozitiva, data. Ideea acestei solutii este sa se lase nemodificate nivelurile punctelor ale caror diferente fata de vecini nu depasesc valoarea de prag T.

17. Un exemplu simplu este media aritmetica a valorilor pixelilor dintr-o vecinatate 3x3, pentru fiecare pixel din imaginea initiala, coeficientii avand valori egale cu 1/9. Masca de filtrare W este: W = {(0, 0), (−1, 0), (1, 0), (0, −1), (−1, −1), (1, −1), (0, 1), (−1, 1), (1, 1)}. In acest caz expresia care calculeaza valoarea pixelului in imaginea filtrata este:

18. Masca de filtrare poate fi reprezentata in forma matriciala: Aceasta masca de filtrare se aplica succesiv fiecarui pixel din imaginea initiala, valoarea calculata inlocuind pixelul respectiv in imaginea filtrata. O problema apare la medierea pixelilor de pe cele patru granite ale imaginii. O solutie este ca valorile acestor pixeli sa ramana nemodificate. O alta solutie este sa se efectueze medierea si pentru acesti pixeli, copiind pentru fiecare linie sau coloana de pe margine cate o linie, respectiv coloana suplimentara avand aceleasi valori cu pixelii de pe linia sau coloana respectiva, eventual avand anumite valori constante. In general valorile pixelilor din fereastra de filtrare sunt apropiate de valoarea pixelului central. Evident ca acest aspect nu este valabil in cazul contururilor, care astfel prin mediere vor fi estompate. Pentru a rezolva aceasta problema unele filtre utilizeaza un coeficient (pondere) de valoare mai mare corespunzator pixelului central.

19. Filtrul median O alta solutie pentru a conserva contururile dintr-o imagine o reprezinta filtrul median. Intr-o fereastra de filtrare valoarea pixelului central se determina ca fiind valoarea mediana a valorilor pixelilor din aceea fereastra. De exemplu, considerand o fereastra 3x3, valorile pixelilor din fereastra respectiva sunt: Prin sortarea acestor valori se obtine sirul (10, 15, 20, 20, |20|, 20, 20, 25, 100), pentru care valoarea mediana este 20 (valoarea marcata in sir). Deci aplicarea filtrului va furniza in aceasta fereastra pentru pixelul central valoarea 20. In acest fel se forteaza ca fiecare pixel din imagine sa fie cat mai asemanator cu vecinii sai, dar in acelasi timp contururile sunt conservate. Evident filtrul median este neliniar, fiind de fapt o operatie morfologica. Astfel la operatia de eroziune fiecare pixel este inlocuit cu valoarea cea mai mica din fereastra, la operatia de dilatare, fiecare pixel este inlocuit cu valoarea cea mai mare din fereastra, in timp ce la filtrarea mediana fiecare pixel este inlocuit cu valoarea mediana din fereastra.

20. Medierea de imagini multiple Se considera o imagine cu zgomot g(x,y) formata din imaginea originala f(x,y) si un zgomot suplimentar μ(x,y): g(x,y) = f(x,y) + μ(x,y) unde se presupune ca pentru fiecare pereche de coordonate (x,y) zgomotul este aleator cu valoarea medie zero. Obiectivul procedurii care urmeaza este sa se obtina un rezultat filtrat prin adunarea unui numar de imagini cu zgomot {gi(x,y)}. Daca zgomotul satisface conditia de mai sus, este foarte simplu de aratat ca daca o imagine gm(x,y) este formata prin medierea a M imagini diferite M gm(x,y) = 1/M Σ gi(x,y) i=1 rezulta ca

21. E{gm(x,y)} = f(x,y) si σ2gm(x,y) = 1/M σ2μ(x,y) unde E{gm(x,y)} este valoarea asteptata a lui gm, iar σ2gm(x,y) si σ2μ(x,y) sunt abaterile patratice pentru gm si respectiv μ, in punctele de coordonate (x,y). Deviatia standard in oricare punct din imaginea mediata este data de relatia: σgm(x,y) = 1/ σμ(x,y) Ecuatiile pentru σ2gm(x,y)si σgm(x,y)indica faptul ca pe masura ce M creste variabilitatea valorilor pixelilor scade. Deoarece E{gm(x,y)}=f(x,y) inseamna ca gm(x,y) se va apropia de f(x,y) pe masura ce numarul de imagini cu zgomot utilizate in procesul de mediere va creste. In practica, singura dificultate este obtinerea imaginilor in care sa corespunda exact pixelii.

