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Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana. Análise Espacial - INPE. Ilka Afonso Reis. Quanto menor o n o. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação . Taxas em pequenas áreas . y i é o número de casos da “doença” na área i ;

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Presentation Transcript
Taxas em pequenas reas uma abordagem bayesiana

Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana

Análise Espacial - INPE

Ilka Afonso Reis


Taxas em pequenas reas

Quanto menor o no. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

Taxas em pequenas áreas

  • yié o número de casos da “doença” na área i ;

  • ei é o número esperado de casos da “doença” na área i ;

  • ρi é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; (padronização)

  • Taxa bruta :


Qual o problema com taxas brutas
Qual é o problema com taxas brutas ?

  • Suponha uma “doença” com r = 0,10 e acontece um caso em cada área (y = 1)

    • Se Pop1 = 10000, e1 = 0,10 x 10000 = 1000

    • Se Pop2 = 1000, e2 = 0,10 x 1000 = 100

    • Se Pop3 = 100, e3 = 0,10 x 100 = 10

p1=1/10000 = 0,0001 e Var(p1) = 1/100002 = 1 x 10-8

p2=1/1000 = 0,001 e Var(p2) = 1/10002 = 1 x 10-6

p3=1/100 = 0,01 e Var(p3) = 1/1002 = 1 x 10-4


Qual o problema com taxas brutas1
Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Solu o para o problema das taxas brutas
Solução para o problema das taxas brutas

  • Suavizar as taxas

    • Como ?

  • Estimadores Bayesianos

  • Empíricos

  • Completos


Uma breve introdu o infer ncia bayesiana

Uma Breve Introdução à Inferência Bayesiana

Probabilidade Condicional

Teorema de Bayes

Verossimilhança

Probabilidade a priori

Probabilidade a posteriori


Um exemplo medidas de qualidade de testes diagn sticos

Positivo (+|D)

Doente (D)

Negativo (-|D)

Positivo (+|S)

Sadio (S)

Negativo (-|S)

Um exemplo : medidas de qualidade de testes diagnósticos


Avalia o da qualidade do teste

Especificidade (e)

Avaliação da qualidade do teste

Acertos :

  • Entre os doentes

Sensibilidade (s)

  • Entre os sadios



Avalia o da qualidade do diagn stico

Valor de Predição Negativa (VPN)

Avaliação da qualidade do diagnóstico

Acertos :

  • Entre os positivos

Valor de Predição Positiva (VPP)

  • Entre os negativos


Avalia o da qualidade do diagn stico1

Regra de Bayes

Avaliação da qualidade do diagnóstico


Enfim

Probabilidade a priori

“Verossimilhança”

Probabilidade a posteriori

Enfim ...


Conceitos b sicos e nota o
Conceitos Básicos e Notação

  • Dados : provenientes de uma amostra da população de interesse

    • y = (y1, y2, ..., yn)

    • P(y), distribuição de probabilidade conjunta de y.

  • Parâmetros: quantidades, em geral desconhecidas, que estão presentes nos modelos probabilísticos para y e serão representadas por.

    • P(y|), função de verossimilhança de y.


Exemplo estima o de taxas
Exemplo : estimação de taxas

  • yi , casos da “doença” na área i

  • ei , número de casos esperados na área i segunda a taxa de referência

  • Parâmetros a serem estimados

  • ρi : o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência

  • eiρi representa o número de casos esperados (média) na área i

  • Na inferência clássica, boas estimativas para ρi são os valores que maximizam a função de verossimilhança P(y|ρi ).

    Estes valores são a estimativa de máxima verossimilhança

  • O modelo para os dados é a função de verossimilhança P(y|).

  • Modelo : yi ∼ Poisson(eiρi)


O m todo da m xima verossimilhan a
O Método da Máxima Verossimilhança

  • Na inferência clássica, os parâmetros de um modelo são tratados como quantidades fixas (não aleatórias), porém desconhecidas.

  • O método da máxima verossimilhança é considerado bom em muitos casos.

