Μελέτη ροής με τη μέθοδο Lattice-Boltzmann

1. Θερινό Σχολείο 2007 Μελέτη ροής με τη μέθοδο Lattice-Boltzmann Δρ. Α.Γ. Γιώτης Εργαστήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ινστιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροστασίας

2. Daniel Bernoulli (1700-1982) Ludwig Boltzmann (1844-1906) James Clerk Maxwell (1831-1879) Η μέθοδος Lattice - Boltzmann • Η μέθοδος Lattice-Boltzmann είναι μία σύγχρονη τεχνική προσομοίωσης ροής κοντά και μέσα από πολύπλοκες γεωμετρίες στερεών σωμάτων. • Η μέθοδος βασίζεται στη κινητική θεωρία των αερίων που αναπτύχθηκε από το Δανό μαθηματικό Daniel Bernoulli (1700-1782). O Bernoulli υπήρξε από τους πρώτους που κατάλαβαν ότι τα μόρια ενός αερίου βρίσκονται σε διαρκή κίνηση και ότι η πίεση ένος αερίου οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου όπου περιέχεται. • Η υπόθεση του Bernoulli έμεινε στην αφάνεια για πολλά χρόνια μέχρι να ασχοληθηθεί με την κινητική θεωρία ο Σκοτσέζος μαθηματικός James Clerk Maxwell (1831-1879). • O Maxwell απέδειξε ότι τα μόρια ενός ιδανικού αερίου κινούνται και το μέτρο της ταχύτητας τους σε κάθε διεύθυνση στο χώρο ακολουθεί κατανομή Gauss. • Βασισμένος στην κατανομή Maxwell, o Αυστριακός Φυσικός Ludwig Boltzmann (1844-1906) περιέγραψε την κίνηση των μορίων με μία μερική διαφορική εξίσωση στην οποία η μόνη μεταβλητή είναι μία συνάρτηση κατανομής ταχυτήτων των μορίων.Η εξίσωση Boltzmann είναι από τις σημαντικότερες εξισώσεις της Στατιστικής Μηχανικής σε καταστάσεις εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας.

3. Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Βασικές Παραδοχές • Ένα ιδανικό αέριο αποτελείται αποτελείται από μόρια που κινούνται σε ευθείες τροχιές στο χώρο και συγκρούονται με άλλα μόριασύμφωνα με τους νόμους του Νεύτωνα. • Οι συγκρούσεις είναι πάντα ανά ζεύγη μορίων, είναι ακαριαίες και ελαστικές. • Δεν αναπτύσσονται ελκτικές ή απωστικές δυνάμεις μεταξύ των μορίων. • Η μέση κινητική ενέργεια κάθε μορίου είναι 3kT/2.

4. Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Βασικές Παραδοχές • Η διανυσματική ταχύτητα κάθε μορίου όμως μπορεί να μεταβάλλεται στις συγκρούσεις. Διατηρείται όμως η ορμή (ελαστικές συγκρούσεις)

5. Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Βασικές Παραδοχές

6. Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Βασικές Παραδοχές • Η κατανομή του μέτρου των ταχυτήτων ακολουθεί την εξίσωση Maxwell-Boltzmann. • Αυξάνοντας τη θερμοκρασία του συστήματος T, αυξάνεται η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομής • Αυξάνοντας το μοριακό βάρος των μορίων m, μειώνεται η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομής

