Inferência Indutiva Uma Perspectiva Genuinamente Bayesiana

1. Inferência IndutivaUma Perspectiva Genuinamente Bayesiana Carlos Alberto de Bragança Pereira Inferência Bayesiana 2007 Aula 1

2. The Statistician is the Wizard who makes "scientific" statements about invisible states and quantities. However, contrary to real wishes (and witches), (s)he attaches uncertainties to h(er)is statements."

3. Probabilidades O trabalho do estatístico é iniciado no momento da descrição dos níveis de incerteza de um cientista sobre as quantidades de interesse (invisíveis), q. A ferramenta usada para a descrição do nível de incerteza sobre q é a Probabilidade. A Probabilidade de um estado de natureza específico, digamos q0, é um índice que indica o nível de incerteza (ou conhecimento) sobre a veracidade da afirmação: ¨qé igual aq0¨

4. Variáveis Aleatórias • Nosso objetivo é descrever nossas incertezas • Probabilisticamente. Às quantidades • desconhecidas de nosso interesse damos o nome • de Variáveis Aleatóriase podem ser de 3 tipos: • as observadas • as não observadas e • as não observáveis. • As não observáveis e de interesse damos • o nome de Parâmetros.

5. Modelo Probabilístico Probabilidades devem ser atribuídas a todos os estados de natureza possíveis. Ao conjunto de todas as afirmações probabilísticas de um problema usamos o termo modelo probabilístico ou equivalentemente distribuição de probabilidades.

6. Experimento & Banco de Dados O mecanismo que transforma uma quantidade invisível, X, em visível, x, é aqui denominado experimento. O conjunto de quantidades obtidas após a realização de experimentos é denominado resultados experimentaisou banco de dados.

7. a priori & a posteriori A realização de um experimento {X=x} tem como objetivo a redução da incerteza sobre o parâmetro de interesseq. O modelo probabilístico de q, definido antes(depois) da realização do experimento X, é denominado a priori (a posteriori) de q.

8. Associação Muitas vezes o cientista enfrenta um dilema: O que observar para diminuir a incerteza sobre q ? Ele pode estar em presença de um conjunto de experimentos, digamos X,Y,Z,..., passíveis de serem observados. Pode haver custos ou restrições associados à realização dos experimentos. Assim, o estatístico é obrigado a selecionar quais serão observados.

9. Associação Para uma escolha adequada, ele deve descrever o tipo de associação que, em sua opinião, existe entre q e cada um dos experimentos. Essa descrição também é feita por meio de modelos probabilísticos. Por exemplo, considere que o experimento X vai ser realizado.

10. Associação Para cada valor, q, do parâmetro, represente por f(x|q) a função de probabilidade que avalia, para cada x, a probabilidade de {X=x}. Se existem pelo menos dois valores de q, digamos q1e q2, tal que f(.|q1) ¹ f(.|q2), então qe X são dependentes ou associados. Neste caso é razoável realizar-se o experimento X com o intuito de diminuir a incerteza sobre q. Q & X : conjuntos de valores possíveis de q e X, os conhecidos espaçosparamétricoeamostral.

11. Instrumental Dist. a priori:{P(q): qÎQ} Modelo Estatístico:{P(q,x): xÎX, qÎQ}. Dist. Amostral: Áq ={f(x|q): xÎX} "qÎQ. Verossimilhança: Áx = {L(q|x)=f(x|q): qÎQ} "xÎX. Dist a posteriori: {P(q|X=x): qÎQ} "xÎX.

12. Exemplo 1: BioEquivalência Uma nova droga para enxaqueca tenta entrar no mercado. O laboratório afirma que é equivalente a melhor droga da praça, cujo efeito positivo é de 75%. Além disso a nova droga sairá mais barato para o consumidor. Em média 60% mais barato! Uma pesquisa com 30 pacientes foi realizada e apenas 9 desses não responderam positivamente a nova droga.

