Taxas em pequenas reas uma abordagem bayesiana
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Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana. Análise Espacial - INPE. Ilka Afonso Reis. Quanto menor o n o. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação . Taxas em pequenas áreas . y i é o número de casos da “doença” na área i ;

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Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana

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Presentation Transcript


Taxas em pequenas reas uma abordagem bayesiana

Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana

Análise Espacial - INPE

Ilka Afonso Reis


Taxas em pequenas reas

Quanto menor o no. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

Taxas em pequenas áreas

  • yié o número de casos da “doença” na área i ;

  • ei é o número esperado de casos da “doença” na área i ;

  • ρi é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; (padronização)

  • Taxa bruta :


Qual o problema com taxas brutas

Qual é o problema com taxas brutas ?

  • Suponha uma “doença” com r = 0,10 e acontece um caso em cada área (y = 1)

    • Se Pop1 = 10000, e1 = 0,10 x 10000 = 1000

    • Se Pop2 = 1000, e2 = 0,10 x 1000 = 100

    • Se Pop3 = 100, e3 = 0,10 x 100 = 10

p1=1/10000 = 0,0001 e Var(p1) = 1/100002 = 1 x 10-8

p2=1/1000 = 0,001 e Var(p2) = 1/10002 = 1 x 10-6

p3=1/100 = 0,01 e Var(p3) = 1/1002 = 1 x 10-4


Qual o problema com taxas brutas1

Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Solu o para o problema das taxas brutas

Solução para o problema das taxas brutas

  • Suavizar as taxas

    • Como ?

  • Estimadores Bayesianos

  • Empíricos

  • Completos


Uma breve introdu o infer ncia bayesiana

Uma Breve Introdução à Inferência Bayesiana

Probabilidade Condicional

Teorema de Bayes

Verossimilhança

Probabilidade a priori

Probabilidade a posteriori


Um exemplo medidas de qualidade de testes diagn sticos

Positivo (+|D)

Doente (D)

Negativo (-|D)

Positivo (+|S)

Sadio (S)

Negativo (-|S)

Um exemplo : medidas de qualidade de testes diagnósticos


Avalia o da qualidade do teste

Especificidade (e)

Avaliação da qualidade do teste

Acertos :

  • Entre os doentes

Sensibilidade (s)

  • Entre os sadios


Avalia o da qualidade do teste1

Avaliação da qualidade do teste


Avalia o da qualidade do diagn stico

Valor de Predição Negativa (VPN)

Avaliação da qualidade do diagnóstico

Acertos :

  • Entre os positivos

Valor de Predição Positiva (VPP)

  • Entre os negativos


Avalia o da qualidade do diagn stico1

Regra de Bayes

Avaliação da qualidade do diagnóstico


Enfim

Probabilidade a priori

“Verossimilhança”

Probabilidade a posteriori

Enfim ...


Conceitos b sicos e nota o

Conceitos Básicos e Notação

  • Dados : provenientes de uma amostra da população de interesse

    • y = (y1, y2, ..., yn)

    • P(y), distribuição de probabilidade conjunta de y.

  • Parâmetros: quantidades, em geral desconhecidas, que estão presentes nos modelos probabilísticos para y e serão representadas por.

    • P(y|), função de verossimilhança de y.


Exemplo estima o de taxas

Exemplo : estimação de taxas

  • yi , casos da “doença” na área i

  • ei , número de casos esperados na área i segunda a taxa de referência

  • Parâmetros a serem estimados

  • ρi : o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência

  • eiρi representa o número de casos esperados (média) na área i

  • Na inferência clássica, boas estimativas para ρi são os valores que maximizam a função de verossimilhança P(y|ρi ).

    Estes valores são a estimativa de máxima verossimilhança

  • O modelo para os dados é a função de verossimilhança P(y|).

  • Modelo : yi ∼ Poisson(eiρi)


O m todo da m xima verossimilhan a

O Método da Máxima Verossimilhança

  • Na inferência clássica, os parâmetros de um modelo são tratados como quantidades fixas (não aleatórias), porém desconhecidas.

  • O método da máxima verossimilhança é considerado bom em muitos casos.

  • Porém, quando a forma de P(y|) é complexa e/ou quando o número de parâmetros envolvidos é grande, este método torna-se difícil de implementar.