7. Όταν το αέριο δεν είναι σε μόνιμες συνθήκες, η κίνηση των μορίων του ορίζεται σε μεσοσκοπικό επίπεδο (αντιπροσωπευτική ομάδα μορίων) από τη συνάρτηση κατανομής ταχυτήτων που περιγράφει το ποσοστό των μορίων στη θέσηrεως r+dr, στο χρόνο t που κινούνται με διανυσματική ταχύτητα μεταξύ ξ και ξ+dξ. • Η εξίσωση Boltzmann περιγράφει τη διατήρηση της συνάρτησης κατανομής στο χώρο, στο χρόνο και στο χώρο των ταχυτήτων Πυκνότητα Μακροσκοπικές παράμετροι ροής Ορμή Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων: Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann • Τα μόρια ενός ιδανικού αερίου κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες στο χώρο, ακόμη και όταν το αέριο παραμένει μακροσκοπικά ακίνητο. • Τα μόρια κινούνται σε ευθείες τροχιές και συγκρούονται με άλλα μόρια. Οι συγκρούσεις είναι πάντα ανά ζεύγη μορίων, είναι ακαριαίες και ελαστικές. • Η κατανομή διανυσματικών ταχυτήτων των μορίων σε μόνιμες συνθήκες περιγράφεται από την εξίσωση Maxwell-Boltzmann

8. Navier-Stokes • Μακροσκοπική περιγραφή • Το ρευστό και οι μακροσκοπικές του ιδιότητες θεωρούνται συνεχείς στο χώρο και το χρόνο • Οι μακροσκοπικές παράμετροι της ροής προκύπτουν αθροίζοντας τις τιμές των παραμέτρων των μορίων που αποτελούν έναν αντιπροσωπευτικό όγκο ελέγχου (REV). • Ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεxές • Μικρό υπολογιστικό κόστος – Δυσκολία ακριβούς φυσικής περιγραφής διαμοριακών αλληλεπιδράσεων κοντά σε επιφάνειες και διεπιφάνειες Molecular Dynamics • Μικροσκοπική Περιγραφή • Το ρευστό αποτελείται από διακριτά μόρια που καθένα έχει τις δικές του ιδιότητες • Οι μακροσκοπικές παράμετροι της ροής προκύπτουν λαμβάνοντας τη μέση τιμή της αντιστοιχης παραμέτρου όλων των μορίων που κινούνται σε έναν μεγάλο όγκο ελέγχου. • Μεγάλο υπολογιστικό κόστος – Συνεπής φυσική περιγραφή Lattice Boltzmann • Μεσοσκοπική Περιγραφή • Το ρευστό αποτελείται από διακριτούς όγκους ελέγχου. Τα μόρια σε κάθε όγκο ελέγχου ικανοποιούν την κατανομή ταχυτήτων Maxwell-Boltzmann • Σε κάθε όγκο ελέγχου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές που προκύπτουν με κατάλληλη ολοκλήρωση της συνάρτησης κατανομής ταχυτήτων στο χώρο των ταχυτήτων • Μέτριο υπολογιστικό κόστος – Συνεπής φυσική περιγραφή διαμοριακών αλληλεπιδράσεων στη μεσοσκοπική κλίμακα Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann: Μεσοσκοπική περιγραφή της ροής

9. Συνεχής εξίσωση Boltzmann Διακριτοποίηση στο χρόνο, στο χώρο και στο χώρο των ταχυτήτων Διακριτοποιημένη εξίσωση Boltzmann (Lattice Boltzmann) ξ3 ξ2 ξ4 Διακριτές διανυσματικές ταχύτητες δικτύου ξ5 ξ1 ξ0 ξ6 ξ8 ξ7 Πυκνότητα σωματιδίων με διανυσματική ταχύτητα ξι δx=cδt Διακριτοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann: Η μέθοδος LatticeBoltzmann για μονοφασική ροή