  • Porém, quando a forma de P(y|) é complexa e/ou quando o número de parâmetros envolvidos é grande, este método torna-se difícil de implementar.


A abordagem bayesiana
A abordagem Bayesiana

  • Na inferência Bayesiana, os parâmetros são tratados como quantidades aleatórias.

  • O modelo estatístico não é mais somente P(y|) e sim P(y,), a distribuição conjunta dos dados y e dos parâmetros  .

  • As estimativas para  não serão somente valores, mas sim uma distribuição de probabilidades.

    P(|y) é a distribuição de probabilidades dos parâmetros  “ à luz” dos dados y.


A abordagem bayesiana1

Probabilidade a priori

Verossimilhança

Probabilidade a posteriori

A abordagem Bayesiana

  • Como obter P(|y) ?


A abordagem bayesiana2
A abordagem Bayesiana

  • P() expressa a incerteza sobre  antes de observarmos os dadosy que dependem dele (a priori) .

  • P(|y) expressa a incerteza sobre  depois de observarmos os dados y que dependem dele (a posteriori).

  • De posse de P(|y), podemos examinar qualquer aspecto de  (média, variância, percentis, probabilidade de assumir determinados valores, etc.) (“Full Posterior Distribution”)


Passos para obten o de p y
Passos para obtenção de P(|y)

  • Escolher um modelo probabilístico para P(y|) – a função de verossimilhança;

  • Escolher um modelo probabilístico para P() – a distribuição a priori ;

  • Aplicar a regra de Bayes e calcular P(|y).


Exemplo modelo gamma poisson

Modelo para P(y|) : y ~ Poisson (e)

Exemplo : modelo Gamma-Poisson

  • y é o número de casos da “doença” em certa área ;

  • eé o número esperado de casos da “doença” em certa área;

  • ρ é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência nesta área;


Exemplo modelo gamma poisson1

hiperparâmetros

Cálculo da posteriori P(|y)

|y ~ Gamma ( +y ,  +e)

Exemplo : modelo Gamma-Poisson

Modelo para P() :  ~ Gamma (,)


Exemplo modelo gamma poisson2
Exemplo : modelo Gamma-Poisson

Suponha que y = 4 e e = 6.5

Priori´s :Gamma (0.5 , 0.5), Gamma (1,1) e Gamma (10,10)

Posteriori´s :Gamma (4.5 , 7.0), Gamma(5,7.5) e Gamma(14,16.5)


Exemplo modelo gamma poisson3

Intervalo de Credibilidade de 95%

Exemplo : modelo Gamma-Poisson



Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas

Quanto menor o no. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo geral

  • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • yié o número de casos da “doença” na área i ;

    • ei é o número esperado de casos da “doença” na área i ;

    • ρi é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; (padronização)

  • log µi = log ei + θi ;

    • θi denota o log do risco relativo (θi = log ρi , ou seja, ρi = exp(θi) )

  • Modelo de efeitos fixos (máxima verossimilhança)


Qual o problema com taxas brutas2
Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Qual o problema com taxas brutas3
Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Qual o problema com taxas brutas4
Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas1
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo de efeitos aleatórios

    • ρi ∼ Gamma(ψi, fi) µρ = ψi/fi e σ2ρ = ψi/fi2 ;

    • Gamma “+” Poisson “=” Gamma ;

    • P(ρi|y) ∼ Gamma(ψi+ yi, fi+ ei).

  • Quanto maior o número de dados, mais próximo de yi/ei estará a estimativa do risco relativo ;

  • Quanto menor o número de dados, mais próximo de ψi/fi estará a estimativa de risco relativo.


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas2

P(ρ, ψ, f|y) ∝ P(y|ρ)P(ρ|ψ, f)P(ψ)P(f)

priori

hiperprioris

Exemplo: Mersey

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Os parâmetros ψi e fi são os hiperparâmetros.

  • Como saber quem ψi e fi ?

    • Podem ser estimados (Bayes empírico) ;

  • Pode-se estabelecer uma distribuição a priori para ψ e φ (hiperprioris).