22. MODELUL IMAGINII Modelul iluminare‑reflectanta se poate utiliza ca o baza pentru o procedura din domeniul frecventa utila pentru a imbunatati aparenta unei imagini prin comprimarea domeniului stralucirii si simultan imbunatatirea contrastului (filtrare homomorfica). O imagine f(x,y) se poate exprima in termenii componentelor iluminare si reflectanta prin relatia: f(x,y) = i(x,y) r(x,y) Aceasta ecuatie nu se poate utiliza direct pentru a opera separat asupra componentelor de frecventa ale iluminarii si reflectantei deoarece transformata Fourier a produsului celor doua functii nu este separabila, deci: fourier{f(x,y)} ≠ fourier{i(x,y)} fourier{r(x,y)} Se presupune totusi ca: z(x,y) = ln[f(x,y)] = ln[i(x,y)] + ln[r(x,y)]

23. Rezulta ca: fourier{z(x,y)} = fourier{ln[f(x,y)]} = = fourier{ln[i(x,y)]} + fourier{ln[r(x,y)]} sau: Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) unde I(u,v) si R(u,v) sunt transformatele Fourier pentru ln[i(x,y)] si respectiv, ln[r(x,y)]. Daca se prelucreaza Z(u,v) utilizand o functie de filtrare H(u,v), care atenueaza componentele de frecventa joasa si amplifica componentele de frecventa inalta (figura urmatoare) se obtine: S(u,v) = H(u,v) Z(u,v) = H(u,v) I(u,v) + H(u,v) R(u,v) unde S(u,v) este transformata Fourier a rezultatului. In domeniul spatial exista relatia: s(x,y) = fourier-1{S(u,v)} = fourier-1{H(u,v)I(u,v)} + + fourier-1{H(u,v)R(u,v)}

24. Daca se noteaza: i'(x,y) = fourier-1{H(u,v)I(u,v)} r'(x,y) = fourier-1{H(u,v)R(u,v)} ecuatia (4.4.6) poate fi exprimata sub o alta forma: s(x,y) = i'(x,y) + r'(x,y)

25. Deoarece z(x,y) a fost reprezentat considerand logaritmul imaginii originale, obtinerea imaginii imbunatatite g(x,y) se realizeaza prin operatia inversa: g(x,y) = exp{s(x,y)} = exp{i'(x,y)} exp{r'(x,y)} = i0(x,y) r0(x,y) unde s‑au facut notatiile: i0(x,y) = exp{i'(x,y)} r0(x,y) = exp{r'(x,y)} reprezentand iluminarea si reflectanta imaginii obtinute.

26. Solutia de imbunatatire utilizand aceasta metoda este reprezentata in schema urmatoare: Aceasta metoda se bazeaza pe o clasa speciala de sisteme denumite sisteme homomorfice. In aceasta aplicatie particulara cheia abordarii este separarea componentelor de iluminare si reflectanta comform ecuatiei Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v), dand posibilitatea functiei de filtrare homomorfice sa opereze independent asupra acestor componente. Componenta iluminare a unei imagini se caracterizeaza in general printr‑o variatie lenta, in timp ce reflectanta are variatii bruste, de exemplu la jonctiunea de obiecte diferite. Astfel, cu iluminarea se asociaza frecventele joase ale transformatei Fourier ale logaritmului unei imagini, iar cu reflectanta ‑ frecventele inalte. Desi este o regula destul de aproximativa, se poate utiliza pentru obtinerea de imbunatatiri ale unei imagini.

27. OPERATII DE NETEZIRE Operatiile de netezire permit eliminarea micilor diferente dintre valorile pixelilor apartinand unei aceleiasi regiuni, reduc zgomotul si pregatesc imaginile pentru prelucrari ulterioare, ca de exemplu segmentarea. Algoritmii de netezire se pot clasifica in: -algoritmi liniari, utilizabili in domeniul Fourier; -algoritmi neliniari, neutilizabili in domeniul Fourier. De asemenea, se disting implementari bazate pe suport rectangular pentru filtru si implementari bazate pe suport circular.