10. Μέθοδος Lattice BoltzmannΜακροσκοπικές παράμετροι ροής Πλεονεκτήματα μεθόδου Lattice Boltzmann • Δεν απαιτούνται επαναλήψεις για να συκλίνει: Ευθεία λύση στο χώρο και στο χρόνο (explicit scheme) • Απλή διαχείρηση των συνοριακών συνθηκών • Εύκολη παραλληλοποίηση • Δυνατότητα αλλαγής των εξισώσεων στη μεσοκλίμακα ώστε να λυθούν προβλήματα ροής μη ιδανικών ρευστών, αλλαγής φάσης, διαβροχής στερεών κ.α. • Συνεπής περιγραφή των διαμοριακών δυνάμεων στη διεπιφάνεια ρευστών στη μεσοκλίμακα (ομάδες μορίων). Πλεονέκτημα σε σχέση με τη μακροσκοπική θεώρηση της ροής όπου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές, π.χ. Navier-Stokes. • Μέτριο υπολογιστικό κόστος – σημαντικά μικρότερο από τη μικροκροσκοπική περιγραφή της ροής με Molecular Dynamics.

11. Με ιξώδες βρίσκουμε ότι η διαπερατότητα είναι από τη κλίση της υπολογιστικής καμπύλης Επίλυση προβλήματοςμονοφασικής ροής σε κλίνες σφαιριδίων • Υπολογιστικό πεδίο 1603 με εγγεγραμμένη στερεή σφαίρα διαμέτρου Dp=160δx • Περιοδικές συνθήκες και στις 3 διευθύνσεις • Σταθερή σωματιδιακή δύναμη κατά τη διεύθυνση ένος άξονα • Μέτρηση της μέσης ταχύτητας (superficial velocity) της ροής σε μόνιμες συνθήκες σε διατομή κάθετη στη διεύθυνση της ροής • Η ταχύτητα δίνεται από την εξίσωση Darcy όπου η διαπερατότητα δίνεται από την εξίσωση Blake-Kozeny

12. Επίλυση προβλήματοςμονοφασικής ροής - διάχυσης σε κλίνες σφαιριδίων

13. Μη ιδανικά ρευστά 1. Δυνάμεις Van der Waals μεταξύ των μορίων (mean field approximation) [Rowlinson, Widom (1982)] 2. Exclusion volume effect: ο όγκος των μορίων τείνει προς το όγκο που καταλαμβάνει το ρευστό αυξάνοντας το ρυθμό των συγκρούσεων Εξίσωση Boltzmann για μη ιδανικά ρευστά He-Chen-Zhang όπου Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann για μη ιδανικά ρευστά

14. Διατήρηση μάζας Διατήρηση ορμής Equation of State Διακριτοποίηση της εξίσωσης Boltzmann για μη ιδανικά ρευστά: Το πρότυπο He-Chen-Zhang για διφασική ροή

15. Ρευστό με μεγαλύτερη πυκνότητα Ρευστό με μικρότερη πυκνότητα Εφαρμογή του προτύπου He-Chen-Zhang σε αστάθειες διεπιφάνειας Πεδίο Βαρύτητας (g) Διαταραχή διεπιφάνειας

16. Διαβρέχων ρευστό Στερεό Μη διαβρέχων ρευστό Διαφασική Ροή σε δίκτυα πόρων Διδιάστατο υπολογιστικό πεδίο 400x400 Αρχικές συνθήκες: Τετράγωνα στοιχεία στερεού και ρευστών διαστάσεων 20x20 Tυχαια κατανομή στο χώρο με πιθανότητα (1-ε) για το στερεό, εSw για τη διαβρέχουσα φάση και ε(1-Sw) για τη μη διαβρέχουσα φάση Εφαρμογή σταθερής σωματιδιακής δύναμης (body force), π.χ. βαρύτητα Το σύστημα φτάνει σε ψευτο-μόνιμες συνθήκες όπου η μάση ταχύτητα των δύο ρευστών είναι περίπου σταθερή Ροή