A abordagem bayesiana

A abordagem Bayesiana

  • Na inferência Bayesiana, os parâmetros são tratados como quantidades aleatórias.

  • O modelo estatístico não é mais somente P(y|) e sim P(y,), a distribuição conjunta dos dados y e dos parâmetros  .

  • As estimativas para  não serão somente valores, mas sim uma distribuição de probabilidades.

    P(|y) é a distribuição de probabilidades dos parâmetros  “ à luz” dos dados y.


A abordagem bayesiana1

  • Pela Regra de Bayes

Probabilidade a priori

Verossimilhança

Probabilidade a posteriori

A abordagem Bayesiana

  • Como obter P(|y) ?


A abordagem bayesiana2

A abordagem Bayesiana

  • P() expressa a incerteza sobre  antes de observarmos os dadosy que dependem dele (a priori) .

  • P(|y) expressa a incerteza sobre  depois de observarmos os dados y que dependem dele (a posteriori).

  • De posse de P(|y), podemos examinar qualquer aspecto de  (média, variância, percentis, probabilidade de assumir determinados valores, etc.) (“Full Posterior Distribution”)


Passos para obten o de p y

Passos para obtenção de P(|y)

  • Escolher um modelo probabilístico para P(y|) – a função de verossimilhança;

  • Escolher um modelo probabilístico para P() – a distribuição a priori ;

  • Aplicar a regra de Bayes e calcular P(|y).


Exemplo modelo gamma poisson

Modelo para P(y|) : y ~ Poisson (e)

Exemplo : modelo Gamma-Poisson

  • y é o número de casos da “doença” em certa área ;

  • eé o número esperado de casos da “doença” em certa área;

  • ρ é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência nesta área;


Exemplo modelo gamma poisson1

hiperparâmetros

Cálculo da posteriori P(|y)

|y ~ Gamma ( +y ,  +e)

Exemplo : modelo Gamma-Poisson

Modelo para P() :  ~ Gamma (,)


Exemplo modelo gamma poisson2

Exemplo : modelo Gamma-Poisson

Suponha que y = 4 e e = 6.5

Priori´s :Gamma (0.5 , 0.5), Gamma (1,1) e Gamma (10,10)

Posteriori´s :Gamma (4.5 , 7.0), Gamma(5,7.5) e Gamma(14,16.5)


Exemplo modelo gamma poisson3

Intervalo de Credibilidade de 95%

Exemplo : modelo Gamma-Poisson


Taxas em pequenas reas uma abordagem bayesiana

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas

Quanto menor o no. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo geral

  • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • yié o número de casos da “doença” na área i ;

    • ei é o número esperado de casos da “doença” na área i ;

    • ρi é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; (padronização)

  • log µi = log ei + θi ;

    • θi denota o log do risco relativo (θi = log ρi , ou seja, ρi = exp(θi) )

  • Modelo de efeitos fixos (máxima verossimilhança)


Qual o problema com taxas brutas2

Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Qual o problema com taxas brutas3

Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Qual o problema com taxas brutas4

Qual é o problema com taxas brutas ?

Taxa bruta

Taxa suavizada


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas1

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo de efeitos aleatórios

    • ρi ∼ Gamma(ψi, fi) µρ = ψi/fi e σ2ρ = ψi/fi2 ;

    • Gamma “+” Poisson “=” Gamma ;

    • P(ρi|y) ∼ Gamma(ψi+ yi, fi+ ei).

  • Quanto maior o número de dados, mais próximo de yi/ei estará a estimativa do risco relativo ;

  • Quanto menor o número de dados, mais próximo de ψi/fi estará a estimativa de risco relativo.


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas2

P(ρ, ψ, f|y) ∝ P(y|ρ)P(ρ|ψ, f)P(ψ)P(f)

priori

hiperprioris

Exemplo: Mersey

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Os parâmetros ψi e fi são os hiperparâmetros.

  • Como saber quem ψi e fi ?

    • Podem ser estimados (Bayes empírico) ;

  • Pode-se estabelecer uma distribuição a priori para ψ e φ (hiperprioris).