28. Filtre liniare In continuare sunt prezentati cei mai importanti algoritmi liniari de filtrare de netezire. Avand in vedere relatia generala pentru filtrarea liniara: se considera cazul unei imagini complet uniforme, in care toti pixelii au aceeasi valoare v. Aplicand relatia de mai sus valorile pixelilor nu se mai modifica, deci nici uniformitatea imaginii nu se modifica. Se obtine: adica: S-a obtinut conditia ca suma coeficientilor mastii de filtrare sa fie egala cu 1 (conditia de normare a nucleelor de filtrare de netezire). In prelucrarile de imagini se utilizeaza si alte filtre decat cele care realizeaza o medie aritmetica a pixelilor dintr-o vecinatate patrata.

29. In continuare sunt prezentate cateva exemple de masti care realizeaza medieri ponderate:

30. Chiar daca nucleul de filtrare poate avea orice forma, in practica se utilizeaza forme regulate, avand pixelul care se calculeaza in centru. Intr-o astfel de situatie nucleul W4 poate fi rescris prin completarea cu coeficienti nuli astfel incat sa rezulte un patrat 3x3: Se observa ca toate aceste masti respecta conditia de normare pentru un nucleu de netezire.

31. Filtru uniform. Imaginea de iesire se bazeaza pe o mediere locala a filtrului de intrare, unde toate valorile din interiorul suportului filtrului au aceeasi pondere. Functia de desfasurare a punctului PSF („point spread function”), reprezentand raspunsul sistemului la un impuls de lumina (imaginea de iesire este convolutia dintre imaginea de intrare si PSF), precum si functia de transfer pentru cazul rectangular:

32. si pentru cazul circular.

33. Pentru domeniul spatial discret [m,n] valorile filtrului sunt esantioane ale domeniului continuu. De exemplu, pentru cazul rectangular (J=K=5 filtru rectangular):

34. iar pentru cazul circular (R=2.5 filtru circular): In ambele cazuri filtrul este normalizat astfel incat ∑h[j,k]=1, aceasta pentru ca daca imaginea de intrare f[x,y] este constanta, atunci si imaginea de iesire g[x,y] este aceeasi constanta.

35. Filtru triunghiular. Imaginea de iesire este o mediere locala a filtrului de intrare unde valorile din interiorul suportului filtrului au ponderi diferite. In general, filtrul poate fi vazut ca o convolutie de doua filtre uniforme identice fie rectangulare, fie circulare. Functiile PSF si de transfer pentru cazul suportului rectangular:

36. si pentru cazul circular.

37. Exemple pentru cazul suportului rectangular (J=K=5 filtru piramidal): si cazul suportului circular (R=2.5 filtru conic):

38. Filtru Gaussian. Utilizarea larga a nucleului Gaussian pentru filtrari se datoreaza unor proprietati (teorema limitei centrale, produsul spatiu-largime de banda minima), precum si unor aplicatii cum sunt detectare de contur si analiza spatiului de scalare. Functiile PSF si de transfer pentru spatiul continuu sunt:

39. Filtrul Gaussian este separabil: Unde σ este deviatia standard a distributiei Gaussiene. Exista patru solutii de implementare a filtrului Gaussian: 1) Convolutia utilizand un numar finit (N0) de esantioane Gaussiene ca nucleu de convolutie (de obicei

40. 2) Convolutia repetitiva utilizand un filtru uniform ca nucleu al convolutiei: g1D[n] ≈u[n]*u[n]*u[n] Implementarea actuala in fiecare dimensiune este de obicei de forma: c[n]=((a[n]*u[n])*u[n])*u[n]

41. 3) Inmultirea in domeniul frecventa. Deoarece transformarea Fourier a unei Gaussiene este tot o Gaussiana, este util sa se pregateasca un filtru H(u,v)=G2D(u,v). Pentru evitarea efectelor de trunchiere in domeniul frecventa datorate extinderii infinite a Gaussienei este important sa se aleaga σ suficient de mare (de exemplu σ>k/π pentru K=2 sau 3).