17. Η ταχύτητα της ροής της διαβρέχουσας φάσης μειώνεται όσο αυξάνεται η διεπιφανειακή τάση Οι διακυμάνσεις της ταχύτητας αυξάνονται όσο αυξάνεται η διεπιφανειακή τάση Η διεπιφανειακή τάση δημιουργεί γάγγλια που διαλύονται δυσκολότερα και κλείνουν τις διόδους τις ροής προκαλώντας ροή από της περιοχές μικρότερης διαπερατότητας • Το πλήθος των γαγγλίων μειώνεται όσο αυξάνεται η διεπιφανειακή τάση (ή μειώενεται ο τριχοειδής αριθμός) και ταυτόχρονα ο μέσος όγκος τους αυξάνεται Διφασική Ροή σε δίκτυα πόρων:Επίδραση διεπιφανειακής τάσης στο πλήθος των γαγγλίων Για μικρές τιμές περιεκτικότητας της μη διαβρέχουσας φάσης, η φάση αυτή είναι ασυνεχής και ρέει υπό τη μορφή γαγγλίων Το πλήθος και η ταχύτητα των γαγγλίων εξαρτώνται από τη περιεκτικότητα του δικτύου στη μη διαβρέχουσα φάση και το τριχοειδή αριθμό Ca που εκφράζει το λόγο των δυνάμεων ιξώδους προς τις τριχοειδείς Τα γάγγλια συνενώνονται και διαλύονται διαρκώς μέσα στο υλικό Yiotis, Kainourgiakis, Stubos, Proceedings of the European Geosciences Union, Vienna, Austria (2007)

18. Παράλληλοι Υπολογισμοί • 1603 υπολογιστικό πεδίο – Στερεή σφαίρα Dp=160δx • προβληματικό load balancing λόγω ανισοτροπικής κατανομής του στερεού στο πεδίο Β) 2003 υπολογιστικό πεδίο – Ισοτροπικό ανακατασκευασμένο πεδίο Ιδανικό balancing ανισοτροππικής – κάθε CPU έχει περίπου το ίδιο φορτίο

19. Επίλυση προβλήματοςμονοφασικής ροής σε κλίνες σφαιριδίων Marenostrum @ Barcelona Supercomputing Center 10240 IBM Power PC 970MP processors@2.3 GHz Peak Performance of 94,21 Teraflops 20 TB of main memory Myrinet and Gigabit Ethernet Linux: SuSe Distribution http://www.bsc.es

20. Συμπεράσματα • Η μέθοδος Lattice Boltzmann είναι μία πολλά υποσχόμενη τεχνική για την επίλυση προβλημάτων ροής. • Η μέθοδος βασίζεται στην κινητική θεωρία των αερίων και στην υπόθεση ότι σε κάθε σημείο του χώρου η ταχύτητα των μορίων ακολουθεί την κατανομή Maxwell - Boltzmann • Δεν απαιτούνται επαναλήψεις για να συκλίνει: Ευθεία λύση στο χώρο και στο χρόνο (explicit scheme) • Απλή διαχείρηση των συνοριακών συνθηκών • Εύκολη παραλληλοποίηση • Δυνατότητα αλλαγής των εξισώσεων στη μεσοκλίμακα ώστε να λυθούν προβλήματα ροής μη ιδανικών ρευστών, αλλαγής φάσης, διαβροχής στερεών κ.α. • Συνεπής περιγραφή των διαμοριακών δυνάμεων στη διεπιφάνεια ρευστών στη μεσοκλίμακα (ομάδες μορίων). Πλεονέκτημα σε σχέση με τη μακροσκοπική θεώρηση της ροής όπου ισχύουν οι εξισώσεις διατήρησης στο συνεχές, π.χ. Navier-Stokes. • Μέτριο υπολογιστικό κόστος – σημαντικά μικρότερο από τη μικροκροσκοπική περιγραφή της ροής με Molecular Dynamics. • Η μέθοδος χρησιμοποείται τα τελευταία χρόνια με επιτυχία σε τόσο μονοφασικές ροές όσο και σε διφασικές ροές

21. Further Reading http://milos.ipta.demokritos.gr/yiotis The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond (Numerical Mathematics and Scientific Computation) by Sauro Succi Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers by Michael C. Sukop , Daniel T. Jr Thorne