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas3

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espacialmente estruturado (abordagem completa)

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • θi= α + fi + i , onde

      • α é o log do risco relativo médio sobre todas as áreas ;

      • fi é a parte não-espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i ; (média zero)

      • i é a parte espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i;


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas4

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Prioris :

    • α ~ Uniforme [- ;  ] (“flat”)

    • fi ~ Normal (0 ; 2f)

    • A priori para νi é um modelo autoregressivo condicional Gaussiano (CAR)

    • wij são pesos representando a adjacência das áreas. A definição mais comum para wij são valores binários :

    • wij = 1, se as áreas i e j são adjacentes;

      wij = 0, caso contrário.


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas5

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo completo

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ α + i + i

    • α ~ Uniforme [- ;  ]

    • i ~ Normal (0 ; 2)

    • νi ~ CAR(2)

    • Hiperprioris Gamma para τ= 1/ 2 e para τ= 1/2 (τ e τrepresentam a precisão)

      Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas6

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Leishmaniose Visceral Humana (BH – 1994/95)

Taxa bruta

Taxa bruta

Taxa bruta

Taxa suavizada

Taxa suavizada

Taxa suavizada


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas7

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas8

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espaço-temporal

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • θi= α + i + i + 0t + it, onde

    • α , i e i são definidos como antes ;

    • 0 ~ Uniforme [- ;  ] ei ~CAR(2) representam a parte temporal do modelo

    • Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial_temporal)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas9

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Previsão para o quarto período

Modelo:

No. de parâmetros : 365

Tempo de simulação de 10000 iterações:

112 segundos

AMD Athlon XP2000 1.67 GHz 512 Mb RAM


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas10

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espaço-temporal (alternativo)

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • Modelo linear para θi

    • θi= α0 + αi + i (t-1), onde

    • α0 ~ Uniforme [- ; ]

    • αi ~ CAR(2α) e i ~ CAR(2β) são parâmetros de uma equação de regressão ;

    • Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas11

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Previsão para o quarto período

Modelo linear

No. de parâmetros : 243

Tempo de simulação de 10000 iterações:

51 segundos


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas12

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

  • Modelo espaço-temporal (alternativo)

    • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

    • log µi= log ei+ θi ; θi = log ρi

    • θi= α0 + αi + i (t-1)+ i(t-1)2, onde

    • α0 , αi e i são definidos como antes ;

    • i ~CAR(2) ;

    • Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)


Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas reas13

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Previsão para o quarto período

Modelo quadrático

No. de parâmetros : 364

Tempo de simulação de 10000 iterações:

69 segundos


Refer ncias bibliogr ficas

Referências Bibliográficas

Assunção, R. M. ; Reis, I. A. ; Oliveira, C. L. Diffusion and Prediction of Leishmaniasis in a Large Metropolitan Area in Brasil with a Space-Time Model. Statistics in Medicine(2001), 20 : pp. 2319- 2335

Spiegelhalter, D. ; Thomas, A. ;Best, N. ;Lunn, D. WinBUGS User Manual , (References), version 1.4, (2003)


Taxas em pequenas reas uma abordagem bayesiana

Back-up slides


Bayes emp rico

  • Pelo Método dos Momentos

    • Então

Bayes Empírico

  • yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi)

  • ρi ∼ Gamma(ψi, i) E[ρi] = ψi/i e Var[ρi] = ψi/i2

E[yi] = Eρ[Ey[yi| ρi]] = Eρ[eiρi] = eiψi/i

Var [yi] = Eρ[Vary[yi| ρi]] + Varρ[Ey[ yi| ρi]]

= eiψi/i + (ei)2 ψi/i2


Bayes emp rico1

Bayes Empírico

  • O que nos leva a

  • Igualando (1) e (2), temos


Padroniza o direta das taxas

Padronização direta das taxas

  • r é taxa de referência da “doença”;

  • Popi é a população sob risco da área i ;

  • ei = rx Popi , é o número esperado de casos na área i ;

  • i é o risco da “doença” na área i ;

  • ρi = i / r é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ;

  • eixρi = (rx Popi) x (i / r) = Popi xi ;


C lculo da posteriori p y

Cálculo da posteriori P(|y)


Distribui o gaussiana normal

- < yi <  , - <  < 

 > 0

, y = (y1, y2, ..., yn)

y1, y2, ..., yn i.i.d

Distribuição Gaussiana (Normal)


Distribui o beta

Distribuição Beta


Distribui o gamma

Distribuição Gamma (, )


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