42. 4) Utilizarea unei implementari de filtru recursiv. Un filtru recursiv are un raspuns infinit la impuls si deci un suport infinit. Filtrul Gaussian separabil poate fi implementat prin aplicarea urmatorului algoritm in fiecare dimensiune, unde σ≥0.5: • alege σ pe baza scopului final al filtrarii; • determina parametrul q; • determina coeficientii filtrului {b0,b1,b2,b3,B}; • aplica ecuatia pentruw[n]; • aplica ecuatia pentru c [n]. • Relatia dintre σ si q este:

43. Coeficientii filtrului sunt definiti prin relatiile:

44. Ecuatia de diferenta inainte unidimensionala preia o linie sau o coloana de intrare a[n] si produce un rezultat intermediar de iesire w[n] dat de relatia: w[n]=Ba[n]+(b1w[n-1]+b2w[n-2]+b3w[n-3])/ b0 pentru n=0 pana la n=N-1. Ecuatia de diferenta inapoi preia rezultatul intermediar w[n] si produce iesirea c[n] data de relatia: c [n]=Bw[n]+(b1c[n+1]+b2c[n+2]+b3c[n+3])/ b0 pentru n=N-1 pana la n=0.

45. Filtru liniar de contrastare. In vederea evidentierii conturului unui obiect dintr-o imagine prin modificarea valorilor pixelilor apartinand celor doua zone ale frontierei, se poate utiliza un filtru liniar de contrastare. Acesta are la baza studiul fiziologiei sistemului vizual uman care realizeaza niste prelucrari de tip derivativ de ordinul doi ale informatiei. Implementarea discreta a primei derivate se face prin diferentiere, dupa cele doua directii, orizontala si verticala. De exemplu pentru derivata dupa directia orizontala se poate folosi una din formulele: f’ (x,y) = f (x,y+1) – f (x,y) f’ (x,y) = f (x,y) – f (x,y–1) f’ (x,y) = f (x,y+1) – f (x,y–1)

46. Pentru implementarea derivatei de ordinul doi bidirectionale (operator Laplacian) se utilizeaza masti, cum sunt:

47. Conditia pe care trebuie sa o indeplineasca aceste nuclee este ca valoarea calculata in interiorul unei regiuni perfect uniforme (de valoare v) sa fie nul. (derivata unei constante este zero), Rezulta ca: deci si reprezinta conditia de normare a unui nucleu de filtrare derivativ (suma coeficientilor mastii este zero). Nucleele de derivata secunda (operatori laplacieni) anteriori verifica aceasta conditie.

48. Alte filtre. Domeniul Fourier permite implementarea unei serii de filtre de netezire, de obicei de tipul trece-jos. Este de dorit sa se utilizeze filtre trece-jos cu faza zero, astfel incat sa nu produca distorsiuni de faza la filtrarea de imagini. Filtre trece-jos: filtrul „Airy” si filtrul „Exponential Decay”.

50. Filtre neliniare Au fost dezvoltate o serie de filtre neliniare, care insa nu pot fi aplicate in domeniul Fourier: Filtrul median se bazeaza pe deplasarea unei ferestre peste o imagine (ca pentru o convolutie) si calculeaza pixelul de iesire ca valoarea mediana a stralucirii pixelilor din interiorul ferestrei. Pentru o fereastra de dimensiune J*K se ordoneaza crescator cele JK valori de stralucire, iar valoarea mediana este valoarea cu numarul de ordine (JK+1)/2 (pentru JK impar). Valoarea rezultata este egala chiar cu valoarea unui pixel din cadrul ferestrei, deci nu este necesara nici o rotunjire. Complexitatea algoritmului per pixel este O(JKlog(JK)). Exista si un algoritm mai rapid (Huang), care reduce complexitatea la O(K), pentru J≥K. Filtrul procentaj este o varianta a celui precedent. Pixelul central din cadrul ferestrei este inlocuit cu valoarea stralucirii p%, unde p% varieaza de la 0% (filtrul minimal) la 100% (filtrul maximal). Filtrul median se obtine pentru valoarea p=50% si corespunde filtrului de netezire.