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas3
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espacialmente estruturado (abordagem completa)

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • θi= α + fi + i , onde

      • α é o log do risco relativo médio sobre todas as áreas ;

      • fi é a parte não-espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i ; (média zero)

      • i é a parte espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i;


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas4
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Prioris :

    • α ~ Uniforme [- ;  ] (“flat”)

    • fi ~ Normal (0 ; 2f)

    • A priori para νi é um modelo autoregressivo condicional Gaussiano (CAR)

    • wij são pesos representando a adjacência das áreas. A definição mais comum para wij são valores binários :

    • wij = 1, se as áreas i e j são adjacentes;

      wij = 0, caso contrário.


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas5
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo completo

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ α + i + i

    • α ~ Uniforme [- ;  ]

    • i ~ Normal (0 ; 2)

    • νi ~ CAR(2)

    • Hiperprioris Gamma para τ= 1/ 2 e para τ= 1/2 (τ e τrepresentam a precisão)

      Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas6
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Leishmaniose Visceral Humana (BH – 1994/95)

Taxa bruta

Taxa bruta

Taxa bruta

Taxa suavizada

Taxa suavizada

Taxa suavizada



Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas8
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espaço-temporal

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • θi= α + i + i + 0t + it, onde

    • α , i e i são definidos como antes ;

    • 0 ~ Uniforme [- ;  ] ei ~CAR(2) representam a parte temporal do modelo

    • Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial_temporal)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas9
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Previsão para o quarto período

Modelo:

No. de parâmetros : 365

Tempo de simulação de 10000 iterações:

112 segundos

AMD Athlon XP2000 1.67 GHz 512 Mb RAM


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas10
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espaço-temporal (alternativo)

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • Modelo linear para θi

    • θi= α0 + αi + i (t-1), onde

    • α0 ~ Uniforme [- ; ]

    • αi ~ CAR(2α) e i ~ CAR(2β) são parâmetros de uma equação de regressão ;

    • Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas11
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Previsão para o quarto período

Modelo linear

No. de parâmetros : 243

Tempo de simulação de 10000 iterações:

51 segundos


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas12
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espaço-temporal (alternativo)

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • θi= α0 + αi + i (t-1)+ i(t-1)2, onde

    • α0 , αi e i são definidos como antes ;

    • i ~CAR(2) ;

    • Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas13
Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Previsão para o quarto período

Modelo quadrático

No. de parâmetros : 364

Tempo de simulação de 10000 iterações:

69 segundos


Refer ncias bibliogr ficas
Referências Bibliográficas

Assunção, R. M. ; Reis, I. A. ; Oliveira, C. L. Diffusion and Prediction of Leishmaniasis in a Large Metropolitan Area in Brasil with a Space-Time Model. Statistics in Medicine(2001), 20 : pp. 2319- 2335

Spiegelhalter, D. ; Thomas, A. ;Best, N. ;Lunn, D. WinBUGS User Manual , (References), version 1.4, (2003)



Bayes emp rico

Bayes Empírico

  • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

  • ρi ∼ Gamma(ψi, i) E[ρi] = ψi/i e Var[ρi] = ψi/i2

E[yi] = Eρ[Ey[yi| ρi]] = Eρ[eiρi] = eiψi/i

Var [yi] = Eρ[Vary[yi| ρi]] + Varρ[Ey[ yi| ρi]]

= eiψi/i + (ei)2 ψi/i2


Bayes emp rico1
Bayes Empírico

  • O que nos leva a

  • Igualando (1) e (2), temos


Padroniza o direta das taxas
Padronização direta das taxas

  • r é taxa de referência da “doença”;

  • Popi é a população sob risco da área i ;

  • ei = rx Popi , é o número esperado de casos na área i ;

  • i é o risco da “doença” na área i ;

  • ρi = i / r é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ;

  • eixρi = (rx Popi) x (i / r) = Popi xi ;


C lculo da posteriori p y
Cálculo da posteriori P(|y)


Distribui o gaussiana normal

- < yi <  , - <  < 

 > 0

, y = (y1, y2, ..., yn)

y1, y2, ..., yn i.i.d

Distribuição Gaussiana (Normal)




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