13. Análise Padrão .311

14. Bayesian .292

15. Planejamento de Experimentos Quais quantidades devem ser observadas? As que podem gerar maior ganho de informação! Decisão antes de realizar e observar. Escolha é feita com base nas expectativas sobre resultados dos experimentos concorrentes. Essa análise de expectativas, é identificada como o clássico Planejamento de Experimentos. Procuram-se os planejamentos“ótimos”. Podem ser não realizáveis devido as restrições operacionais ou de custos.

16. Estimação: Formulação Obter a posteriori é o nosso objetivo maior Após coletar as informações disponíveis em x sobre q, o estatístico descreve a informação calibrada sobre q, a posteriori. Como então melhor predizerq ? A resposta é estudada com o nome de teoria da estimação. Mais geralmente pela teoria da decisão. De posse da posteriori,fx(q), decidimos então como melhor predizerq.

17. Estimação: Solução Consideramos características de fx(q) tais como média, mediana ou moda, dependendo da logística usada. Esse é o trabalho de estimação pontual. Por estimação intervalar entendemos a procura, do menor conjunto que, com probabilidade fixada (95%), contenha q: Conjunto de Credibilidade.

18. Teste de Significancia: Formulação Por teste de significância entendemos uma avaliação da consistência de uma hipótese H , sobre q,com o os dados, x. Entendemos que todo procedimento estatístico deve basear-se tão somente na posteriorifx(q). Por hipótese entendemos uma afirmação do tipo “o parâmetro qpertence ao subconjunto Q0Ì Q”.

19. Teste de Significancia: Solução Hipótese (não) precisa dim (Q0 )(=) <dim (Q). No casonão preciso,o valor dePx(Q0)é um bom avaliadorda consistência entreH&x. Nosso foco limita-se ao caso dim (Q0 )<dim (Q) das hipóteses precisas. Introduzimos o conceito de evidência contra ou a favor da hipótese H avaliada.

20. Full Bayesian Significance Test:FBST Evidência contra a hipótese: 1-ev = Pr(Tx),ondeTxÌ Qé tal que, t ÎTxeqÎQ0Þfx(t) > fx(q) . Tx é atangente (relativa a x)de Q0. evalto devemos aceitar H: q ÎQ0. Caso contrário, rejeitar H!

21. Regras L1-Convexidade: 0<P(A|H)<1 e P(H|H)=1. L2-Adição: P(A ou B|H) = P(A|H)+P(B|H) se A e B são exclusivos. L3-Multiplicação: P(A e B|H) = P(A|H)P(B|A e H). Uma extensão da lei número 2 é apresentada a seguir. Entretanto não é conseqüência de conceitos simples Note que nenhuma das 3 leis pode ser deduzida das outras. • L2’. Adição enumerável: Seja {(A1,...,An,...)} um conjunto enumerável de eventos mutuamente exclusivos. Então, • P(ÈAi|H)=SP(Ai|H)

22. Teorema da Probabilidade Total

23. Fórmula de Bayes

24. Bibliography • -David Blackwell (1969), Basic Statistics, McGraw-Hill. • (Theory of Games & Statisticcal Decisions) • Morris DeGroot (1986), Probability & Statistics, Adison-Wesley • (Decision Theory) • -Bruno De Finetti (1972), Probability, induction, and statistics, Wiley. • (Theory of Probability, 2 volumes) • - Oscar Kempthorne & L Folks (1971), Probability, Statistics & • Data Analysis, Iowa University Press. • Dev Basu (1988), Statistical Information & Likelihood: A Collection • Of Critical Essays, JK Gosh editor, Springer-Verlag. • Lecture Notes in Statistics #45 • IJ Good (1983), Good Thinking, U. Minnesota Press. • Richard Barlow (1998), Engineering Reliability, SIAM • Paulino, Turkman & Murtrera (2003), Estatística Bayesiana. • Fundação Calouste Gulberkian - Lisboa